ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probability of an event)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probability of an event) บทนิยาม ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซเป็นเซตจำกัด และผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นมีโอกาสขึ้นได้เท่า ๆ กัน E เป็นเหตุการณ์ ใช้สัญลักษณ์ P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E P(E) เท่ากับ อัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ของ E ต่อจำนวนผลลัพธ์ของ S ดังนั้น P(E) =

ข้อสังเกตเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใด ๆ แล้ว 0  P(E)  1 P(E) = 0 ก็ต่อเมื่อ E =  หมายความว่า เหตุการณ์ที่กล่าวถึงไม่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ P(E) = 1 ก็ต่อเมื่อ E = S หมายความว่า เหตุการณ์ที่กล่าวถึงเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

1. กล่องทึบใบหนึ่งใส่ลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีเขียว 6 ลูก และสีขาว 4 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 1.1) หยิบบอลได้สีแดง

1.2) หยิบบอลได้สีเขียว 1.3) หยิบบอลได้ลูกบอลสีแดงหรือสีขาว

2. ไพ่สำรับหนึ่งมี 52 ใบ สลับจนทั่วแล้วสุ่มหยิบขึ้นมา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไพ่ 1 สำรับมีคิง 4 ใบ ควีน 4 ใบ และแจ๊ค 4 ใบ 2.1) หยิบได้คิง

2.2) หยิบได้คิง หรือควีน 2.3) หยิบได้คิง หรือควีน หรือแจ็ค

3. ไพ่สำรับหนึ่งมี 52 ใบ สลับจนทั่วแล้วสุ่มหยิบขึ้นมา 1 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไพ่มีโพแดง 13 ใบ ข้าวหลามตัด 13 ใบ ดอกจิก 13 ใบ 3.1) หยิบได้โพแดง

3.2) หยิบได้โพแดง หรือข้าวหลามตัด 3.3) หยิบได้โพแดง หรือข้าวหลามตัด หรือดอกจิก

4. นักศึกษากลุ่มหนึ่งชั้นปีที่หนึ่งมี 5 คน ปีที่สอง 4 คน ปีที่สาม 7 คน และปีที่สี่ 4 คน เลือกตัวแทน 1 คน อย่างสุ่มจากนักศึกษากลุ่มนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นนักศึกษา 4.1) ปีที่สอง

4.2) ปีที่สี่ 4.3) ปีที่สาม หรือปีที่สี่

5. ชายคนหนึ่งซื้อสลากจำนวนหนึ่งจากสลากทั้งหมด 1,000 ใบ ซึ่งรางวัลเพียงรางวัลเดียว จงหาความน่าจะเป็นที่จะถูกรางวัล เมื่อ 5.1) ชายผู้นี้ซื้อสลาก 1 ใบ

5.2) ชายผู้นี้ซื้อสลาก 10 ใบ 5.3) ชายผู้นี้ซื้อสลาก 50 ใบ

6. ชายคนหนึ่งซื้อสลาก 1 ใบ จากสลากทั้งหมด 1,000,000 ใบ โดยสลากชุดนี้มีรางวัลพิเศษ 1 รางวัล รางวัลที่หนึ่ง 5 รางวัล รางวัลที่สอง 25 รางวัล และรางวัลที่สาม 500 รางวัล จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 6.1) ชายผู้นี้ถูกรางวัลพิเศษ

6.2) ชายผู้นี้ถูกรางวัลที่หนึ่ง 6.3) ชายผู้นี้ถูกรางวัล

7. โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 7.1) ลูกเต๋าหงายแต้ม 4

7.2) ลูกเต๋าหงายแต้ม 6 7.3) ลูกเต๋าหงายแต้ม 4 หรือ 6

8. โยนลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 8.1) ลูกเต๋าลูกที่หนึ่งขึ้นแต้มมากกว่า 4 และลูกเต๋าลูกที่สองขึ้นแต้มไม่เกิน 4

8.2) ผลรวมของแต้มลูกเต๋าทั้งสองมากกว่า 5

9. โยนลูกเต๋าที่เที่ยงตรง 3 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ผลรวมของลูกเต๋าทุกลูกเท่ากับ 5 เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม ดังนี้ ขึ้นแต้ม 1 , 1 , 3 มีจำนวนวิธีขึ้นแต้ม 3 วิธี (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) ขึ้นแต้ม 1 , 2 , 2 มีจำนวนวิธีขึ้นแต้ม 3 วิธี (1,2,2) (2,1,2) (2,2,1)

10. โยนเหรียญบาทเที่ยงตรง 3 อันพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 10.1) เหรียญขึ้นหัวมากกว่าก้อย E = {HHH , HHT, HTH , THH}

10.2) เหรียญขึ้นก้อยอย่างน้อย 1 เหรียญ n(E) = จำนวนวิธีทั้งหมด – จำนวนวิธีที่เหรียญขึ้นหัวทั้ง 3 เหรียญ 10.3) เหรียญขึ้นหัวเป็น 2 เท่าของเหรียญขึ้นก้อย E = {HHT, HTH , THH}

11. โยนลูกเต๋า 1 ลูก และหยิบไพ่ 1 ใบจากสำรับอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 11.1) ลูกเต๋าหงายแต้ม 6 และหยิบไพ่ได้คิงโพแดง

11.2) ลูกเต๋าหงายแต้ม 6 หรือหยิบไพ่ได้คิงโพแดง อย่างใดอย่างหนึ่ง E1 เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายแต้ม 6 E2 เป็นเหตุการณ์ที่หยิบไพ่ได้คิงโพแดง จาก

12. มีตะปู 3 ตัว และน็อต 3 ตัว ปนกันอยู่ ถ้าหยิบมาอย่างสุ่ม 2 ตัว จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ตะปูและน็อตอย่างละหนึ่งตัว

13. นักเรียนหญิง 5 คน มีตาสีน้ำตาล 3 คน นอกนั้นมีตาสีดำ ถ้าสุ่มนักเรียนเหล่านี้มา 2 คน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะสุ่มได้นักเรียนหญิงที่ 13.1) มีตาสีน้ำตาล 2 คน

13.2) ไม่มีใครมีตาสีน้ำตาล 13.3) มีตาสีน้ำตาลอย่างน้อย 1 คน

สวมเสื้อสีแดงและกระโปรงสีเขียวได้ 2 x 3 = 6 วิธี 14. น้องถุงแป้งมีเสื้อ 5 ตัว เป็นสีขาว 3 ตัว สีแดง 2 ตัว มีกระโปรง 4 ตัว เป็นสีขาว 1 ตัว สีเขียว 3 ตัว ถ้าน้องถุงแป้งแต่งตัวออกจากบ้านโดยไม่เจาะจง จงหาความน่าเป็นที่เธอจะสวมเสื้อและกระโปรงสีต่างกัน สวมเสื้อสีขาวและกระโปรงสีเขียวได้ 3 x 3 = 9 วิธี สวมเสื้อสีแดงและกระโปรงสีขาวได้ 2 x 1 = 2 วิธี สวมเสื้อสีแดงและกระโปรงสีเขียวได้ 2 x 3 = 6 วิธี

15. ข้อสอบแบบถูกผิดชุดหนึ่งมีจำนวน 8 ข้อ นักเรียนคนหนึ่งเดาคำตอบสำหรับข้อสอบแต่ละข้อ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 15.1) เดาคำตอบของข้อสอบ 8 ข้อได้เป็นคำตอบที่ถูกต้อง เดาคำตอบของข้อสอบ 8 ข้อ เป็นคำตอบที่ถูกได้ 1 วิธี

15.2) เดาคำตอบของข้อสอบ 6 ข้อแรกได้เป็นคำตอบที่ถูกต้อง เดาคำตอบ 6 ข้อแรก เป็นคำตอบที่ถูกได้ 1 วิธี อีก 2 ข้อที่เหลือมีวิธีเดา 2 วิธี

16. ห้องประชุมห้องหนึ่งมีประตู 8 ประตู เด็กคนหนึ่งเดินเข้าและออกจากห้องประชุมนี้ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 16.1) เด็กคนนี้จะเดินเข้าและออกด้วยประตูเดียวกัน

16.2) เด็กคนนี้เมื่อเกินเข้าประตูใดแล้วจะออกประตูนั้นไม่ได้

17. สร้างคำที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จาก a, b, c, d, e และ f โดยไม่สนใจความหมาย จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 17.1) คำนั้นขึ้นต้นด้วยตัวอักษร a

17.2) คำนั้นขึ้นต้นด้วยตัวอักษร ab

18. ต้องการสร้างคำที่ประกอบด้วยอักษร 4 ตัว ซึ่งเอามาจากคำว่า BEAUTY โดยคำที่สร้างไม่จำเป็นต้องมีความหมาย จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอักษรที่นำมาสร้างคำมี 6 ตัว คือ B E A U T Y เป็นพยัญชนะ 3 ตัว คือ B T Y เป็นสระ 3 ตัว คือ E A U

18.1) คำที่สร้างขึ้นต้องขึ้นต้นและลงท้ายพยัญชนะ คำที่สร้างขึ้นต้นด้วยพยัญชนะได้ 3 วิธี คำที่สร้างลงท้ายด้วยพยัญชนะได้ 2 วิธี ตัวอักษรอีก 2 ตัว เป็นตัวอักษรที่เหลือ 4 ตัว มีวิธี 4 x 3 วิธี 18.2) คำที่สร้างต้องมีอักษร Y n(E) = จำนวนวิธีทั้งหมด – จำนวนวิธีที่คำที่สร้างไม่มีตัว Y

19. เด็กคนหนึ่งหมุนหมายเลขโทรศัพท์ 7 ตัว อย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่หมายเลขโทรศัพท์ที่หมุนจะขึ้นต้นด้วย 566

20. หยิบบัตร 1 ใบ อย่างสุ่ม จากบัตร 50 ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1-50 จงหาความน่าจะเป็นที่หมายเลขบัตรจะเป็น 20.1) จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว

20.2) จำนวนเฉพาะ 20.3) จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว

21. น้องรุ้งสีเกิดในเดือนมิถุนายน วันที่เธอเกิดเป็นเลขคี่ที่ 3 หารลงตัว เธอให้เพื่อทายวันเกิดของเธอ จงหาความน่าจะเป็นที่เพื่อนของน้องรุ้งสี จะทายวันที่เธอเกิดได้ถูกต้อง

22. เลือกตัวเลข 3 ตัว อย่างไม่เจาะจงจาก {1,2,3,4} โดยเลือกทีละตัว และไม่ซ้ำกันมาสร้างเป็นจำนวนที่มีสามหลัก ความน่าจะเป็นที่จะ ได้ตัวเลขสามตัวมีผลบวกไม่มากกว่า 8 ผลบวก 8 ได้จากเลือกตัวเลข 1,3,4 มีจำนวนวิธีที่ได้ผลบวก 8 เท่ากับ 3! = 6 วิธี ผลบวก 7 ได้จากเลือกตัวเลข 1,2,4 มีจำนวนวิธีที่ได้ผลบวก 7 เท่ากับ 3! = 6 วิธี ผลบวก 6 ได้จากเลือกตัวเลข 1,2,3 มีจำนวนวิธีที่ได้ผลบวก 6 เท่ากับ 3! = 6 วิธี

23. สร้างจำนวนเต็มที่มี 4 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 23.1) จำนวนที่สร้างมีเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน

23.2) จำนวนที่สร้างมีค่ามากกว่า 2,000 หลักพัน ใช้ตัวเลขได้ 3 วิธี คือ 2 , 3 , 4 หลักร้อย หลักสิบ และหลักหน่วย ใช้ตัวเลขได้ 4 วิธี คือ 1 , 2 , 3 , 4

24. มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสีพระยา 2 ขนาดคือ เรือขนาดใหญ่ 2 ลำ และเรือขนาดเล็ก 6 ลำ ถ้านายรหัสลับซึ่งพักอยู่ทางฝั่งสี่พระยาต้องใช้เรือข้ามฟากจากสี่พระยาไปคลองสานทั้งไปและกลับ ทุกวัน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่นายรหัสลับจะ 24.1) ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่

24.2) ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 24.3) ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับด้วยเรือขนาดเล็ก

25. สามีภรรยารวม 4 คู่ มาร่วมงานเลี้ยงงานหนึ่ง ถ้าให้ผู้ชายจับคู่เต้นรำกับผู้หญิง จงหาความน่าจะเป็นที่นาย ก และนาง ข ซึ่งเป็นสามีภรรยากันได้เต้นรำด้วยกัน

26. จัดผู้หญิง 5 คน นั่งถ่ายรูปในแนวเส้นตรง ในจำนวนนี้มีน้องต้นหอมอยู่ด้วย จงหาความน่าจะเป็นที่จะจัดให้น้องต้นหอมนั่งอยู่หัวแถวเสมอ

27. ครูคนหนึ่งนำนักเรียนชาย 3 คน และนักเรียนหญิง 3 คน มาถ่ายรูปร่วมกับครู โดยยืนเป็นแถวยาว จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ 27.1) ครูยืนกลาง ครูยืนกลางได้ 1 วิธี คนอื่นที่เหลืออีก 6 คน มีวิธียืนได้ 6 !

27.2) ครูยืนริม ครูยืนริมได้ 2 วิธี คนอื่นที่เหลืออีก 6 คน มีวิธียืนได้ 6 !

28. กำหนด A = {a,b,c} และ B = {4,5} ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จงหาความน่าจะเป็นที่ r จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B เท่ากับ จำนวนฟังก์ชันจาก A ไป B เท่ากับ

29. กำหนด A = {1,2} B = {3,4,5} ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จงหาความน่าจะเป็นที่ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B จำนวนฟังก์ชันจาก A ไป B เท่ากับ จำนวนฟังก์ชัน 1 – 1 จาก A ไป B เท่ากับ

30. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงหาความน่าจะเป็นที่ (p q)  r จะมีค่าความจริงเป็นจริง T F

จากตารางมีกรณีที่มีค่าความจริงเป็นจริง 3 กรณี

1. จากประวัติผู้ป่วยคลินิกแห่งหนึ่งที่ป่วยเป็นโรคภูมิแพ้ หรือโรคความดันโลหิตสูง จำนวน 60 คน พบว่ามีผู้ป่วยโรคภูมิแพ้ 26 คน มีผู้ป่วยเป็นโรคภูมิแพ้และโรคความดันโลหิตสูง 18 คน ถ้าสุ่มประวัติผู้ป่วย 1 ราย จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นผู้ป่วยโรคภูมิแพ้อย่างเดียวหรือเป็นโรคความดันโลหิตสูงอย่างเดียว โรคภูมิแพ้ โรคความดันโลหิตสูง 8 34 18

2. เด็กคนหนึ่งไปเที่ยวภูเก็ตขณะที่พัก สังเกตว่าถ้าฝนตกตอนเช้าบ่ายอากาศจะแจ่มใส ถ้าฝนตกตอนบ่ายตอนเช้าอากาศแจ่มใส ระหว่างที่พักมีฝนตก 13 วัน และอากาศแจ่มใสตอนเช้า 12 วัน อากาศแจ่มใสตอนบ่าย 11 วัน จงหาความน่าจะเป็นที่ฝนไม่ตกในขณะที่เขาพักอยู่ ไม่ตกเช้า ไม่ตกบ่าย 12-x 11-x x ตกเฉพาะเช้า ไม่ตกทั้งวัน ตกเฉพาะบ่าย

วันฝนตก = วันฝนตกเฉพาะเช้า + วันฝนตกเฉพาะบ่าย เด็กคนนี้ไปตากอากาศ 18 วัน

3. จากการสอบถามเด็กโรงเรียนอนุบาลหมีน้อย เกี่ยวกับความชอบสัตว์ 3. จากการสอบถามเด็กโรงเรียนอนุบาลหมีน้อย เกี่ยวกับความชอบสัตว์ 2 ชนิด ปรากฏว่ามีเด็กชอบช้าง 80 คน มีเด็กชอบเป็ด 60 คน และมีเด็ก 50 คน ชอบสัตว์ทั้งสองชนิด ในจำนวนนี้ไม่มีเด็กคนใดไม่ชอบสัตว์ทั้งสองเลย สุ่มเลือกเด็กมา 1 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้เด็กที่ชอบช้างเพียงอย่างเดียว ช้าง เป็ด 30 10 50

4. ในการศึกษาคนกลุ่มหนึ่ง 500 คน พบว่า 150 คน เป็นโรคตา, 120 คนเป็นโรคฟัน, 110 คนเป็นโรคกระเพาะอาหาร, 50 คน เป็นโรคตาและโรคฟัน, 30 คนเป็นโรคฟันและโรคกระเพาะอาหาร, 20 คนเป็นโรคตาและโรคกระเพาะอาหาร, 5 คนเป็นทั้งสามโรค สุ่มเลือกเด็ก 1 คน จาก 500 คนนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่ โรคตา โรคฟัน โรคกระเพาะ 85 45 65 5 15 25 215

4.1) คนที่ถูกเลือกเป็นโรคตา หรือโรคฟัน หรือโรคกระเพาะอาหาร 4.2) คนที่ถูกเลือกไม่เป็นโรคใดเลยในสามโรคนี้

5. จากการสำรวจการลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และเคมี ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 200 คน พบว่า มีนักเรียนที่ไม่เลือกเรียนวิชาใดเลย 18 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ แต่ไม่เลือกเคมี 44 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนคณิตศาสตร์และเคมี แต่ไม่เลือกฟิสิกส์ 38 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนเคมีและฟิสิกส์แต่ไม่เลือกคณิตศาสตร์ 42 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนคณิตศาสตร์ 120 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนฟิสิกส์ 116 คน มีนักเรียนที่เลือกเรียนเพียงวิชาเดียว 32 คน สุ่มเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนกลุ่มนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่

คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี x 38 - x 30 - x 2x - 36 44 42 38 18

5.1) คนที่สุ่มได้เป็นคนที่เลือกเรียนทั้งสามวิชา คนที่เลือกเรียนทั้งสามวิชา มี 26 คน 5.2) คนที่สุ่มได้เป็นคนที่เลือกเรียนคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียว คนที่เลือกเรียนคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียว มี 38 – X = 38 – 26 = 12 คน

5.3) คนที่สุ่มได้เป็นคนที่เลือกเรียนฟิสิกส์เพียงวิชาเดียว คนที่เลือกเรียนฟิสิกส์เพียงวิชาเดียวมี 30 – X = 30 – 26 = 4