Chapter 7 Poisson’s and Laplace’s Equations Laplacian of V is divergent of grad V In Cartesian system
สมการที่ขวามือไม่เป็นศูนย์นี้เราเรียกว่า Poisson’s Equation สำหรับบริเวณที่ไม่พบประจุอิสระ ดังนั้นทางขวาของสมการเป็นศูนย์ เราเรียกสมการชนิดนี้ว่า Laplace’s Equation
7.2 Uniqueness Theorem คำตอบที่ออกมาจากสมการลาปลาสของปัญหาเดียวกันที่มีค่าขอบเดียวกัน มีหนึ่งเดียว สมมุติว่า นาย ก กับ นาย ข หาคำตอบของสมการลาปลาสข้อเดียวกันได้ดังนี้
จะหาค่าคงที่ได้ต้องแทนความสัมพันธ์ของ V1 และ V2 สักหนึ่งกรณีคือที่ bc
จงหา 7.3 Example of solution of Laplace’s Equation แผ่นประจุอนันต์สองแผ่นวางขนานกันด้วยระยะห่าง d กำหนดให้ที่ระยะ z = 0 มี V = 0 และระยะ z = d มี V =V0 กำหนดให้ระบบดังกล่าว ρv = 0 และ ε = 2ε0 เป็นสารระหว่างแผ่นตัวนำทั้งสอง จงหา 1.ศักย์ไฟฟ้าในช่วง 0<z<d d V(z=d) = V0 2.สนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นตัวนำทั้งสอง 3.ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้าระหว่างแผ่นตัวนำทั้งสอง V(z=0) = 0 4. Dn บนผิวตัวนำ 5. ρs บนผิวตัวนำ
หาค่าคงที่ A กับ B จาก bc วิธีทำ d V(z=0) = 0 V(z=d) = V0 จากปัญหาดังกล่าวคือ การแก้สมการลาปลาสตัวแปรเดียว ( คือ ค่า V ขึ้นกับ z) ซึ่งมี bc. ตามที่โจทย์กำหนด หาค่าคงที่ A กับ B จาก bc
หาสนามไฟฟ้าจาก E d หา ρs บนผิวตัวนำ หาDn บนผิวตัวนำ Dn = ρs V(z=0) = 0 V(z=d) = V0 หา ρs บนผิวตัวนำ หาDn บนผิวตัวนำ จาก bc ระหว่างตัวนำกับ dielectric ได้ Dn = ρs
ปัญหาข้อนี้ต้องทราบว่าเป็นสมการลาปลาสตัวแปรเดียวโดย V ขึ้นกับφ ดังนั้น จงหาทุกอย่างเหมือนข้อแรกเมื่อเป็นระบบที่มี bc ดังรูป กำหนดให้ที่ φ= φ1 V=0 , φ= φ2 V=V0 ระหว่าง แผ่นตัวนำทั้งสอง ρv = 0 gab ปัญหาข้อนี้ต้องทราบว่าเป็นสมการลาปลาสตัวแปรเดียวโดย V ขึ้นกับφ ดังนั้น V=V0 φ1 φ2 ถ้า ρ≠0 V=0
หาสนามไฟฟ้าจาก