INC341 Block Reduction & Stability Lecture 5

Example ใช้สูตร หาค่า K ที่ทำให้ระบบนี้มี %OS = 10%

หา ζ กับ ω

โจทย์ต้องการ %OS =10%

Signal-Flow Graph เป็นวิธีการเขียนแผนภาพแสดงระบบอีกรูปแบบหนึ่ง

Block Diagram Symbols Signal- Flow Graph Symbols Signal (and Summing Junction) Transfer Function Signal- Flow Graph Symbols

Connections Series (Cascade) Parallel Feedback

Stability เทอมนี้เป็นตัวบอกว่า stable หรือไม่ Stability – ระบบ stable เมื่อ output อยู่ในขอบเขตจำกัด สำหรับ input ใดๆที่อยู่ในขอบเขตจำกัด เทอมนี้เป็นตัวบอกว่า stable หรือไม่

Type of Stability Stable – Natural response approaches zero as time approaches infinity Unstable – Natural response grows without bound as time approaches infinity Marginally Stable - Natural response neither decay nor grows, but remains constant or oscillate as time approaches infinity

Poles and Stability Approach 0 Approach ∞ เมื่อ t -> ∞

Bottom Line เน้น Im Re Poles over here are stable Poles over here Left half-plane Right half-plane Re Poles over here are stable Poles over here are unstable เน้น ถ้ามี pole แม้แต่อันเดียวอยู่ทางขวา, ระบบจะไม่ stable

มี feedback ตำแหน่งของ poles เปลี่ยน แล้วระบบใหม่ stable ไหม ?

Routh-Hurwitz Criterion เอาไว้ใช้กับตัวส่วน polynomial เพื่อดูว่ามี pole อยู่ทางขวามือหรือไม่ จะดูจากสัมประสิทธิ a4, a3, a2, a1, a0

ขั้นตอนของ Routh-Hurwitz method ดูสัมประสิทธิของ polynomial ถ้ามีทั้งบวกและลบจะแสดงว่ามี pole อยู่ทางขวามือ ถ้าสัมประสิทธิของ polynomial เป็นบวกหรือลบหมด ให้สร้าง Routh-Hurwitz table ดูสัมประสิทธิของ column แรกในตาราง ถ้าไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ระบบจะ stable

เอาสัมประสิทธิของ polynomial มาเรียงกัน 2 แถว

เติมบรรทัดต่อๆมาอีก n-1 บรรทัด ถ้า a4, a3, b1, c1, d1 มีเครื่องหมายเดียวกันหมด ระบบจะ stable

คุณสมบัติของ Routh-Hurwitz Table เราสามารถคูณแถวทั้งแถวด้วยค่าคงที่โดยไม่มีผลกับการหาค่า Root จำนวนครั้งการเปลี่ยนเครื่องหมายของ column แรก จะเท่ากับจำนวน poles ใน right-half plane

Example ให้ทดสอบ stability ของระบบข้างบน

มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง แสดงว่ามี 2 poles อยู่ใน right-half plane ระบบ unstable

Special Cases of Routh-Hurwitz Criterion Case 1 มีค่า 0 ใน first column 1 3 5 2 6 3 ??Infinity??

ถ้ามี 0 แทนด้วย ε แล้ว ใส่ limit ε→0 ทีหลัง

พิจารณา 2 cases ε = 0+ และ 0- เช่น 0.00001 กับ -0.00001 จะพบว่าระบบ unstable

Alternative approach ใช้หลักการว่า “กลับเศษเป็นส่วนไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย” แล้วให้ 1/s =d จะได้ มองเป็น polynomial แล้วใช้ Routh-Hurwitz กับ polynomial นี้แทน

พบว่าไม่มีเลขใน column แรกอันไหนเป็น 0 และมีการเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง Unstable

Case 2 ทั้งแถวเป็น 0 เกิดจากมี odd, even polynomial เป็นส่วนประกอบ Even polynomial มีแต่เทอม s กำลังคู่ Odd polynomial มีแต่เทอม s กำลังคี่

Odd และ Even Polynomial จะมี Roots เป็น Symmetry ดังรูป

Example 1 6 8 7 42 56 0 0 0 จะแทน row ที่เป็น 0 หมดด้วย Differential ของ auxiliary polynomial

แทน row ที่เป็น 0 หมดด้วย

เครื่องหมายไม่เปลี่ยน แสดงว่าไม่มี right-half poles จากกฏ symmetry แสดงว่าต้องเป็น case B ซึ่ง poles อยู่บนแกน jω เกิด row เป็น 0 หลังจาก s4 แสดงว่าเป็น even polynomial กำลัง 4 จากข้อสรุปเหล่านี้ ระบบมี 4 poles บนแกน jω และอีก 1 pole ใน left-half plane Marginally Stable

Example

เครื่องหมายเปลี่ยน 2 ครั้งก่อนเจอแถวเป็น 0 Unstable

MATLAB Commands Roots – Find roots of a polynomial Poly – Find coefficients of a polynomial from roots