สาระการเรียนรู้ที่ ๙ ประโยคเปิด จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนสามารถบอกความหมายของประโยคเปิดได้ถูกต้อง 2. นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์ของประโยคเปิดแทนข้อความ ได้ถูกต้อง

สาระการเรียนรู้ที่ ๙ ประโยคเปิด จงพิจารณาประโยคในข้อต่อไปนี้ 1. x + 1 = 3 2. x เป็นจำนวนตรรกยะ 3. y ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 4. a  0 5. เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ ประโยค (1) – (5) มีลักษณะดังนี้ 1. เป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ และ

สาระการเรียนรู้ที่ ๙ ประโยคเปิด 2. มีตัวแปรที่ไม่ทราบว่าเป็นสิ่งใดในประโยค เรียกว่า ตัวแปร ทำให้ไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคนั้นได้ และ 3. ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์ และนำสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ไปแทนค่าตัวแปรในประโยคนั้นจะได้ประพจน์ ประโยคที่มีลักษณะตามข้อ 1 ถึงข้อ 3 ต่อไปจะเรียกว่า ประโยคเปิด ประโยคเปิด หมายถึง ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดด้วยสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ประพจน์

สาระการเรียนรู้ที่ ๙ ประโยคเปิด สัญลักษณ์ ประโยคเปิดที่มีตัวแปร x จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) เป็นต้น ตัวอย่างเช่น P(x) : x ไม่เป็นจำนวนนับ Q(x) : 2x + 3 = 9 หมายเหตุ ประโยคบางประโยคไม่เป็นประโยคเปิด ถึงแม้ว่าประโยคนั้น จะมีตัวแปร เพราะเมื่อนำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์มาแทน ค่าตัวแปรในประโยคนั้น ก็จะไม่ได้ประพจน์ ตัวอย่างเช่น x + 1 จะพบว่า ถ้า  เป็นเอกภพสัมพัทธ์แล้ว เมื่อนำสมาชิกใด ๆ ใน  ไปแทนค่า x ในประโยคนี้จะไม่สามารถหาค่าความ จริงได้หรือไม่เป็นประพจน์

ตัวอย่างที่ 1 ประโยคในข้อต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือ ไม่ใช่ทั้งประพจน์และประโยคเปิด 1. เธอกำลังเรียนอยู่ในมหาวิทยาลัย 2. เขาเป็นนักเรียนที่ตั้งใจเรียนมากใช่หรือไม่ 3. ถ้า 2 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว 2 เป็นจำนวนคี่ 4. x  0 และ x เป็นจำนวนนับ 5. x เป็นจำนวนเต็ม หรือ x เป็นจำนวนอตรรกยะ 6. ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว เป็นจำนวนจริง 7. x2 - 9 8. (x + 5)(x – 1) = x2 + 4x - 5

วิธีทำ 1. เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่ามี “เธอ” เป็น ตัวแปร และถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เมื่อแทนตัวแปรด้วย สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ 2. ไม่เป็นประพจน์และไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยค คำถาม ถึงแม้จะมีตัวแปร “เขา” ก็ตาม 3. เป็นประพจน์ เนื่องจากประโยคนี้สามารถหาค่าความจริงได้ ว่าเป็นเท็จ 4. เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่าเป็นตัวแปร และ ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เมื่อแทนตัวแปรด้วย x ด้วยสมาชิก ของเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์

วิธีทำ 5. เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่าเป็นตัวแปร และ ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เมื่อแทนตัวแปรด้วย x ด้วยสมาชิก ของเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ 6. เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคบอกเล่าเป็นตัวแปร และ ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เมื่อแทนตัวแปรด้วย x ด้วยสมาชิก ของเอกภพสัมพัทธ์จะได้ประพจน์ 7. ไม่เป็นประพจน์และไม่เป็นประโยคเปิด เพราะเป็นประโยคที่มี ตัวแปร แต่ถ้าแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์จะได้ ประโยคที่ไม่สามารถหาค่าความจริงได้ 8. เป็นประโยคเปิด (เหตุผลเช่นเดียวกับข้อ (4))

แบบฝึกทักษะ ๑.๘ การอ้างเหตุผล 1. จงพิจารณาว่า ประโยคในข้อต่อไปนี้เป็นประพจน์ หรือเป็นประโยค เปิด หรือไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิด 1. x เป็นจำนวนนับและเป็นจำนวนเฉพาะ 2. 2 เป็นจำนวนคู่ และเป็นจำนวนเฉพาะ 3. ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว x2 เป็นจำนวนตรรกยะ 4. เขาเป็นทั้งนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ 5. เธอชอบเรียนคณิตศาสตร์มาก 6. x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)

แบบฝึกทักษะ ๑.๘ การอ้างเหตุผล 7. 4 เป็น ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 8. a เป็น ค.ร.น.ของ 8 และ 12 9. สุนทรภู่เป็นกวีเอกของไทยใช่หรือไม่ 10. เขาเป็นนักเทนนิส และเป็นนักฟุตบอล 11. x เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ x2 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 12. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

กลับสู่หน้าเมนูหลัก