Chapter 5 การประยุกต์ของ อินทิกรัล Applications of Integrals

5.1 พื้นที่ [ Area ] ในการหาพื้นที่เราจะพบได้ 2 กรณี 1. ในกรณีที่ ดังรูป จะใช้สูตร

2. ในกรณีที่ ดังรูป จะใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปิด ล้อมด้วยกราฟของ และ วิธีทำหาจุดตัดของกราฟ จะได้จุดตัด (-2,2) และ (2,2)

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปิด ล้อมด้วยกราฟของ และ แกน วิธีทำวาดกราฟได้เป็น

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปิด ล้อมด้วยกราฟของ และ วิธีทำวาดกราฟได้เป็น พื้น ที่

ดังนั้ น

ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปิด ล้อมด้วยกราฟของ และ วิธีทำ จุดตัดของกราฟ และ คือ (0,0) และ (2,4) จุดตัดของกราฟ และ คือ (0,0) และ (4,8)

วิธีที่ 1 วิธีที่ 1 วิธีที่ 2 วิธีที่ 2

5.2 ปริมาตรของวัตถุทรงตันที่เกิด จากการหมุน [ Volume of Solid of Revolutions ] การหมุนรอบเส้นตรงใดเส้นตรงหนึ่งในพื้นที่ ราบ ซึ่งจะเรียกเส้น ตรงนี้ว่าแกนหมุน ( Axis of Revolution ) การหาปริมาตรมี 2 วิธี ได้แก่ Disk Method Disk Method จะตัดตั้งฉากกับแกนหมุน โดยตัดเป็นชิ้นๆ ที่มีความกว้างเท่ากัน Shell Method Shell Method จะตัดขนานกับแกนหมุน โดยตัดเป็นชิ้นๆ ที่ มีความกว้างเท่ากัน

ให้ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วง เป็นพื้นที่ล้อม รอบด้วย และแกน และ เป็น ปริมาตรที่เกิดจากการหมุน รอบแกน พิจารณาจากรูปดังนี้ Disk Method ก. แกนหมุนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นขอบ ของบริเวณที่จะหมุน หมุนรอบแกน x พิจารณาที่ แท่งเดียว จะใช้ สูตร

ตัวอย่างที่ 1 จงหาปริมาตรของทรงตันที่ เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ ของ และแกน รอบเส้นตรง วิธีทำวาดกราฟได้เป็น

ตัวอย่างที่ 2 จงหาปริมาตรของทรงตันที่ เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ ของ และรอบเส้น ตรง วิธีทำ วาดกราฟได้ เป็น

ข. เมื่อแกนหมุนไม่เป็นส่วนใดเลยของ เส้นขอบของบริเวณ ให้ และ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วง เป็นพื้น ที่ล้อมรอบด้วย โดยที่ และ เป็นปริมาตรที่เกิดจาก การหมุนรอบ และ เป็นปริมาตรที่เกิดจาก การหมุนรอบ แกน พิจารณาจากรูปดังนี้ หมุนรอบแกน x พิจารณาที่แท่ง เดียว เรียกวิธีนี้ว่า Ring Method หรือ Washer Method จะใช้ สูตร

ตัวอย่างที่ 3 จงหาปริมาตรของทรงตันที่ เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ ของ และ รอบเส้นตรง วิธีทำวาดกราฟได้เป็น

ให้ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วง เป็นพื้นที่ล้อม รอบด้วย และแกน และ เป็น ปริมาตรที่เกิดจากการหมุน รอบแกน พิจารณาจากรูปดังนี้ Shell Method ก. แกนหมุนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นขอบ ของบริเวณที่จะหมุน หมุนรอบแกน x พิจารณาที่ แท่งเดียว จะใช้ สูตร

ตัวอย่างที่ 4 จงหาปริมาตรของทรงตันที่ เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ ของ รอบแกน วิธีทำวาดกราฟได้เป็น

ตัวอย่างที่ 5 จงหาปริมาตรของทรงตันที่ เกิดจากการหมุนบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ ของ และ รอบ วิธีทำวาดกราฟได้เป็น

5.3 ความยาวส่วนโค้ง [The Length of Arc ] กำหนดให้ โดยที่ ความยาวส่วนโค้งซึ่ง แทนด้วย หรือ จะมีสูตรคือ ในทำนองเดียวกัน ถ้ากำหนดให้ โดยที่ ความยาวส่วนโค้งจะมีสูตรเป็น

ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวส่วนโค้งของ กราฟ จาก ถึง วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวส่วนโค้งของ กราฟ จาก ถึง วิธีทำ