ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ค31211 คณิตศาสตร์สำหรับ คอมพิวเตอร์ 1
ประโยคเปิด ประโยคเปิด เป็น ประโยคที่ไม่สามารถบอกค่า ความจริงได้เนื่องจาก มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ นิยมใช้ในคำสั่งควบคุมโปรแกรม เช่น if x > 10 then print “PASS!”;
ตัวอย่างประโยคเปิด x > 0 y = x y – 5 > x
ตัวบ่งปริมาณ (quantifier) มี 2 รูปแบบคือ universal quantifier เขียน แทนด้วยสัญลักษณ์ และ existential quantifier เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ตัวอย่างการเขียนตัวบ่งปริมาณ x[P(x)] หมายถึง สำหรับทุกค่าของตัวแปร x ในประพจน์ P(x) x[P(x)] หมายถึง สำหรับบางค่าของตัวแปร x ในประพจน์ P(x)
ค่าความจริงของ x[P(x)] x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ P(x) เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ x แต่ถ้ามีค่า x อย่าง น้อยหนึ่งค่าที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ ประพจน์ x[P(x)] จะมีค่าเป็นเท็จ
ค่าความจริงของ x[P(x)] x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเมื่อ มีค่า x อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ทำให้ P(x) เป็นจริง และ x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ ไม่มีค่า ความจริงใดๆที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
ตัวอย่างการหาค่าความจริง กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนเต็ม จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ (ก) x [x < x+1] (ข) x [x=10] (ค) x y[x+y>x]
(ก) x [x < x+1] ประโยค x < x+1 เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ x
(ข) x [x=10] เนื่องจากมี x อย่างน้อย 1 ตัวเช่นเมื่อ x เป็น 4 ที่ ทำให้ประโยค x=10 เป็นเท็จ ดังนั้นประพจน์ x [x < x+1] มีค่าความจริง เป็นเท็จ
(ค) x y[x+y>x] เนื่องจากมี x,y อย่างน้อย 1 คู่ที่ทำให้ประโยค x=10 เป็นเท็จ ดังนั้นประพจน์ x [x < x+1] มีค่าความจริง เป็นเท็จ
ตัวบ่งปริมาณมีเพียงค่าเดียว สัญลักษณ์ของตัวบ่งปริมาณมีเพียงค่าเดียวคือ ! มีเพียง x เพียงค่าเดียวเท่านั้น จะเขียนแทนด้วย !x[P(x)] หมายความว่ามี x เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ประโยค P(x) เป็นจริง มิฉะนั้นแล้ว !x[P(x)] จะเป็นเท็จ
ตัวอย่างการหาค่าความจริง กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนเต็ม บวกจงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ (ก) !x[x<2] (ข) !x[x>4]
(ก) !x[x<2] ประพจน์ !x[x<2] มีค่าความจริงเป็นจริง เนื่องจากมี x = 1 เพียงค่าเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ประโยค x < 2 เป็นจริง
(ข) !x[x>4] ประพจน์ !x[x>4] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เนื่องจากมี x มากกว่า 1 ค่าที่ทำให้ประโยค x > 4 เป็นจริง เช่น x=5, x=6