งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

1 Boolean algebra George Boole (1815-1864) นัก คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้ เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค. ศ. 1854 จากนั้น.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "1 Boolean algebra George Boole (1815-1864) นัก คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้ เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค. ศ. 1854 จากนั้น."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 1 Boolean algebra George Boole ( ) นัก คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้ เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค. ศ จากนั้น Boolean Algebra ก็ ได้รับ การวิวัฒนาการเรื่อยๆ มาจนกระทั่งปี ค. ศ จึงถูกนำมาใช้ในวิชา Theory of switching circuits โดย C. E. Shannon ถึงแม้ว่าผลงานของ Shannon จะหนักไปในด้านการออกแบบสวิทซ์ แม่เหล็กไฟฟ้า (Electromechanical Relay Network) แต่ก็สามารถที่จะปรับปรุงมา ใช้งานได้ดีสำหรับวงจร Solid-state electronic ทุกวันนี้

2 2 Boolean Algebra Boolean Algbera is a mathematical Model for digital logic circuits. –Boolean Algebra is a system B={0,1} is the set of values1 V is the set of variables P={+,, ΄} is the set of operators (basic functions) defined by the truth tables as follows

3 3 Boolean values Boolean Algebra แตกต่างไปจากวิชา พีชคณิตที่เรารู้จักกัน ค่า ตัวแปรต่างๆ จะมีได้เพียง 2 ค่าเท่านั้น คือ false ortrue 0or1 loworhigh กฎเกณฑ์บางอันก็คล้ายคลึงกันบางอันก็ ต่างกันมาก กฎต่างๆ ของ Boolean algebra ที่สำคัญมีดังนี้

4 4 Boolean operations not or and xor (exclusive or) nand (not and) nor (not or)

5 5 Not 0 Note: Some people write x’ instead of x. The “bubble” (or “bobble”) means “not”.

6 6 And Notes: Some people write a^b or a&b. The gate is shaped like a “D” as in “anD”.

7 7 Or Note: Some people write a  b or a|b.

8 8 Exclusive-or (xor)

9 9 Nand

10 10 Nor

11 11 Boolean Algebra The axioms (or postulates) of Boolean Algebra (A1) X=0 หรือ (A1’) X=1 (A2) If X=0, then X’=1 (A2’) If X=1, then X’=0 (A3) 0·0 = 0(A3’) 1+1 = 1 (A4) 1·1 = 1(A4’) 0+0 = 0 (A5) 0·1 = 1·0 = 0 (A5’) 1+0 = 0+1 = 1 Note We use a prime (’) to denote an inverter’s function.

12 12 Theorems involving a single variable: (T1) X+0 = X(T1’) X·1 = X (Identities) (T2) X+1 = 1(T2’) X·0 = 0 (Null elements) (T3) X+X = X(T3’) X·X = X (Idempotency) (T4) (X’)’ = X (Involution) (T5) X+X’ = 1(T5’) X·X’ = 0 (complements) These theorems can be proved to be true. Let us prove T1: [X=0] 0+0=0 (true, according to A4’) [X=1] 1+0=1 (true, according to A5’)

13 13 Theorems involving two or three variables: (T6)X+Y = Y+X(T6’) X·Y = Y·X (Commutativity) (T7)(X+Y)+Z = X+(Y+Z) (T7’)(X·Y)·Z = X·(Y·Z) (Associativity) (T8)X·Y+X·Z = X·(Y+Z) (T8’) (X+Y)·(X+Z) = X+Y·Z (Distributivity) (T9)X+X·Y = X(T9’) X·(X+Y) = X (Covering) (T10) X·Y+X·Y’ = X (T10’)(X+Y)·(X+Y’) = X (Combining)

14 14 (T11)X·Y+X’·Z+Y·Z = X·Y+X’·Z(Consensus) (T11’)(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z) = (X+Y)·(X’+Z) (T12)(X 1 ·X 2 ·... ·X n )’ = X 1 ´+X 2 ´+... +X n ’ (T12’) (X 1 +X X n )’ = X 1 ´·X 2 ´·... ·X n ’ ( DeMorgan’s theorems) (T13)X + X’ · Y = X + Y (T13’) X · (X’ + Y) = X · Y Attention to theorem T8’ which is not true for integers and reals. T9 and T10 are used in the minimisation of logic functions.

15 15 The most basic representation of a logic function is a truth table. A truth table lists the output of the circuit for every possible input combination. There are 2 n rows in a truth table for an n-variable function.

16 16 Gates Three basic gates (AND, OR, NOT) are sufficient to build any combinational digital logic system.

17 17 Gates (2) Two more logic functions are obtained by combining NOT with an AND or OR function in a single gate.

18

19 19 Equivalent gates according to DeMorgan’s theorem

20 20 An electrical model In a parallel arrangement electricity will flow through if one or other switch is closed. In a series arrangement both switches must be closed. or and a a b b a b a + b a b a · b

21 21 When SW1 AND SW2 are closed. F = SW1&SW2 When SW1 OR SW2 are closed. F = SW1+SW 2

22 22 Finding the Boolean expression for a circuit (p+q) · (p · q)’ or (p+q) · (p · q)

23 23 a b c f

24 24 Constructing circuits for Boolean expressions To construct a circuit for the expression p'q +q'

25 25 Simplification of Boolean Functions General Boolean functions of n variables can be represented by –Boolean expressions –Truth tables showing the function values for all input combinations Boolean functions can be implemented directly from their expressions, but –Complicated expressions may results in circuits Using more gates than necessary or Having longer accumulative gate delay than necessary

26 26 การทำ Logic circuits ให้ง่าย การทำ Logic circuits ให้ง่าย สามารถทำได้หลาย วิธีดังนี้ ทำโดยนำทฤษฎีต่างๆ มาใช้ในการลด รูปของสมการให้น้อย ลง ตัวอย่าง จงลดรูปสมการ A + A · B + A’ · B A + A · B + A’ · B = (A + A · B) + A’ · B (T9) = A + A’ · B (T13) = A + B

27 27 Minterms (Sum-of-Products) of n variables เป็นอีกวิธีที่จะทำให้ Logic circuits ง่ายลง ซึ่งมีวิธี ทำคือ จะพิจารณา Truth table ที่ ได้ผลลัพธ์เป็น 1 โดยนำตัวแปรมาทำการ AND แล้ว OR เพื่อสร้างเป็น Boolean expression ซึ่งมีรูปแบบ เป็นผลบวกของผล คูณ (Sum-of-Products) โดย กำหนดค่าดังนี้ A,B,C = 1 A’,B’,C’ = 0 ตัวอย่าง

28 28 We have f = x’y’z’ + x’yz’ + x y’z + x y z f = x’y’z’ + x’yz’ + x y’z + x y z X Y Z F * * * *

29 29 But the sum of product of minterms can be further simplified to reduce – the number of product terms and – the number of inputs of the gates – example f = x’y’z’ + x’yz’ + xy’z + xyz = x’z’(y’+y) + xz(y’+y) = x’z’ + xz But, how do we reach the simplest form systematically?

30 30 Maxterms (Product-of-Sums) of n variables - Maxterm boolean expression is developed from the 0s in the output column of the truth table. For each 0 in the output column, an Ored term is developed. - Note that the input variables are inverted and then Ored. A,B,C = 0 A’,B’,C’ = 1

31 31 Maxterm Boolean expression : f = (c’+b+a) · (c’+b’+a’) C B A F * * Input Output

32 32 Input Output C B A F จงหา –Minterm Boolean expression –Maxterm Boolean expression

33 33 Karnaugh Map Simplication Karnaugh maps เป็นอีกวิธีที่จะ ทำให้ Logic circuits ง่ายลง ซึ่งมีวิธีดังนี้ – two variables Input Output A B Y A’(0) 1 A (1) 1 1 Y = A + B B’(0) B(1)

34 34 - three variables and four variables C’(0) C(1) A’B’(0 0) A’B (01) AB (11) AB’(10 ) (C)

35 35 C B A F Input Output C’(0) C(1) A’B’(0 0) A’B (01) AB (11) AB’ (10) 1 F = C’ + A’B + AB’ three variables

36 36 Inputs Output A B C D Y four variables C’D’ C’D CD CD’ A’B’(0 0) A’B (01) AB (11) AB’ (10) Y = AC + A’C’D’

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44 A B C F Input Output A+B (0+0) A+B’ (0+1) A’+B’(1+ 1) A’+B (1+0) C C’ F = (B + C) · (A’+C) Mapping with maxterm expression

45 45 Maxt erm Minte rm

46 46 Don’t cares on Karnaugh maps ในวงจร logic บางวงจรสามารถออกแบบโดยไม่ ระบุ output บางตัวว่า เป็น 1 หรือ 0 Output ที่ไม่สนใจหรือไม่สามารถ ระบุ output ได้นี้ เรียกว่า “Don’t care”

47 47 การเขียน logic diagram ในรูป ของ function F(a,b,c,…) =  (0,1,2,3,…) a b

48 48

49 49 Inputs ตำแหน่ง A B C D

50 50 ตัวอย่าง F(a,b,c) =  (3,4,6,7) a bcbc a c b

51 51 five variables A = A = 1 DE BC DE BC

52 52 (0,2,5,7,13,15,17,18,19,21,23,29,31) F(A,B,C,D, E ) A = A = 1 DE BC DE BC

53 53 (0,2,5,7,13,15,17,18,19,21,23,29,31) F(A,B,C,D, E ) A = A = 1 DE BC DE BC F(A,B,C,D,E) หรือ X = CE + B’C’DE’ +AB’E+A’B’C’E’

54 54

55 55

56 56 F(A,B,C,D,E) หรือ X = CE + B’C’DE’ +AB’E+A’B’C’E’

57 57 Six-Variable K-Map EF CD AB = 11 AB = 10 AB = AB = 01 EF CD EF CD EF CD

58 58 Six-Variable K-Map EF CD EF CD EF CD EF CD AB = 11 AB = 10 AB = 01AB = 00

59 59 EF CD = 00 AB = 00 AB = 01 AB = 11 AB =

60 60 Combinational circuits แบบ ง่ายๆ Half-Adder ใช้ในการบวก เลขฐานสอง X Y C S Input Output S = Sum C = Carry X Y S C

61 61 Adder Design Example  A half adder is a combinational circuit that performs the addition of two bits (no carry in).  To design the 4-bit binary adder, we first design two types of adders: a half adder and a full adder. 1 bit Half Adder A B S Co A B S Co Boolean expressions for S and Co: S = AB’+A’B = A  B Co = AB Logic diagram:

62 62 Adder Design Example  Full adder: a combinational circuit that performs the addition of 3 bits (two bits and a carry-in bit). FA SiSi C i C i A i B i S i C i S = A  B  C C = ABC’ +A’BC +AB’C+ABC = AB(C +C’)+C(AB’ + A’B) = AB + C(A + B) AiAi BiBi CiCi

63 63 Full Adder Design Example  Full adder can be realized with two half adders and an OR gate, since C i+1 can be expressed as: AiAi BiBi CiCi SiSi C i+1

64 64 Binary Decoder n inputs 2 n outputs Binary Decoder Logic with n input lines and 2 n output lines. Only one output is a 1 for any given input.

65 65 truth table for 2 to 4 decoder: Note: Each output is a 2- variable minterm (X'Y', X'Y, XY' or XY) XYF 0 F 1 F 2 F F 0 = X'Y' F 1 = X'Y F 2 = XY' F 3 = XY XY

66 66 3-to-8-Line Decoder

67 67

68 68

69 69 Encoder 2 n (or fewer) input lines and n output lines. The output lines generate the binary code corresponding to the input value, assuming only one input is high. An encoder is the reverse function of a decoder

70 70 8-to-3-line Encoder 8-to-3 Encoder

71 71 Example: Octal-to-Binary Encoder A 0 = A 1 = A 2 =

72 72 Code Converter Example  Design a circuit that converts a binary-coded-decimal (BCD) to the seven signals required to drive a seven-segment light- emitting diode (LED) display. Assuming the signal 1 illuminates the segment and a logic-0 signal turns off the segment

73 73

74 74 Code Converter Example  Derive the Boolean function for each output - e.g., using the following K-map to derive the Boolean function for output a AB CD a = A’C + A’BD + A’B’D’+ AB’C’

75 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 80

81 81

82 82 C’(0) C(1) A’B’(0 0) A’B (01) AB (11) AB’ (10)

83 83 การสร้างวงจรแสดง : ลูกเต๋า 6 ด้าน ถ้าต้องการสร้างวงจรที่แสดงสัญลักษณ์ ในการออกลูกเต๋าแต่ละหน้าดังนี้ โดยใช้ LED วางตามตำแหน่งเพื่อแสดง การออกลูกเต๋าที่ทอดได้ในแต่ละหน้า AB C D E F G

84 84 Karnaugh maps with XOR and XNOR XO R :

85 85 A B A’ B’ A’B AB’ A’B + AB’ A + B Truth table : A’B + AB’ = A + B

86 86 XNO R :

87 87 A B A’ B’ AB A’B’ AB + A’B’ (A + B)’ Truth table : AB + A’B’ = (A + B)’

88 88

89 89


ดาวน์โหลด ppt 1 Boolean algebra George Boole (1815-1864) นัก คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้คิดค้น Boolean Algebra ซึ่งเป็นวิชาพีชคณิตใช้ เฉพาะกับ Logic เมื่อปี ค. ศ. 1854 จากนั้น.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google