การกำหนดตารางเวลาโครงการ Gantt Chart PERT/ CPM การกำหนดตารางเวลาโครงการที่รู้เวลาของกิจกรรม การกำหนดตารางเวลาโครงการที่ไม่รู้เวลาแน่นอนของกิจกรรม พิจารณาความสมดุลระหว่างเวลาและต้นทุน PERT/Cost

ขั้นตอนแรก: ระบุกิจกรรมในโครงการและกำหนดลำดับความสัมพันธ์ก่อนหลังที่เหมาะสม ตัวอย่าง : เปิดร้านขายชา _______________________________________________________________________ รายละเอียดกิจกรรม ลำดับความสัมพันธ์ เวลาของกิจกรรม กิจกรรม ก่อนหลัง (สัปดาห์) _______________________________________________________________________ A เลือกที่ตั้งร้าน - 3 B กำหนดโครงสร้างบริษัทและแผนการเงิน - 5 C กำหนดบุคลากรที่ต้องการ B 3 D ออกแบบร้าน A, C 4 E ตกแต่งภายใน D 8 F คัดเลือกคนเข้าทำงาน C 2 G รับและจ้างทำงาน F 4 H เตรียมเอกสารต่างๆ กำหนดตำแหน่งงาน F 2 I จัดการเรื่องการเงิน B 5 J อบรมบุคลากรใหม่ H, E, G 3

Gantt Chart เป็นกร๊าฟแสดงอย่างง่ายและชัดเจนถึงระยะเวลาของงานย่อยของโครงการ. กำหนดกิจกรรมไว้บนแนวตั้ง กำหนดเวลาไว้ในแนวนอน ช่วงเวลาที่ใช้ของแต่ละกิจกรรมแสดงโดยแผนภูมิแท่ง ระบุเวลาที่เริ่มต้นได้เร็วที่สุดสำหรับแต่ละกิจกรรม

Gantt Chart (สัปดาห์ที่) A เลือกที่ตั้ง B วางแผน C กำหนดความต้องการคน D ออกแบบ E สร้าง F คัดเลือกคน G จ้างคน H เตรียมเอกสาร เตรียมคน I เตรียมเรื่องเงิน J ฝึกอบรม Gantt Chart 5 10 12 13 15 20 25 สัปดาห์ที่ 13, D, E, H ล่าช้ากว่ากำหนด แต่ G เร็วกว่ากำหนด (สัปดาห์ที่)

ข้อเสียของGantt Chart ไม่ได้ให้ข้อมูลว่าโครงการทั้งหมดกำลังล่าช้าจากกำหนดเวลาที่ตั้งเป้าไว้เท่าไร. ไม่ได้บอกว่ากิจกรรมใด มีลำดับก่อนหลังของกิจกรรมอื่นบ้าง จากแผนภูมิดูเหมือนกิจกรรม F และ I มีลำดับก่อนหลังของG(แต่ที่จริงมีเพียงF).

PERT/CPM PERT: Program Evaluation and Review Technique CPM: Critical Path Method เป็นกร๊าฟแสดงกิจกรรมโครงการ คาดคะเนว่าโครงการจะใช้เวลานานเท่าไร ระบุกิจกรรมวิกฤติ แสดงให้เห็นกิจกรรมที่ล่าช้าแต่ไม่กระทบโครงการ

การนำ PERT/CPM ไปประยุกต์ใช้ ใช้ในการวางแผน กำหนดตารางเวลา และควบคุมโครงการได้อย่างหลากหลาย: โครงการก่อสร้างอาคาร ถนน การบำรุงรักษาเครื่องจักรอุปกรณ์ขนาดใหญ่ การออกแบบและติดตั้งระบบใหม่ๆ การวิจัยและพัฒนาผลิตภัณฑ์และกระบวนการ

PERT/CPM สามารถตอบคำถามดังต่อไปนี้: 1. เวลารวมทั้งหมดที่ต้องใช้เพื่อให้โครงการเสร็จสิ้นสมบูรณ์ 2. กำหนดวันเริ่มต้นและวันสิ้นสุดของแต่ละกิจกรรม 3. กิจกรรมใดที่วิกฤติ ที่ต้องระมัดระวังดูแลให้โครงการเป็นไปตาม กำหนดเวลา 4. บอกถึงกิจกรรมใดที่ไม่วิกฤติที่สามารถล่าช้าได้โดยไม่กระทบ เวลา โครงการโดยรวม 5. จะต้องเพิ่มทรัพยากรในกิจกรรมอย่างไรจึงจะเร่งโครงการให้ เสร็จสมบูรณ์

ขั้นตอนกระบวนการ Pert/CPM Critical Part Step 1 กำหนดรายการกิจกรรมที่ต้องทำในโครงการ Step 2 กำหนดลำดับก่อนหลังของงานในแต่ละกิจกรรมในโครงการ Step 3 คาดคะเนเวลาที่ใช้ในการดำเนินกิจกรรมให้แล้วเสร็จ ด้วยเวลาที่รู้แน่นอน ด้วยเวลาที่ไม่รู้แน่นอน

Step 4 สร้างผังงานโครงการproject network วิธีที่ 1: Activity-on-Node (AON) แต่ละกิจกรรมแสดงด้วยnode ในผังงาน แสดงลำดับความสัมพันธ์ก่อนหลังระหว่างกิจกรรมด้วยเส้นเชื่อมโยงarc

Step 4 สร้างผังงานโครงการproject network วิธีที่ 2: Activity-on-Arc (AOA) arcs ของผังงานแสดงถึงกิจกรรม nodes ของผังงานแสดงถึงจุดเมื่อกิจกรรมหรือกลุ่มของกิจกรรมได้เสร็จสมบูรณ์ มีการกำหนดตัวเลข nodes เพื่อว่าแต่ละกิจกรรมเริ่มต้นที่ตัวเลขต่ำกว่า และสิ้นสุดที่ตัวเลขสูงกว่า Dummy activities ไม่มีการใช้เวลาแต่กำหนดขึ้นเพื่อช่วยบ่งบอกกลุ่มกิจกรรมที่เสร็จสมบูรณ์ก่อนเริ่มกิจกรรมอื่นต่อไป

การสร้างผังข่ายงาน AOA b c d กิจกรรม Dummy 1 3 3 4 1 2 2 4 1 4 1 3 4 3 2 5 2

ขั้นตอนแรก: ระบุกิจกรรมในโครงการและกำหนดลำดับความสัมพันธ์ก่อนหลังที่เหมาะสม ตัวอย่าง : เปิดร้านขายชา _______________________________________________________________________ รายละเอียดกิจกรรม ลำดับความสัมพันธ์ เวลาของกิจกรรม กิจกรรม ก่อนหลัง (สัปดาห์) _______________________________________________________________________ A เลือกที่ตั้งร้าน - 3 B กำหนดโครงสร้างบริษัทและแผนการเงิน - 5 C กำหนดบุคลากรที่ต้องการ B 3 D ออกแบบร้าน A, C 4 E ตกแต่งภายใน D 8 F คัดเลือกคนเข้าทำงาน C 2 G รับและจ้างทำงาน F 4 H เตรียมเอกสารต่างๆ กำหนดตำแหน่งงาน F 2 I จัดการเรื่องการเงิน B 5 J อบรมบุคลากรใหม่ H, E, G 3

Project Network ร้านชา (AON) ตกแต่ง E ออกแบบ เลือกที่ตั้ง D A รับและจ้าง อบรม คัดเลือกคน G ความต้องการ บุคลากร Start C J Finish F เตรียมเอกสาร B H วางแผนโครงสร้างบริษัท I จัดการการเงิน

Project Network ร้านชา (AOA) 5 D 2 ออกแบบ E A ตกแต่ง เลือกที่ตั้ง 6 H J 7 9 เตรียมเอกสาร F อบรม จ้าง 1 คัดเลือกคน G 4 8 ความต้องการคน C I B จัดการการเงิน วางแผนโครงสร้าง บริษัท 3

Step 5 กำหนดเวลาที่เริ่มต้นเร็วที่สุดและเวลาที่เสร็จเร็วที่สุดโดยการทำไปข้างหน้าตลอดผังงาน เวลาเสร็จเร็วที่สุดสำหรับกิจกรรมสุดท้ายในโครงการบ่งถึงเวลารวมที่ต้องการใช้ไปให้โครงการเสร็จสมบูรณ์

กฎของเวลาเริ่มต้นเร็วที่สุด ให้ ES =เวลาเริ่มต้นเร็วที่สุดของกิจกรรม EF = เวลาเสร็จเร็วที่สุดสำหรับกิจกรรม t = เวลา เวลาเสร็จเร็วที่สุดสำหรับกิจกรรมคือ EF = ES + t กฎของเวลาเริ่มต้นเร็วที่สุด เวลาเริ่มต้นเร็วที่สุดสำหรับกิจกรรมใดมีค่าเท่ากับเวลาที่เสร็จเร็วที่สุดที่ค่ามากที่สุดสำหรับกิจกรรมทั้งหลายที่อยู่ก่อนหน้า.

D 8 12 4 5 ES EF 2 E 12 20 8 A 3 J 20 23 3 H 10 12 2 3 F 8 10 2 6 7 9 Train 1 4 G 10 14 4 8 I 5 10 5 B 0 5 5 C 5 8 3 3

Step 6 ใช้เวลาที่เสร็จสมบูรณ์เป็นเวลาที่ล่าช้าที่สุดสำหรับกิจกรรมสุดท้ายและทำย้อนกลับตลอดผังงานเพื่อระบุหาเวลาที่เริ่มต้นช้าที่สุดและเสร็จช้าที่สุดสำหรับแต่ละกิจกรรม

ให้ LS = เวลาเริ่มต้นช้าที่สุดสำหรับกิจกรรม LF = เวลาเสร็จช้าที่สุดสำหรับกิจกรรม t = เวลา เวลาเริ่มต้นช้าที่สุดสำหรับกิจกรรมใดๆคือ LS = LF - t กฎเวลาเสร็จสิ้นช้าที่สุด: เวลาเสร็จสิ้นช้าที่สุดสำหรับกิจกรรมใดๆคือ ค่าน้อยที่สุดของเวลาเริ่มต้นช้าที่สุดสำหรับกิจกรรมทั้งหมดที่ตามหลังกิจกรรม that immediately follow the activity.

D 8 12 4 8 12 5 ES EF 2 E 12 20 8 12 20 A 3 J 20 23 3 20 23 H 10 12 2 18 20 3 5 8 F 8 10 2 14 16 6 7 9 1 4 G 10 14 4 16 20 8 B 0 5 5 0 5 I 5 10 5 18 23 C 5 8 3 5 8 3 LS LF

Step 7. ใช้ความแตกต่างระหว่างเวลาเริ่มต้นช้าที่สุดและเวลาเริ่มต้นเร็ว Step 7 ใช้ความแตกต่างระหว่างเวลาเริ่มต้นช้าที่สุดและเวลาเริ่มต้นเร็ว ที่สุดสำหรับแต่ละกิจกรรมเพื่อหาค่าเวลาเหลือ slack สำหรับ กิจกรรม Step 8 ค้นหากิจกรรมที่ เป็นศูนย์ กิจกรรมเหล่านี้คือกิจกรรมเส้นทาง วิกฤติ. Step 9 ใช้ข้อมูลจาก steps 5 และ 6 สร้างกำหนดตารางเวลา กิจกรรมสำหรับโครงการ

Earliest Latest Earliest Latest Start Start Finish Finish Slack เส้นทาง กิจกรรม (ES) (LS) (EF) (LF) (LS - ES) วิกฤติ? ____________________________________________________________ A 0 5 3 8 5 No B 0 0 5 5 0 Yes C 5 5 8 8 0 Yes D 8 8 12 12 0 Yes E 12 12 20 20 0 Yes F 8 14 10 16 6 No G 10 16 14 20 6 No H 10 18 12 20 8 No I 5 18 10 23 13 No J 20 20 23 23 0 Yes _____________________________________________________________

D 8 12 4 8 12 5 ES EF 2 E 12 20 8 12 20 A 3 J 20 23 3 20 23 H 10 12 2 18 20 3 5 8 F 8 10 2 14 16 6 7 9 1 4 G 10 14 4 16 20 8 B 0 5 5 0 5 I 5 10 5 18 23 C 5 8 3 5 8 3 LS LF

1. รู้ว่าโครงการใช้เวลานานเท่าไรจึงเสร็จสมบูรณ์ ประโยชน์ของ PERT/CPM 1. รู้ว่าโครงการใช้เวลานานเท่าไรจึงเสร็จสมบูรณ์ 2. รู้กำหนดตารางเวลาเริ่มต้นและเวลาสิ้นสุดสำหรับแต่ละ กิจกรรม? 3. กิจกรรมใดเป็นกิจกรรมวิกฤติและต้องเสร็จสมบูรณ์ตามกำหนดเวลาเพื่อให้โครงการ เป็นไปตามเวลาที่กำหนด? 4. กิจกรรมที่ไม่เป็นกิจกรรมวิกฤติสามารถล่าช้าได้นานเท่าไรก่อนที่จะก่อให้เกิดการเพิ่ม เวลาที่ทำให้โครงการล่าช้า?

ตัวอย่าง : โครงการเครื่องดูดฝุ่น“Super” _______________________________________________________________________ รายละเอียดกิจกรรม กิจกรรม ลำดับความสัมพันธ์ก่อน เวลากิจกรรม (วัน) A ออกแบบ “Super” - 20 B สร้างตัวต้นแบบ A 10 C ดำเนินการทดสอบตัวต้นแบบ B 8 D คาดคะเนต้นทุนวัตถุดิบ A 11 E ทบทวนการออกแบบ “Super” C, D 7 F สาธิต “Super” แก่ลูกค้า E 6 G คาดคะเนต้นทุนค่าแรงงาน D 12 H เตรียมข้อเสนอด้านเทคนิค E 13 I ส่งข้อเสนอไปยังลูกค้า G, H 5

EF = ES + t ES EF 1 2 8 3 4 6 c a b e f h d i Dummy 5 7 g A 0 20 20 10 C 30 38 8 E 38 45 7 F 45 51 6 1 2 8 3 4 6 c a b e f H 45 58 13 h d i Dummy D 20 31 11 I 58 63 5 5 7 g G 31 43 12

Critical Path : a-b-c-e-h-i Critical Activity Critical Path : a-b-c-e-h-i A 0 20 20 0 20 B 20 30 10 20 30 C 30 38 8 30 38 E 38 45 7 38 45 F 45 51 6 57 63 1 2 8 3 4 6 c a b e f H 45 58 13 45 58 h d i Dummy D 20 31 11 27 38 I 58 63 5 58 63 5 7 g LS LF G 31 43 12 46 58 LS = LF - t

Earliest Latest Earliest Latest Start Start Finish Finish Slack เส้นทาง กิจกรรม (ES) (LS) (EF) (LF) (LS - ES) วิกฤติ? ____________________________________________________________ A 0 0 20 20 0 Yes B 20 20 30 30 0 Yes C 30 30 38 38 0 Yes D 20 27 31 38 7 No E 38 38 45 45 0 Yes F 45 57 51 63 12 No G 31 46 43 58 15 No H 45 45 58 58 0 Yes I 58 58 63 63 0 Yes _____________________________________________________________

การกำหนดตารางเวลาโครงการที่กิจกรรมมีเวลาที่ไม่แน่นอน สำหรับโครงการที่กิจกรรมนั้นไม่เคยทำมาก่อน เช่น การคิดค้นผลิตภัณฑ์ใหม่ การวิจัยและพัฒนา ผู้จัดการโครงการต้องการดูแลความไม่แน่นอนในเวลาของกิจกรรม เวลาของกิจกรรมอธิบายได้ดีที่สุดด้วยช่วงของค่าที่เป็นไปได้มากกว่าเวลาค่าเดียวที่เจาะจงลงไป มักมองในเรื่องของตัวแปรสุ่มที่มีค่าการกระจายแบบความน่าจะเป็น

ตัวอย่าง: โครงการเครื่องชงชา _________________________________________________________ กิจกรรม รายละเอียดกิจกรรม ลำดับความสัมพันธ์ก่อน A พัฒนาการออกแบบผลิตภัณฑ์ - B วางแผนวิจัยตลาด - C เตรียมพิมพ์เขียววิศวกรรมการผลิต A D สร้างตัวแบบต้นแบบBuild prototype model A E เตรียมแผ่นพับโฆษณา A F เตรียมคาดคะเนต้นทุนเชิงวิศวกรรม C G ทำการทดสอบเบื้องต้นตัวผลิตภัณฑ์ D H สำรวจตลาดเสร็จสมบูรณ์ B, E I เตรียมราคาและรายงานการพยากรณ์ยอดขาย H J เตรียมรายงานสุดท้าย F, G, I _______________________________________________________________________

Project Networkของโครงการเครื่องชงชา 4 พิมพ์เขียวการผลิต คาดคะเนต้นทุน C 2 F เตรียมการออกแบบ คัวต้นแบบ J 7 8 D A G รายงานสุดท้าย 1 5 E แผ่นพับโฆษณา ทดสอบ B I วางแผนวิจัยตลาด กำหนดราคาและพยากรณ์ H 6 3 สำรวจตลาด

การกระจายของเวลาเสร็จสิ้นโครงการ Project Networkของโครงการเครื่องชงชา 4 F C พิมพ์เขียวการผลิต 2 คาดคะเนต้นทุน เตรียมการออกแบบ D 7 8 A ตัวต้นแบบ J 1 5 E G รายงานสุดท้าย ทดสอบ แผ่นพับโฆษณา B I วางแผนวิจัยตลาด ราคาและพยากรณ์ยอดขาย 6 3 H สำรวจตลาด การกระจายของเวลาเสร็จสิ้นโครงการ

The approximate distribution of the real distribution of the project completion time can be seen from the result of simulation. It could be of any shape

PERT Analysis uses the three-time estimate approach, the time to complete an activity is assumed to follow a Beta distribution. An activity’s mean completion time is: t = (a + 4m + b)/6 An activity’s completion time variance is: s2 = ((b-a)/6)2 a = the optimistic completion time estimate b = the pessimistic completion time estimate m = the most likely completion time estimate

Example of Beta Distribution Activity Time (in Weeks) 4 5 9 Expected value Optimistic pessimistic Most probable

In the three-time estimate approach, the critical path is determined as if the mean times for the activities were fixed times. The overall project completion time is assumed to have a normal distribution with mean equal to the sum of the means along the critical path and variance equal to the sum of the variances along the critical path.

Example: The Daugherty Porta-Vac Project _______________________________________________________________________ Most Activity Optimistic Probable Pessimistic (a) (m) (b) A 4 5 12 B 1 1.5 5 C 2 3 4 D 3 4 11 E 2 3 4 F 1.5 2 2.5 G 1.5 3 4.5 H 2.5 3.5 7.5 I 1.5 2 2.5 J 1 2 3

Activity Expected Time and Variances t = (a + 4m + b)/6 s2 = ((b-a)/6)2 Activity Expected Time Variance A 6 1.78 B 2 0.44 C 3 0.11 D 5 1.78 E 3 0.11 F 2 0.03 G 3 0.25 H 4 0.69 I 2 0.03 J 2 0.11 32 Total

Project Network of the Daugherty Porta-Vac Project 4 F 2-3-4 Routing C 2 Cost estimates 1.5-2-2.5 Prepare design 4-5-12 D 7 1-2-3 8 A 3-4-11 Prototype J 1.5-3-4.5 1 5 Final report E G Testing Market brochure 2-3-4 B I Plan market research 1.5-2-2.5 Pricing and forecast 6 3 2.5-3.5-7.5 Market survey H 1-1.5-5 a-m- b

Project Network of the Daugherty Porta-Vac Project tc = 3, sC2 = 0.11 4 tH = 4, sF2 = 0.03 Routing Cost estimates tA = 6, sA2=1.78 C 2 F Prepare design tD = 5, sD2 = 1.78 tJ = 2, sJ2 = 0.11 Prototype J tG = 3, sG2 = 0.25 7 8 D A G Final report Market brochure 1 5 Testing E tE = 3, sE2 = 0.11 B I Plan market research Pricing and forecast tH = 4, sH2 = 0.69 tI = 2, sI2= 0.03 H 6 tB = 2, sB2 = 0.44 3 Market survey T=17, S2 =2.72 E.g. Use a sample of 100 for each distribution, then find the mean.

From the Central Limit Theorem, the distribution of the sum of the sampled means is approximately normal distributed. To see it clearly: Use a sample of 100 for each distribution of activity times. Find the means of these samples. Use them as the expected activity times and follow the critical path procedure. Then, sum the means of the critical activities and plot on graph. Do it for 100 sets (the more, the better). Plot the distribution of the sum of the sampled means. It will look close to the normal distribution.

Review: PERT/CPM Algorithm Step 1: Make a forward pass through the network as follows: For each of these activities, (i,j), beginning at node i, compute: Earliest Start Time = the maximum of all earliest finish times ending at node i. (For node 1 this is 0.) Earliest Finish Time = (Earliest Start Time) + (Time to complete activity (i,j)). The project completion time is the maximum of the Earliest Finish Times at the completion node.

Step 2: Make a backwards pass through the network as follows: Move sequentially backwards from the last node, N, to node N-1, to node N-2, etc. At a given node, j, consider all activities ending at node j. For each of these activities, (i,j), compute: Latest Finish Time = the minimum of the latest start times beginning at node j. (For node N, this is the project completion time.) Latest Start Time = (Latest Finish Time) - (Time to complete activity (i,j)).

Step 3: Calculate the slack time for each activity by: Slack = (Latest Start) - (Earliest Start) or = (Latest Finish) - (Earliest Finish). A critical path is a path of activities, from node 1 to N, with 0 slack times.

Project Network of the Daugherty Porta-Vac Project 3 10 13 4 F 9 11 2 13 15 Cost estimates 2 Routing A 0 6 6 0 6 D 6 11 5 7 12 J 15 17 5 15 17 Prepare design G 11 14 3 12 15 7 8 Prototype Final report 1 Market brochure 5 Testing E 6 9 5 6 9 Pricing and forecast Plan market research I 13 15 2 13 15 Market survey 6 B 0 2 2 7 9 3 H 9 13 4 9 13

Earliest Latest Earliest Latest Start Start Finish Finish Slack Critical Activity (ES) (LS) (EF) (LF) (LS - ES) Path ? ____________________________________________________________ A 0 0 6 6 0 Yes B 0 7 2 9 7 No C 6 10 9 13 4 No D 6 7 11 12 1 No E 6 6 9 9 0 Yes F 9 13 11 15 4 No G 11 12 14 15 1 No H 9 9 13 13 0 Yes I 13 13 15 15 0 Yes J 15 15 17 17 0 Yes Expected project completion time E(T)

Project Network of the Daugherty Porta-Vac Project 4 Routing Cost estimates C 2 F Prepare design Prototype J 7 8 D A G Final report 1 5 Market brochure Testing E B I Plan market research Pricing and forecast H 6 3 Market survey

The variance in the project completion time is the sum of variances of critical path activities. s2 = s2A + s2E + s2H + s2I+ s2J = 1.78 + 0.11 + 0.69 + 0.03 + 0.11 = 2.72 This is based on assumption that the activity times are independent. The standard deviation is as follows: s = (2.72)1/2 = 1.65

What is the probability that we will meet the 20-week deadline (probability that T 20)? < Assuming that the distribution of the project completion time T follows a normal distribution, we can compute the probability of meeting a specified project completion date. Compute the z value at T = 20, z = (20 - 17)/1.65 = 1.82 From the Standard Normal Distribution table: P(z < 1.82) = .5 + .4656 = .9656

At T = 20 Z = (20 - 17)/1.65 = 1.82 < < P(T 20) = 0.9656 17

Remember: The probability estimate is based only on the critical path activities. When uncertainty times exist, longer than expected information may cause and original non-critical path to become critical and hence increase the time required to complete the project. As a project manager, you have to monitor the progress of the project frequently to make sure that all activities are on schedule and to be ready to take corrective action if a non-critical activity begins to lengthen the duration of the project.

Considering Time-Cost Trade-Offs Project manager has an option of adding resources to selected activities to reduce project completion time (this is called “crashing”). Generally, adding resources (e.g. more workers, overtime, etc.) will increase project costs. Project manager has to make a decision that involves trading reduced activity time for additional project cost. The model assumes that cost is a linear function of time.

Information required We need information on how much each activity can be crashed and how much the crashing process costs. - Estimated normal or expected activity time. - Estimated activity cost under the normal or expected activity time. - Estimated time to complete the activity under maximum crashing - Estimated activity cost under maximum crashing.

Example: Two-Machine Maintenance Project _______________________________________________________________________ Activity Immediate Expected Time Activity Description Predecessor (days) A Overhaul machine I - 7 B Adjust machine I A 3 C Overhaul machine II - 6 D Adjust machine II C 3 E Test System B, D 2

ES EF 2 B 7 10 3 7 10 A 0 7 7 0 7 Adjust Machine I Overhaul Machine I E 10 12 2 10 12 1 4 5 Overhaul Machine II Adjust Machine II Test System C 0 6 6 1 7 D 6 9 3 7 10 3 LS LF

Earliest Latest Earliest Latest Start Start Finish Finish Slack Critical Activity (ES) (LS) (EF) (LF) (LS - ES) Path ? ____________________________________________________________ A 0 0 7 7 0 Yes B 7 7 10 10 0 Yes C 0 1 6 7 1 No D 6 7 9 10 1 No E 10 10 12 12 0 Yes

Suppose that the production line must be put on running within 10 days, what should we do ? We realize that meeting the desired project completion time is impossible unless we can shorten selected activity times by adding resources (crashing). However, the added resources associated with crashing activity times usually result in added project costs, so we will want to identify the activities that cost the least to crash and then crash those activities only the amount necessary to meet the desired project time.

Let ti = expected time for activity i ti’ = time for activity i under maximum crashing. Mi = maximum possible reduction in time for activity i due to crashing Mi = ti - ti’ Ci = the estimated cost for activity i under normal activity time Ci’= the estimated cost for activity i under maximum crashing The crashing cost Ki per unit of time (e.g. per day)for each activity is given by Ki = (Ci’ - Ci)/Mi

Example: If the normal or expected time for activity A is 7 days at a cost of CA = $ 500 and the time under maximum crashing is 4 days at a cost of CA’ = $ 800, therefore, The maximum possible reduction in time for activity A is MA = 7 - 4 = 3 days with a crashing cost of KA = (CA’ - CA)/MA = (800 - 500)/3 = $ 100 per day

Time - Cost Relationship for Activity A $800 Total Activity cost $650 $500 4 5.5 7 Activity Time (in days)

Maximum Reduction Crash Time (days) Total Cost in Time Cost per Day Activity Normal Crash Normal(Ci ) Crash (Ci’) (Mi) Ki = (Ci’ - Ci)/Mi ____________________________________________________________________________ A 7 4 $ 500 $ 800 3 $ 100 B 3 2 $ 200 $ 350 1 $ 150 C 6 4 $ 500 $ 900 2 $ 200 D 3 1 $ 200 $ 500 2 $ 150 E 2 1 $ 300 $ 550 1 $ 250 $ 1700 $ 3100

Which activities should be crashed and by how much- to meet the 10-day project completion deadline at minimum cost ? First, consider crashing the critical path activities - A, B, or E. Activity A has the lowest crashing cost of the three. So, crash this activity by 2 days. Keep in mind, when you crash the current critical path activities, other paths may become critical. You will need to check the critical path in the revised network, or identify additional activities to crash, or modify your initial crashing decisions.

Crash A by 2 days ES EF 2 B 5 8 3 6 9 A 0 5 5 1 6 Adjust Machine I Overhaul Machine I E 9 11 2 9 11 1 4 5 Overhaul Machine II Adjust Machine II Test System C 0 6 6 0 6 D 6 9 3 6 9 3 C, D, E become critical LS LF

Crash D by 1 day Total costs = $350 ES EF 2 B 5 8 3 5 8 A 0 5 5 0 5 Adjust Machine I Overhaul Machine I E 8 10 2 8 10 1 4 5 Overhaul Machine II Adjust Machine II Test System C 0 6 6 0 6 D 6 8 2 6 8 3 LS LF

Alternative Method: Crash A by 1 day and crash E by 1 day Alternative Method: Crash A by 1 day and crash E by 1 day. Total costs = $350 ES EF 2 B 6 9 3 6 9 A 0 6 6 0 5 Adjust Machine I Overhaul Machine I E 9 10 1 9 10 1 4 5 Overhaul Machine II Adjust Machine II Test System C 0 6 6 0 6 D 6 9 3 6 9 3 LS LF

A Linear Programming Model for Crashing Decisions In Pert/CPM, we use EF = ES + t If ES is known, the effect of crashing a particular activity will be to reduce t and hence EF. Consider activity A, Let xA = EF for activity A yA = amount of time activity A is crashed Assume that the project begins at time 0, ES of activity A is 0. Since the time for activity A is reduced by the amount of time that activity A is crashed, therefore EF for activity A is xA 0 + (7-yA) or xA + yA 7

Constraints: xi = the EF time for activity i, i = A, B, C, D, E yi = the amount of time activity i is crashed, For Activity A, xA 0 + (7 - yA) or xA + yA 7 For Activity C, xC 0 + (6 - yC) or xC + yC 6 For Activity B, xB xA + (3 - yB) or xB + yB - xA 3 For Activity D, xD xC + (3 - yD) or xD + yD - xC 3

For Activity E, the ES of Activity E equals the largest of EF times of Activities B and D, which will be determined by the crashing procedure, therefore 2 constraints must be added. xE + yE - xB 2 xE + yE -xD 2 Since the management want the project to be completed by 10 days xE 10

Constraints corresponding to the maximum allowable crashing time for each activity: yA 3, yB 1, yC 2, yD 2,and yE 1 Constraints for non-negativity requirements. Objective function: Min Z = 100yA + 150yB + 200yC + 150yD + 250yE Thus, the minimized total project cost is $1700 + (Min Z)

Constraint that the project must be finished by time T, xFIN T If 2 or more activities lead directly to the finish node of a project network, modification is needed. Create xFIN, which indicates the completion time of the entire project. xFIN xE or xFIN - xE 0 xFIN xF or xFIN - xF 0 Constraint that the project must be finished by time T, xFIN T E F

Project Cost Management: PERT/COST Projects sometimes can strongly influence the financial situation within a firm both in terms of overall budget and the daily cash flow. Obviously, the times at which activities are scheduled determine when budget demands occur. The goal of the PERT/Cost system is to construct a graph of budget demands over time for monitoring costs during a project. This requires knowledge of how funds will be spent throughout the life of an activity.

PERT/Cost assumes that expenditures occur uniformly throughout the life of the activity. A cost status report may be calculated by determining the cost over-run or under-run for each activity or group of activities. Cost over-run or under-run is calculated by subtracting the allocated budgeted cost from the actual cost of the activity (or group of activities) to date.

The overall project cost over-run or under-run at a particular time during a project is determined by summing the individual cost over-runs and under-runs to date of the group of activities. In order to apply PERT/Cost system to a project, an estimate or expected total cost of completing each activity must be identified.

Expected Earliest Latest Total Resources Activity Time Start Start Required ($) A 3 0 5 2,100 B 5 0 0 5,000 C 3 5 5 1,800 D 4 8 8 4,800 E 8 12 12 32,000 F 2 8 11 1,000 G 4 10 13 2,800 H 2 10 18 7,000 I 5 5 15 4,000 J 3 14 17 30,000 K 3 10 14 1,500 Total 92,000 _____________________________________________________________

Table 14.6 Budget Demands: Earliest Start Time Cost per Week ($) Activity 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .. ______________________________________________________________________________ A 700 700 700 B 1000 1000 1000 1000 1000 C 600 600 600 D 1200 1200 1200 1200 E F 500 500 G 700 700 H 3500 3500 I 800 800 800 800 800 J K 500 500 Weekly 1700 1700 1700 1000 1000 1400 1400 1400 2500 2500 5900 5900 Cost Cumu. 1700 3400 5100 6100 7100 8500 9900 11300 13800 16300 22200 28100

Table 14.6 Budget Demands: Earliest Start Time (Continued) Cost per Week ($) Activity 13 14 15 16 17 18 19 20 ______________________________________________________________________________ A B C D E 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 F G 700 700 H I J 10000 10000 10000 K 500 Weekly 5200 4700 14000 14000 14000 4000 4000 4000 Cost Cumu.33500 38000 52000 66000 80000 84000 88000 92000

Table 14.7 Budget Demands: Latest Start Time Cost per Week ($) Activity 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .. ______________________________________________________________________________ A 700 700 700 B 1000 1000 1000 1000 1000 C 600 600 600 D 1200 1200 1200 1200 E F 500 G H I J K Weekly 1000 1000 1000 1000 1000 1300 1300 1300 1200 1200 1200 1700 Cost Cumu. 1000 2000 3000 4000 5000 6300 7600 8900 10100 11300 12500 14200

Table 14.7 Budget Demands:Latest Start Time (Continued) Cost per Week ($) Activity 13 14 15 16 17 18 19 20 ______________________________________________________________________________ A B C D E 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 F 500 G 700 700 700 700 H 3500 3500 I 800 800 800 800 800 J 10000 10000 10000 K 500 500 500 Weekly 4500 4700 5200 6000 6000 14800 18300 18300 Cost Cumu. 18700 23400 28600 34600 40600 55400 73700 92000

Cumulative Budget Demands Versus Time $ Cumulative Budget Demands Versus Time 90,000 80,000 Feasible budgets for total project costs 70,000 Earliest starting time total cost schedule 60,000 50,000 40,000 28,100 Latest starting time total cost schedule 30,000 20,000 14,200 10,000 weeks 12

Table 14.8 project Costs After 11 Weeks Activity % Complete Budget($) Budgeted Cost Actual Cost Cost Overrun to Date ($) to Date ($) to Date ($) __________________________________________________________________________ A 100 2,100 2,100 2,300 200 B 100 5,000 5,000 4,900 (100) C 100 1,800 1,800 1,800 0 D 75 4,800 3,600 4,600 1,000 E 0 32,000 0 0 0 F 100 1,000 1,000 1,200 200 G 25 2,800 700 1,400 700 H 50 7,000 3,500 5,400 1,900 I 20 4,000 800 500 (300) J 0 30,000 0 0 0 K 0 1,500 0 0 0 Total 92,000 18,500 22,100 3,600 Budget Surplus Budget Surplus

In this situation, since activities A and F are already completed, their cost over-runs cannot be corrected. However, activities D, G, and H, non of which are yet completed, are showing significant overruns to date, and these activities should be promptly reviewed.