งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

Lecture 2: Logic Methods of proof. 310213 Discrete Structures:Logic2 Methods of proof หัวข้อบรรยาย Definitions of theorem Rules of inference Formal proofs.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "Lecture 2: Logic Methods of proof. 310213 Discrete Structures:Logic2 Methods of proof หัวข้อบรรยาย Definitions of theorem Rules of inference Formal proofs."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 Lecture 2: Logic Methods of proof

2 Discrete Structures:Logic2 Methods of proof หัวข้อบรรยาย Definitions of theorem Rules of inference Formal proofs

3 Discrete Structures:Logic3 Basic Definitions Definition: theorem คือประโยคที่เป็นผลสรุปอย่าง สมเหตุสมผล สามารถพิสูจน์ได้จาก ทฤษฎีอื่นๆ axioms (ประโยคที่เรายอมรับว่าจริง) และ หลักการให้เหตุผล(rules of inference) lemma (not a “lemon”) คือ 'pre-theorem' หรือ ประโยคที่เป็นผลสรุปที่สามารถนาไปพิสูจน์ทฤษฎีบท corollary คือ 'post-theorem' หรือผลสรุปที่เป็นผล มาจากทฤษฎีบท

4 Discrete Structures:Logic4 Rules of Inference สามารถใช้ tautologies ที่กล่าวมาแล้วมา ช่วยในการให้เหตุผลได้ การให้เหตุผลจะเขียนในรูป H 1  H 2 ...  H n  C เมื่อ H i เรียกว่า hypotheses C เรียกว่า conclusion

5 Discrete Structures:Logic5 Rules of Inference กฏการให้เหตุผลสามารถเขียนอยู่ในรูป : H 1 H 2. H n  C

6 Discrete Structures:Logic6 Rules of Inference ตัวอย่าง tautology : P  ( P  Q)  Q เขียนได้เป็น P P  Q  Q หมายความว่าเมื่อ P เป็นจริงและ P  Q เป็นจริงจะ สรุปได้ว่า Q เป็นจริง กฏการให้เหตุผลข้อนี้เรียกว่า modus ponens หรือ law of detachment

7 Discrete Structures:Logic7 Rules of Inference

8 Discrete Structures:Logic8 Rules of Inference

9 Discrete Structures:Logic9 Formal Proofs สมมุติว่าสมมุติฐาน ( hypotheses) เป็นจริง ใช้กฎการให้เหตุผลหรือประพจน์ที่สมมูลกัน (logical equivalences) เพื่อแสดงให้ได้ว่า ผลสรุปเป็นจริง

10 Discrete Structures:Logic10 ตัวอย่าง ถ้าม้าบินได้หรือวัวกินหญ้าแล้วยุงเป็นนก สวยงาม ถ้ายุงเป็นนกสวยงามแล้วไก่ขัน แต่ไก่ไม่ขัน ดังนั้นวัวไม่กินหญ้า กำหนดตัวแปรแทนดังนี้: A - วัวกินหญ้า F - ม้าบินได้ M - ยุงเป็นนกสวยงาม P -ไก่ขัน

11 Discrete Structures:Logic11 ตัวอย่าง เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ดังนี้ 1. (F  A)  M 2. M  P 3.  P   A ใช้สมมุติฐานจากข้อ1, 2, และ 3. และ rules of inference พิสูจน์ได้ดังนี้

12 Discrete Structures:Logic12 ตัวอย่าง(2) Assertion Reasons 1.(F  A)  M Hypothesis 1. 2.M  P Hypothesis 2. 3.(F  A)  Psteps 1, 2,hypothetical syll. 4.  P Hypothesis  (F  A) steps 3, 4 and modus tollens 6.  F  A step 5, DeMorgan 7.  A   F step 6, commutativity of 'and' 8.  A step 7, simplification

13 Discrete Structures:Logic13 Rules of Inference for Quantifiers  xP(x)  P(c) Universal Instantiation (UI) ________________________________________ P(c)เมื่อ c เป็นค่าใดๆใน Universe  xP(x) Universal Generalization (UG) ________________________________________ P(c) สำหรับ c บางตัวใน Universe  xP(x) Existential Generalization (EG) ________________________________________  xP( x)  P(c) Existential Instantiation (EI)

14 Discrete Structures:Logic14 ตัวอย่าง Every man has two legs. John Smith is a man. Therefore, John Smith has two legs. กำหนดเป็น predicates ดังนี้ M(x) : x is a man L(x) : x has two legs J : John Smith

15 Discrete Structures:Logic15 ตัวอย่าง(ต่อ) เขียนในรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ได้ดังนี้ 1.  x[M(x)  L(x)] 2. M( J )  L( J) พิสูจน์ 1.  x[M(x)  L(x)] Hypothesis 1 2.M( J )  L(J ) step 1 and UI 3.M(J) Hypothesis 2 4. L( J) steps 2 and 3,modus ponens

16 Discrete Structures:Logic16 Methods of Proof การพิสูจน์ทฤษฎีบท จะอยู่ในรูป P → Q P อาจจะอยู่ในรูป conjunction ของสมมุติฐาน ต้องแสดงให้ได้ว่า P → Q เป็นจริง วิธีการพิสูจน์มีหลายวิธีเช่น : Trivial proof. Direct proof. Indirect proof. Proof by contradiction.

17 Discrete Structures:Logic17 Trivial Proof Trivial proof: ถ้าเราทราบว่า Q เป็นจริง จะได้ว่า P  Q เป็นจริงเสมอ ตัวอย่าง ถ้าฝนตกวันนี้แล้วเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ประพจน์นี้เป็นจริง ขึ้นกับค่าความจริงของ P ตัวอย่าง ถ้าเราทราบว่าสมมุติฐาน P เป็นเท็จแล้ว P  Q จะเป็นจริง เสมอ (vacuously true) ตัวอย่าง ถ้าฉันรวยและจนแล้วพระจันทร์ขึ้นทางทิศตะวันตก (P  P)  Q ซึ่งสมมุติฐาน contradiction ดังนั้น Q จะเป็นจริง

18 Discrete Structures:Logic18 Direct Proof กำหนดสมมุติฐานเป็นจริง ใช้หลักการให้เหตุผล(rules of inference) axioms และ logical equivalences เพื่อสรุป ให้ได้ว่าผลสรุปเป็นจริง

19 Discrete Structures:Logic19 Direct Proof(2) ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มคี่ แล้ว n 2 เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์ สมมุติให้ n เป็นจำนวนเต็มคี่ n = 2k + 1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม n 2 = (2k + 1 ) 2 =4 k 2 + 4k + 1 = 2(2 k 2 + 2k) + 1 ดังนั้น n 2 เป็นจำนวนเต็มคี่

20 Discrete Structures:Logic20 Indirect Proof Indirect proof: จากกฎของ contrapositive จะได้ว่า P → Q ⇔ ¬Q → ¬P เป็น direct proof โดยใช้ contrapositive ให้ผลของ P  Q เป็นเท็จ (  Q เป็นจริง) ใช้ rules of inference, axioms และlogical equivalences แสดงให้ได้ว่า P เป็นเท็จ

21 Discrete Structures:Logic21 Indirect Proof (2) ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า 3n +2 เป็นจำนวน เต็มคี่แล้ว n เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์

22 Discrete Structures:Logic22 Proof by contradiction or reductio ad absurdum มี 2 กรณี คือ 1. พิสูจน์ว่า Q เป็นจริง วิธีการ สมมุติให้ผลสรุป Q เป็นเท็จ พยายามหาข้อความที่เป็น contradiction ที่อยู่ในรูป P  P ซึ่งจะทำให้เกิด  Q  0 ซึ่ง contrapositive ของประโยคข้างต้นคือ 1  Q ซึ่งจะได้ว่า Q ต้องเป็นจริง

23 Discrete Structures:Logic23 Proof by contradiction (2) 2 พิสูจน์ว่า P → Q เป็นจริงโดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง วิธีการ การพิสูจน์ประโยค P  Q เป็นจริงโดยใช้วิธีหาข้อขัดแย้ง ต้องสมมุติให้  (P  Q) เป็นจริง แต่  (P  Q )   (  P  Q )   (  P)   Q  P   Q ดังนั้นต้องสมมุติให้ P   Q เป็นจริงแล้วหาข้อขัดแย้งใน รูป R   R ให้ได้ จึงสรุปได้ว่า P  Q

24 Discrete Structures:Logic24 ตัวอย่าง ตัวอย่างจงพิสูจน์ว่า √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ แนวคิด ถ้าให้ p : √2 เป็นจำนวนอตรรกยะ  p : √2 เป็นจำนวนตรรกยะ พิสูจน์ สมมติให้ เป็นจำนวนตรรกยะ √2 = n/m ; n, m Z และ ห.ร.ม. ของ n และ m เป็น 1 2 = n 2 /m 2 n 2 = 2m 2 …………(1) จะได้ว่า ถ้า n 2 เป็นเลขคู่แล้วจะได้ว่า n เป็นเลขคู่ n = 2t ; t Є Z

25 Discrete Structures:Logic25 ตัวอย่าง แทนค่าใน (1) :- (2t) 2 = 2m 2 m 2 = 2t 2 จะได้ว่า m 2 เป็นเลขคู่ ดังนั้น m เป็นเลขคู่ จะได้ว่า n และ m เป็นเลขคู่ซึ่งขัดแย้งกับที่กำหนด ไว้ในตอนแรกว่า ห.ร.ม. ของ n และ m เป็น 1 ดังนั้น √2 เป็นจำนวนตรรกยะไม่จริง นั่นคือ √2 เป็นจำนวนตรรกยะไม่จริง

26 Discrete Structures:Logic26 ตัวอย่าง จงพิสูจน์ว่า ถ้า 3n +2 เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว n เป็นจำนวนเต็มคี่ พิสูจน์

27 Discrete Structures:Logic27 Disproof by Counterexample จากประโยค  x  P(x)   xP(x ). ต้องการแสดงว่า  xP(x ) เป็นจริง (หรือ  xP(x) เป็นเท็จ ดังนั้นต้องหา c ซึ่งทำให้  P(c) เป็นจริง หรือ P(c) เป็นเท็จ ในกรณีนี้ c เรียกว่า counterexample ของ ประโยค  xP(x)

28 Discrete Structures:Logic28 ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า P  Q   P  Q หรือไม่ถ้า จริงให้พิสูจน์ แต่ถ้าไม่จริงให้ยกตัวอย่าง คำตอบ ไม่จริง เช่น P มีค่าความจริงเป็น F, Q มีค่าความจริงเป็น F จะได้ว่า P  Q มีค่าความจริงเป็น T แต่  P  Q มีค่าความจริงเป็น F

29 Discrete Structures:Logic29 Fallacies Fallacies คือกฎการให้เหตุผลที่ไม่ถูกต้อง ตัวอย่างของ fallacies ที่พบบ่อยๆ The Fallacy of Affirming the Consequent การให้เหตุผลที่เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ของประพจน์ดังนี้ P  Q Q  P หรือ [(P  Q )  Q ]  P ซึ่งไม่เป็น tautology ดังนั้นการให้เหตุผลไม่ถูกต้อง

30 Discrete Structures:Logic30 Fallacies The Fallacy of Denying the Antecedent (or the hypothesis) การให้เหตุผลที่เขียนเป็นรูปสัญลักษณ์ของ ประพจน์ดังนี้ P  Q  P  Q หรือ [(P  Q)  P]  Q ซึ่งไม่เป็น tautology ดังนั้น การให้เหตุผลไม่ถูกต้อง

31 Discrete Structures:Logic31 Fallacies Begging the question or circular reasoning เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยเราใช้ความจริงของ ประโยคที่กำลังพิสูจน์มาอ้างอิงในการพิสูจน์ตัวเอง ตัวอย่าง จงแสดงว่า x 2 เป็นจำนวนคู่แล้ว x เป็น จำนวนคู่ พิสูจน์ x 2 เป็นจำวนคู่แล้ว x 2 = 2k สำหรับบาง k บางตัว ดังนั้น x = 2t สำหรับบาง t บางตัว ดังนั้น x เป็นจำนวนคู่


ดาวน์โหลด ppt Lecture 2: Logic Methods of proof. 310213 Discrete Structures:Logic2 Methods of proof หัวข้อบรรยาย Definitions of theorem Rules of inference Formal proofs.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google