หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 6 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรื่อง บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของ ความยาวของด้าน ตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวก ของกำลังสอง ของความยาวของ ด้านประกอบมุมฉาก

c2 = a2 + b2

a b c a2+ b2 c2 6 8 10 36+64 100 6 12 13 36+144 169 9 12 15 81+144 225 7 13 14 49+169 196

a b c a2+ b2 c2 6 6.25 7.25 36+39.6025 52.5625 1.4 3.6 4 1.96+12.96 16 2.5 6 6.5 6.25+36 42.25 4 6.5 8.5 16+42.25 72.25

สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า กำลังสองของความยาวของด้าน ด้านหนึ่ง เท่ากับ ผลบวกของกำลัง สองของความยาวของด้านอีกสอง ด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก

บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส เป็นการนำผลของทฤษฎีพีทาโกรัส มาเป็นเหตุ และนำเหตุมาเป็นผล ดังนี้

เหตุ : มีรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เป็น รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผล : กำลังสองของความยาวของ ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของกำลังสองของความ ยาวของด้านประกอบมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 1 DABC มีด้านยาว 21 ซม. 72 ซม.และ 75 ซม. ตามลำดับDABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่ วิธีทำ ให้ a = 21 b = 72 c = 75 B 75 21 A C 72

ดังนั้น c2 = a2 + b2 จะได้ a2 = 441 b2 = 5,184 c2 = 5,625 = 5,625 ดังนั้น c2 = a2 + b2 นั่นคือ DABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก B 75 21 A C 72

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดรูป DABC ดังรูป จงแสดงว่า DABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก C 12 9 16 A D B

จะได้ BC2 = CD2 + DB2 วิธีทำ DCDB เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก = 122 + 162 = 122 + 162 = 144 + 256 ดังนั้น BC2 = 400 C 12 9 16 A D B

DADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ AC2 = CD2 + AD2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 122 + 92 = 144 + 81 AC2 = 225 จะได้ AC2+ BC2 = 225 + 400 = 625 C 12 9 16 A D B

DABC เป็นรูปD มุมฉากที่มีมุมACB เป็นมุมฉาก = 252 = 625 ดังนั้น AB2 = AC2 + BC2 DABC เป็นรูปD มุมฉากที่มีมุมACB เป็นมุมฉาก C 12 9 16 A D B

ตัวอย่างที่ 3 DPQR เป็นรูปDรูปหนึ่ง ด้านPM ตั้งฉากกับด้าน QR , PM = 8 PQ = 17 และ MR = 6 DPQR เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก R M P 17 Q 8 6

จะได้ PR2 = PM2 + MR2 วิธีทำ DPMR เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก = 82 + 62 = 82 + 62 PR2 = 64 + 36 = 100 เนื่องจากDPMQ เป็น Dมุมฉาก จะได้ PQ2 = PM2 + QM2 R M P 17 Q 8 6

172 = 82 + QM2 ดังนั้น QM2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 15 ด 15 = 289 - 64 = 225 = 15 ด 15 นั่นคือ QM = 15 แต่นั้น QR = QM + MR = 15 + 6 R M P 17 Q 8 6

จะได้ QR2 น PR2 + PQ2 = 21 QR2 = 212 = 441 PR2 + PQ2 = 100 + 289 = 389 M P 17 Q 8 6 = 21 QR2 = 212 = 441 PR2 + PQ2 = 100 + 289 = 389 จะได้ QR2 น PR2 + PQ2 นั่นคือ DPQR ไม่เป็นรูปD เป็นมุมฉาก

ลองทำดู

1) กำหนดความยาวด้านทั้งสาม ของรูปสามเหลี่ยมต่างๆ ดังนี้ จงหาว่ารูปสามเหลี่ยมในข้อใด เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1) 6, 8, 10 วิธีทำ 62 = 36 82 = 64 102 = 100 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ดังนั้น 102 = 62 + 82 แสดงว่า เป็น D มุมฉาก

2) 4, 6, 8 วิธีทำ 42 = 16 62 = 36 82 = 64 42 + 62 = 16 + 36 = 52 ดังนั้น 82 น 42 + 62 แสดงว่าไม่เป็น D มุมฉาก

3) 8, 10, 12 วิธีทำ 82 = 64 102 = 100 122 = 144 82 + 102 = 64 + 100 = 164 ดังนั้น 122 น 82 + 102 แสดงว่าไม่เป็น D มุมฉาก

4) 8, 17, 15 วิธีทำ 82 = 64 172 = 289 152 = 225 82 + 152 = 64 + 225 = 289 ดังนั้น 172 = 82 + 152 แสดงว่า เป็น D มุมฉาก

การบ้าน แบบฝึกหัดที่ 1.3 หน้าที่ 31 ข้อที่ 1 (5-6)