งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

ฟังก์ชัน (Functi on) บทนำ ในแคลคูลัส เราคุ้นเคยกันดีกับ ฟังก์ชัน f ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ซึ่ง กำหนดด้วยตัวแปรอิสระ x  ℝ และมี ตัวแปรตาม y=f(x), โดยที่

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "ฟังก์ชัน (Functi on) บทนำ ในแคลคูลัส เราคุ้นเคยกันดีกับ ฟังก์ชัน f ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ซึ่ง กำหนดด้วยตัวแปรอิสระ x  ℝ และมี ตัวแปรตาม y=f(x), โดยที่"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1

2 ฟังก์ชัน (Functi on)

3 บทนำ ในแคลคูลัส เราคุ้นเคยกันดีกับ ฟังก์ชัน f ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ซึ่ง กำหนดด้วยตัวแปรอิสระ x  ℝ และมี ตัวแปรตาม y=f(x), โดยที่ y  ℝ. ฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป เป็นการ กำหนดสมาชิกของเซตใดๆ ซึ่งเป็น ที่รู้กันว่าเป็นการส่งค่าหรือทอดค่า (Mapping) จากเซตหนึ่งไปสู่อีกเซต หนึ่ง

4 นิยามแบบทั่วไปของฟังก์ชัน นิยาม สำหรับเซต A, B ใดๆ, สามารถ กล่าวได้ว่าฟังก์ชัน f จาก ( หรือ “mapping”) A ไป B (f:A  B) เป็นการ กำหนดค่าแบบเจาะจงเมื่อ f(x)  B โดย ที่ x  A Some further generalizations of this idea: –A partial (non-total) function f assigns zero or one elements of B to each element x  A. –Functions of n arguments; relations.

5 ภาพประกอบการแทน ฟังก์ชัน ฟังก์ชันสามารถที่จะแทนด้วยรูปภาพใน แบบต่างๆ ได้หลายลักษณะดังนี้ A B a b f f x y Plot Like Venn diagrams Bipartite Graph AB

6 ฟังก์ชันกับตรรก หมายเหตุ ประพจน์ใดๆ สามารถพิจารณา เป็นฟังก์ชันจาก “ สถานการณ์ ” ที่ทอดค่าไป ยังค่าความจริง {T,F} ตรรกใดๆ จะถูกเรียกว่า “situation theory” Ex. p=“ ฝนกำลังจะตก ”; s= สภาพแวดล้อมในขณะนั้น, ดังนั้น p(s)  {T,F}. หมายเหตุ ตัวดำเนินการใดๆ ของประพจน์ สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันที่ทอดค่าจากคู่ อันดับของค่าความจริงไปสู่ค่าความจริง Ex.  ((F,T)) = T. →((T,F)) = F.

7 ฟังก์ชันกับตรรก......( ต่อ ) หมายเหตุ พรีดิเคตใดๆ เป็นฟังก์ชันของวัตถุ ต่างๆ ที่ทอดค่าไปยังประพจน์ที่มีค่าความจริง Ex. P :≡ “is 7 feet tall”; P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False. หมายเหตุ สายของบิต B ที่มีความยาว n บิต สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่ง ที่ ทอดค่าจากตำแหน่งของบิต {1,…,n} ไปสู่ ค่าของบิตในตำแหน่งนั้นๆ { 0, 1 }. Ex. B= 101  B(3)= 1.

8 ฟังก์ชันกับเซต หมายเหตุ เซต S ใดๆ ที่อยู่ในเซตเอกภพ สัมพัทธ์ U สามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันที่ ทอดค่าสมาชิกต่างๆใน U ไปสู่ค่า {T, F}, หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือสมาชิกแต่ละตัว ใน U อยู่ในเซต S หรือไม่ ตัวอย่าง : S={3}  f S (0)=F, f S (3)=T. หมายเหตุ ตัวดำเนินการของเซตใดๆ เช่น , ,  เป็นฟังก์ชันที่ทอดค่าจากคู่ต่างๆ ของเซตที่ถูกดำเนินการไปสู่เซตใหม่ที่เป็น ผลของจากการดำเนินการ ตัวอย่าง :  (({1,3},{3,4})) = {3}

9 ศัพท์เฉพาะที่ใช้ในฟังก์ชัน นิยาม Let f:A  B, and f(a)=b (where a  A & b  B). Then A is the domain of f. B is the codomain of f. b is the image of a under f. a is a pre-image of b under f. In general, b may have more than 1 pre-image. The range R  B of f is R={b |  a f(a)=b }. We also say the signature of f is A→B.

10 เรนจ์เปรียบเทียบกับโคโดเมน หมายเหตุ เรนจ์หรือพิสัยของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้อง เท่ากับสมาชิกในโคโดเมนทุกตัว โคโดเมนคือเซตของฟังก์ชันที่ถูกทอด ค่าจากสมาชิกแต่ละตัวในโดเมน เรนจ์เป็นเซตเฉพาะและเป็นเซตย่อยใน โคโดเมนที่ถูกทอดค่าจากเซตโดเมน นั่นคือ R={b |  a f(a)=b }

11 ตัวอย่างของเรนจ์เมื่อเทียบกับ โคโดเมน ตัวอย่าง สมมุติในการกำหนดเกรดให้ นักศึกษา : “f เป็นฟังก์ชันที่มีการทอดค่าชื่อของ นักศึกษาที่เรียนวิชานี้ โดยเกรดที่จะให้กับ นักศึกษาคือ {A,B,C,D,F}” จากตัวอย่างนี้, เซตของโคโดเมนคือ : __________, และเซตของเรนจ์คือ ________. ถ้านักศึกษาทุกคนที่เรียนวิชานี้ได้เกรด A หรือไม่ก็ได้เกรด B ดังนั้นเรนจ์ของฟังก์ชัน f คือ _________, ส่วนเซตของโคโดเมนคือ. {A,B,C,D,F} unknown! {A,B} still {A,B,C,D,F}!

12 นิยามโดยทั่วไปของตัว ดำเนินการในแง่ของฟังก์ชัน นิยาม ตัวดำเนินการ n-ary ใดๆ ที่กระทำบน เซต S เป็นฟังก์ชันจากเซตอันดับ n-tuples ที่ เป็นสมาชิกของ S ไปยังตัวมันเอง Ex. ถ้า S={T,F},  can be seen as a unary operator, and ,  are binary operators on S. Ex.  and  are binary operators on the set of all sets.

13 การสร้างตัวดำเนินการของ ฟังก์ชัน ถ้า  (“dot”) เป็นตัวดำเนินการใดๆ บน เซต B ดังนั้นเราสามารถขยาย  เพื่อใช้ แทนตัวดำเนินการของฟังก์ชัน f:A  B. Ex. ตัวดำเนินการไบนารีใดๆ  :B  B  B, และฟังก์ชัน f,g:A  B, ที่ กำหนดอยู่ในรูป (f  g):A  B เพื่อกำหนดเป็นฟังก์ชันที่ นิยามโดย  a  A, (f  g)(a) = f(a)  g(a)

14 ตัวอย่างของตัวดำเนินการ ฟังก์ชัน ,× (“plus”,“times”) เป็นตัวดำเนินการไบนารี่ บนเซตจำนวนจริง ℝ. (Normal addition & multiplication.) ทั้งสองตัวดำเนินทำให้เราสามารถนำฟังก์ชันมา รวมและคูณเข้าด้วยกันได้ดังนี้ Def. Let f, g: ℝ  ℝ. (f  g): ℝ  ℝ, where (f  g)(x) = f(x)  g(x) (f × g): ℝ  ℝ, where (f × g)(x) = f(x) × g(x)

15 ตัวดำเนินการฟังก์ชันเชิง ประกอบ นิยาม กำหนดให้ g:A  B และ f:B  C. ฟังก์ชันเชิง ประกอบของ (composition function) f และ g, เขียนแทนด้วย f○g, ซึ่งกำหนดได้โดย (f○g)=f(g(a)) ข้อสังเกต ○ (like Cartesian , but unlike +, ,  ) is non-commuting. (Generally, f○g  g○f.) A g B f C. a. g(a). f(g(a))

16 อิมเมจของเซตที่อยู่ภายใต้ ฟังก์ชัน Def. Let f:A  B, and S  A. The image of S under f is simply the set of all images (under f) of the elements of S. f(S) :  {f(s) | s  S} :  {b |  s  S: f(s)=b}. Note the range of f can be defined as simply the image (under f) of f’s domain!

17 ฟังก์ชันแบบ one-to-one Def. A function is one-to-one (1-1), or injective, or an injection, iff every element of its range has only 1 pre-image. Formally: given f:A  B, “f is injective” :   x  y{f(x) = f(y)  x = y}. Only one element of the domain is mapped to any given one element of the range. Domain & range have same cardinality. What about codomain? Memory jogger: Each element of the domain is injected into a different element of the range. Compare “each dose of vaccine is injected into a different patient.”

18 การทดค่าแบบ one-to-one Bipartite (2-part) graph representations of functions that are (or not) one-to-one: d c b a One-to-one Not one-to-one Not even a function!

19 Sufficient Conditions for 1-1ness For functions f over numbers, we say: f is strictly (or monotonically) increasing iff x>y  f(x)>f(y) for all x,y in domain; f is strictly (or monotonically) decreasing iff x>y  f(x)

20 ฟังก์ชันออนทู (Onto or Surjective) Def. A function f:A  B is onto or surjective or a surjection iff its range is equal to its codomain (  b  B,  a  A: f(a)=b). Remark. An onto function maps the set A onto (over, covering) the entirety of the set B, not just over a piece of it. Ex. Let f: ℝ  ℝ. f(x) = x 3 is onto, f(x) =x 2 is not onto. (Why?)

21 การทอดค่าบนฟังก์ชันออนทู Some functions that are, or are not, onto their codomains: Onto (but not 1-1) Not Onto (or 1-1) Both 1-1 and onto 1-1 but not onto

22 Bijections Def. A function f is said to be a bijection, (or a one-to-one correspondence, or reversible, or invertible,) iff it is both one-to-one and onto. Def. For bijections f:A  B, there exists an inverse of f, written f  1 :B  A, which is the unique function such that –(where I A is the identity function on A)

23 Inverse functions

24 The Identity Function Def. For any domain A, the identity function I:A  A (variously written, I A, 1, 1 A ) is the unique function such that  a  A, I(a)=a. Some identity functions you’ve seen: –  ing 0, ·ing by 1, –  ing with T,  ing with F, –  ing with ,  ing with U. Remark. The identity function is always both one-to-one and onto (bijective).

25 Identity Function Illustrations The identity function: Domain and range x y y = I(x) = x

26 กราฟของฟังก์ชัน We can represent a function f:A  B as a set of ordered pairs {(a,f(a)) | a  A}. Note that  a, there is only 1 pair (a,b). Later topic: relations loosen this restriction. For functions over numbers, we can represent an ordered pair (x,y) as a point on a plane. A function is then drawn as a curve (set of points), with only one y for each x.

27 A Couple of Key Functions In discrete math, we will frequently use the following two functions over real numbers: Def. The floor function  ·  : ℝ → ℤ, where  x  (“floor of x”) means the largest (most positive) integer  x. Formally,  x  :≡ max({i  Z|i≤x}). Def. The ceiling function  ·  : ℝ → ℤ, where  x  (“ceiling of x”) means the smallest (most negative) integer  x. Formally,  x  :≡ min({i  Z|i≥x})

28 Visualizing Floor & Ceiling Real numbers “fall to their floor” or “rise to their ceiling.” Note that if x  Z,  x     x  &  x     x  Note that if x  Z,  x  =  x  = x. 0 1 22 3  1.6  =2  1.4  =  2  1.4  1.4  =  1  1.6  =1 33  3  =  3  =  3

29 Plots with floor/ceiling Note that for f(x)=  x , the graph of f includes the point (a, 0) for all values of a such that a  0 and a<1, but not for the value a=1. We say that the set of points (a,0) that is in f does not include its limit or boundary point (a,1). –Sets that do not include all of their limit points are generally called open sets. In a plot, we draw a limit point of a curve using an open dot (circle) if the limit point is not on the curve, and with a closed (solid) dot if it is on the curve.

30 Plots with floor/ceiling: Example Plot of graph of function f(x) =  x/3  : x f(x) Set of points (x, f(x)) +3 22 +2 33

31 ทบทวนเรื่องฟังก์ชัน Function variables f, g, h, … Notations: f:A  B, f(a), f(A). Terms: image, preimage, domain, codomain, range, one-to-one, onto, strictly (in/de)creasing, bijective, inverse, composition. Function unary operator f  1, binary operators , , etc., and ○. The R  Z functions  x  and  x .

32 จงเขียนหรือยกตัวอย่างฟังก์ชันต่อไปนี้ 1 ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one) แต่ไม่เป็น ฟังก์ชันแบบทั่วถึง (Onto) 2 ฟังก์ชันแบบทั่วถึงแต่ไม่เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อ หนึ่ง 3 ฟังก์ชันที่เป็นทั้งแบบทั่วถึงและแบบหนึ่งต่อหนึ่ง 4 ฟังก์ชันเชิงประกอบ (Composite function) เมื่อ g = {(1, b), (2, c), (3, a)} โดยที่ g เป็นฟังก์ชัน จากเซต X = {1, 2, 3} ไปยังเซต A = {a, b, c, d} ส่วนฟังก์ชัน f = {(a, x), (b, x), (c, z), (d, w)} โดยที่ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง B = {w, x, y, z} ให้หา g  f


ดาวน์โหลด ppt ฟังก์ชัน (Functi on) บทนำ ในแคลคูลัส เราคุ้นเคยกันดีกับ ฟังก์ชัน f ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ซึ่ง กำหนดด้วยตัวแปรอิสระ x  ℝ และมี ตัวแปรตาม y=f(x), โดยที่

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google