บทที่ 4 ตัวแบบควบคู่ และการวิเคราะห์ความไว (Dual Problem and Sensitivity Analysis) Operations Research โดย อ. สุรินทร์ทิพ ศักดิ์ภูวดล

จากแนวคิดของ ปัญหากำหนดการเชิงเส้นทุกปัญหาสามารถเขียนให้อยู่ในรูปที่มีลักษณะตรงกันข้ามกันได้เสมอ ตัวแบบเดิม คือ ตัวแบบเริ่มต้น (Primal) ตัวแบบที่มีลักษณะตรงกันข้ามกับตัวแบบเดิม คือ ตัวแบบควบคู่ (Dual) การหาคำตอบจากตัวแบบเดิม และตัวแบบควบคู่จะได้คำตอบที่เหมาะสมของทั้งสองปัญหาเป็นคำตอบเดียวกัน

ความสัมพันธ์ของปัญหาเดิมและปัญหาควบคู่ 1. สมการเป้าหมายมีลักษณะตรงข้ามกัน จากเดิม Min >> Max ในตัวแบบควบคู่ จากเดิม Max >> Min ในตัวแบบควบคู่ 2. ข้อจำกัดของตัวแบบเดิม จะสอดคล้องกับแต่ละตัวแปรในตัวแบบควบคู่ จำนวนข้อจำกัดของตัวแบบเดิม = จำนวนตัวแปรในตัวแบบควบคู่ จำนวนตัวแปรในตัวแบบเดิม = จำนวนข้อจำกัดในตัวแบบควบคู่ 3. ค่าคงที่ขวามือของข้อจำกัดในตัวแบบเดิม จะเป็นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรควบคู่ในสมการเป้าหมาย 4. สัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการเป้าหมายเดิม จะเป็นค่าคงที่ขวามือของข้อจำกัดในตัวแบบควบคู่

ความสัมพันธ์ของตัวแบบเดิมและตัวแบบควบคู่ 5. ตัวแบบที่ต้องการหาค่าสูงสุด(Max.) จะต้องมีข้อจำกัดอยู่ในรูป <= ตัวแบบที่ต้องการหาค่าต่ำสุด(Min.) จะต้องมีข้อจำกัดอยู่ในรูป >= 6. สัมประสิทธิ์ของตัวแปรตามแถวตั้งของตัวแบบเริ่มต้น จะเป็นสัมประสิทธ์ของตัวแปรตามแถวนอนของตัวแบบคู่กัน โดยที่แถวตั้งแรกของตัวแบบเริ่มต้น จะเป็นแถวนอนแรกของตัวแบบควบคู่ (aij กลายเป็น aji) 7. ตัวแปรของตัวแบบเดิมและตัวแบบควบคู่จะต้องไม่เป็นลบ

จงเขียนตัวแบบควบคู่จากตัวแบบเดิม หาค่าสูงสุดของ Max Z = 5X1 + 6X2 ข้อจำกัด X1 + 9X2 <= 60 2X1+ 3X2 <= 45 5X1 - 2X2 <= 20 X2 <= 30 X1, X2 >=0

ตัวแบบเดิม หาค่าสูงสุดของ Max Z = 5X1 + 6X2 ข้อจำกัด X1 + 9X2 <= 60 Y1 2X1+ 3X2 <= 45 Y2 5X1 - 2X2 <= 20 Y3 X2 <= 30 Y4 X1, X2 >=0

ตัวแบบควบคู่ คือ หาค่าต่ำสุด Min. W = 60Y1 + 45Y2 + 20Y3 + 30Y4 ข้อจำกัด Y1+2Y2+5Y3 >= 5 9Y1+3Y2-2Y3+ Y4 >= 6 Y1,Y2,Y3,Y4 >= 0

กรณี ที่ข้อจำกัดมีเครื่องหมายต่างกัน ตัวแบบเริ่มต้น Max. Z = 5X1 + 7X2 + 2X3 ข้อจำกัด 2X1 + X2 - 6X3 <= 30 6X1- 4X2 + 10X3 >= 10 X1 + 2X2 + 4X3 = 40 X1, X2,X3 >= 0

ในกรณีที่ตัวแบบเริ่มต้นมีข้อจำกัดที่มีเครื่องหมายต่างกัน จะต้องเปลี่ยนตัวแบบเริ่มต้น ให้เป็นตัวแบบเริ่มต้นที่มีข้อจัดที่มีเครื่องหมายเดียวกัน 1. ฟังก์ชันข้อจำกัดที่ 1 มีเครื่องหมาย <= อยู่แล้วไม่ต้องแก้ไข เนื่องจากตัวอย่างนี้เป็นตัวแบบที่ต้องการหาค่าสูงสุด(Max.) จะต้องมีข้อจำกัดอยู่ในรูป <= 2. ฟังก์ชันข้อจำกัดที่ 2 เปลี่ยนแครื่องหมายให้อยู่ในรูป <= โดยเอา -1 คูณตลอด จะได้อสมการใหม่ดังนี้ -6X1+ 4X2 - 10X3 <= -10

3. ฟังก์ชันข้อจำกัดที่ 3 มีครื่องหมาย = สามารถเขียนเป็นอสมการ 2 ฟังก์ชันโดยที่มีเครื่องหมายอสมการตรงข้ามกันคือ X1 + 2X2 + 4X3 >= 40 และ X1 + 2X2 + 4X3 <= 40 เปลี่ยนเครื่องหมาย >= ให้เป็นเครื่องหมาย <= ทำได้โดยเอา -1 คูณตลอดจะได้ -X1 - 2X2 - 4X3 <= -40

เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายเสร็จแล้ว เราจะได้ตัวแบบเริ่มต้นอันใหม่ที่ปรับเงื่อนไขให้เป็น <= ทุกอันได้ดังนี้ Maximize Z = 5X1 + 7X2 + 2X3 ข้อจำกัด 2X1 + X2 - 6X3 <= 30 -6X1 + 4X2 - 10X3 <= -10 X1 + 2X2 + 4X3 <= 40 (เอาอสมการที่เป็น + ขึ้นก่อนเสมอ) -X1 - 2X2 - 4X3 <= -40 X1, X2, X3 >= 0 Y1 Y2 Y3+ Y3-

เปลี่ยนเป็นตัวแบบควบคู่จะได้ดังนี้ Minimize W = 30Y1 -10Y2 + 40Y3+ - 40Y3- ข้อจำกัด 2Y1- 6Y2 + Y3+ - Y3- >= 5 Y1+ 4Y2 + 2Y3+ - 2Y3- >= 7 -6Y1-10Y2+ 4Y3+- 4Y3- >= 2 Y1,Y2, Y3+, Y3- >= 0

จากนั้นจัดตัวแบบควบคู่จะได้ Minimize W = 30Y1 -10Y2 + 40(Y3+ - Y3-) ข้อจำกัด 2Y1- 6Y2 + (Y3+- Y3-) >= 5 Y1+ 4Y2 + 2(Y3+- Y3-) >= 7 -6Y1-10Y2 + 4(Y3+- Y3-) >= 2 Y1,Y2, Y3+, Y3- >= 0

ถ้าให้ Y3 = (Y3+- Y3-) โดยที่ Y3 มีค่าใดๆก็ได้ จากความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถเขียนเป็นตัวแบบควบคู่จะได้ดังนี้ Minimize W = 30Y1 -10Y2 + 40Y3 ข้อจำกัด 2Y1 - 6Y2 + Y3 >= 5 Y1 + 4Y2 + 2Y3 >= 7 -6Y1 - 10Y2 + 4Y3 >= 2 Y1,Y2 >= 0 และY3 มีค่าใดๆก็ได้ หรือไม่มีขอบเขต