พื้นที่ผิวและปริมาตรพีระมิด ครูผู้สอน นายสมศักดิ์ วงศ์ตาชม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง พื้นที่ผิวและปริมาตรรูปทรงเรขาคณิต ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โรงเรียนบ้านโพนแพง สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากาฬสินธุ์ เขต 3

พีระมิด แท่งพีระมิด ฐาน แผ่นคลี่

พีระมิด ฐาน แท่งพีระมิด แผ่นคลี่

พีระมิด แท่งพีระมิด ฐาน แผ่นคลี่

ส่วนประกอบพีระมิด ยอด สัน สูงเอียง สูงเอียง ส่วนสูง ฐาน ด้านฐาน ความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

มุมมองจากบน 5 รูป มุมมองจากล่าง

เรียก ตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน การเรียกชื่อพีระมิด เรียก ตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน พีระมิด ห้าเหลี่ยม พีระมิดสามเหลี่ยม พีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิด หกเหลี่ยม

การหา ความสูงเอียง กรณีมีความยาวสัน A ตัวอย่างที่ 1 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้วสันยาว 5 นิ้ว จงหาความสูงเอียง ให้ AC เป็นสัน ยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 6 2 = 3 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB2 + 32 = 52 AB2 = 25 - 9 AB2 = 16 AB = 4 ตอบ สูงเอียง 4 นิ้ว B C

การหาความสูงเอียง กรณีมีส่วนสูง A ตัวอย่างที่ 2 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้วส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาความสูงเอียง ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว C ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB2 = 122 + 52 AB2 = 144 + 25 AB2 = 169 AB = 13 ตอบ สูงเอียง 13 นิ้ว

การหาความสูง กรณีมีสูงเอียง A ตัวอย่างที่ 3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้วสูงเอียงยาว 13 นิ้ว จงหาความสูง ให้ AB เป็นความสูงเอียง AC เป็นส่วนสูง B BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว C ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 + 52 = 132 AC2 = 169 – 25 AC2 = 144 AC = 12 ตอบ ส่วนสูง 12 นิ้ว

พื้นที่ผิวข้างพีระมิด หน้า พิจารณาแผ่นคลี่ของพีระมิด พื้นที่ทุกหน้าของพีระมิด เป็นพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด ฐาน พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ผลรวมของพื้นที่ทุกหน้าที่เป็นรูปสามเหลี่ยม สูตร พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = จำนวนหน้า x ( ½ x ด้านฐาน x สูงเอียง) หรือ สูตร พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง

พื้นที่ผิวพีระมิด พื้นที่ฐานพีระมิด พิจารณาแผ่นคลี่ของพีระมิด สูตร พื้นที่ฐานพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน พื้นที่ผิวข้างพีระมิด สูตร พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง สูตร พื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นที่ฐานพีระมิด + พื้นที่ผิวข้างพีระมิด

ตัวอย่างที่ 4 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 6 นี้ว และ สันยาว 5 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดนี้ A ให้ AC เป็นสัน ยาว 5 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB2 + 32 = 52 AB2 = 25 – 9 AB2 = 16 AB = 4 ได้ สูงเอียง 4 นิ้ว B C ต้องหาพื้นที่ผิว ต่ออีก

สูตร พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง = 48 ตารางนิ้ว สูตร พื้นที่ฐานพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน พื้นที่ฐานพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 6 x 6 = 36 ตารางนิ้ว สูตร พื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นที่ฐานพีระมิด + พื้นที่ผิวข้างระมิด ได้ พื้นที่ผิวพีระมิด = พื้นที่ฐานพีระมิด + พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = 36 + 48 = 84 ตารางนิ้ว

ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง ตัวอย่างที่ 5 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านฐานยาวด้านละ 10 นี้ว ส่วนสูงยาว 12 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวข้างพีระมิด A ให้ AC เป็นส่วนสูง ยาว 12 นิ้ว และ AB เป็นความสูงเอียง BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐาน ยาว คือ 10 2 = 5 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AB2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 AB = 13 ได้ สูงเอียง 13 นิ้ว B C สูตร พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง ได้พื้นที่ผิวข้างพีระมิด = ½ x ( 10 + 10 + 10 + 10 ) x 13 = ½ x 40 x 13 = 260 ตารางนิ้ว

การหาปริมาตรพีระมิด ให้นักเรียนทดลอง จากกล่อง ทรงปริซึม ให้นักเรียนทดลอง จากกล่อง ทรงปริซึม จากสูตร ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง เมื่อ พีระมิดที่มีส่วนสูงและฐานเท่ากับปริซึม เมื่อทำการตวง จะได้ 3 ปริมาตรพีระมิด เท่ากับ 1 ปริมาตรปริซึม 1 สูตร ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง 3

สูตร ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง ตัวอย่างที่ 6 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาว ด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร 1 สูตร ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง ได้ ปริมาตรของพีระมิดนี้ = x ( ด้าน x ด้าน ) x สูง = x ( 22 x 22 ) x 15 = 22 x 22 x 5 = 2,420 ลูกบาศก์เซนติเมตร 3 1 3 1 3

ให้ AB เป็นความสูงเอียง ตัวอย่างที่ 7 จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้านฐานยาว ด้านละ 14 เซนติเมตร สูงเอียง 25 เซนติเมตร ให้ AB เป็นความสูงเอียง AC เป็นส่วนสูง A BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 2 = 7 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ใน รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC AC2 + 72 = 252 AC2 = 625 - 49 AC2 = 576 AC = 24 ตอบ ส่วนสูง 24 นิ้ว ต้อง หาปริมาตร B C

1 สูตร ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง ได้ ปริมาตรของพีระมิดนี้ = x ( ด้าน x ด้าน ) x สูง = x ( 14 x 14 ) x 24 = 14 x 14 x 8 = 1,568 ลูกบาศก์เซนติเมตร 3 1 3 1 3