งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

งานนำเสนอกำลังจะดาวน์โหลด โปรดรอ

2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


งานนำเสนอเรื่อง: "2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5."— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือpostulates 5 ข้อ Postulates I และ II กฏเกณฑ์ของ wave function Postulates III เกี่ยวข้องกับ Mathematical operator Postulates IV การแปลความหมายของข้อมูลที่ได้จากการ ดำเนินการ Postulates V

2 2.1 Postulates I and II Schrödinger eq. จัดว่าเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม Time-dependent Schrödinger eq. เป็น postulate แรกที่ สำคัญที่สุดของกลศาสตร์ควอนตัม Ψ = Ψ ζ(t) Postulate I: All information that can be obtained about the state of mechanical system is contained in a wave function, Ψ which is continuous, finite, and single valued of function of time and of the coordinates of the particles of the system.

3 Postulate II: Ψ obeys the Time-dependent Schrödinger eq. - ข้อมูล, สมบัติของโครงสร้างจะแฝงอยู่ใน Ψ - กลศาสตร์แบบฉบับ จะแฝงอยู่ในตำแหน่งของอนุภาค (coordinates) และความเร็ว - ความสัมพันธ์ระหว่าง state of the system และ wave function เป็นไปในลักษณะ one-to-one relationship

4 2.2 Mathematical Operators Operator: ตัวดำเนินการคณิตศาสตร์เป็น symbol ที่ใช้ใน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น d/dx เป็น derivative operator z เป็น multiplication operator ( คูณด้วย z ) ผลจากการ ดำเนินการจะได้ฟังก์ชันใหม่ เช่น (2.2) (2.3)

5 เมื่อทำการดำเนินการโดย d/dx บน f(x) จะได้ฟังก์ชัน g(x) คือ (2.4) - มีเพียงฟังก์ชัน e x เท่านั้น เมื่อทำการดำเนินการ derivative แล้วยังคงได้ฟังก์ชันเดิม

6 1. Linear Operator 1. Linear Operator ตัวดำเนินการ จะเป็น linear ถ้า (2.5) แล ะ (2.6) โดย e เป็นค่าคงที่ f และ g เป็น arbitary functions ของตัวแปร independent q

7 ภาพที่ 2.1

8 2. Hermitian Operator 2. Hermitian Operator ตัวดำเนินการ จัดเป็น Hermitian เมื่อ (2.7) q เป็นตัวแทนของ coordinates ของทุกอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ อยู่ในสามมิติ - เช่น มีอนุภาคจำนวนสองอนุภาค dq ได้แก่ dx 1 dy 1 dz 1 dx 2 dy 2 dz 2 - integral limit มีค่าระหว่าง ถึง - ในสมการ (2.7) เทอม f * เป็นค่า complex conjugate ของฟังก์ชัน f

9 และ เป็น complex conjugate ของ complex quantity ของ z เขียนได้เป็น z = x + iy (2.8) x = real part of z y = imaginary part of z Complex conjugate z * = x - iy (2.9)

10 3. Operator Algebra Identity operator : ตัวดำเนินการเมื่อการดำเนินการไปแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเดิม (2.9) หรือ Product of two operator (2.10) ซึ่ง g(q) เป็น product ที่ได้จากการดำเนินการ บน f(q)

11 (2.11) การคูณกันของตัวดำเนินการมีสมบัติในการจัดหมู่ กล่าวคือ (2.12) การคูณกันของตัวดำเนินการอาจไม่มีสมบัติในการสลับที่ (commutative) (2.13) ถ้า อาจกล่าวได้ว่า และ commute กัน

12 * commutator ของตัวดำเนินการ และ แสดงโดย โดยที่ (2.14) เช่น จงหา commutator ของ พิจารณา commutator ดำเนินการบนฟังก์ชัน f(x) (2.15) แสดง operator equation ได้เป็น

13 2.3 Postulates III :Mathematical Operators in Quantum Mechanics Postulate III:To every mechanical variable there is a hermitian mathematical operator in one-to-one correspondence one-to-one correspondence : ตัวดำเนินการ จะเกี่ยวข้อง กับตัวแปร E ค่าหนึ่งเท่านั้น และตัวแปรกลศาสตร์อื่น ๆ เช่น momentum, angular momentum หรือ position ต่างก็มี ตัวดำเนินการแบบ one-to-one correspondence

14 ในการพิจารณาตัวแปรกลศาสตร์อื่นๆ เช่น จาก classical expression เทอมของ energy และ Hamitonian operator จะแสดงฟังก์ชันใน เทอมของโมเมนตัม ( ไม่ใช้ velocity ) สำหรับระบบของ cartesian coordinates ค่าโมเมนตัมเป็นค่าผลคูณ ระหว่าง mass และ ความเร็ว พิจารณาอนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ขนานตามแกน x (2.16) เครื่องหมาย คือ “one-to-one correspondence with”

15 operator ของ Potential en. operator ของ Kinetic en.operator ของ momentum Note :

16 2.4 Postulates IV : Expection Values หลักสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัม คือถ้าทราบ wave function ของระบบแล้ว เราสามารถทราบสถานะของระบบได้ นอกจากนี้แล้ว ข้อมูลจากตัวแปรกลศาสตร์ จะทราบได้จาก wave function เท่านั้น Postulate IV: a) If a mechanical variable A is measured without experimental error, the only possible measured values of a variable A are eigenvalues of the operator that corresponds to A b) The expectation value for the error-free measurement of a mechanical variable A can be calculated from the formula

17 (2.17) ซึ่ง เป็นตัวดำเนินการซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปร A ซึ่งสัมพันธ์กับสภาวะของระบบ -expectation value คือ การทำนายค่าเฉลี่ยของค่าต่าง ๆ ที่สุ่ม มาจาก population - ในส่วนที่สองของ Postulate IV (b) นั้นกล่าวไว้ว่า expectation value ที่ได้จากการทดสอบที่ไม่มีข้อผิดพลาดแล้ว ค่าการทำนาย ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับผลของการอินทิกรัล ตามสมการที่ (2.17)

18 Normalization จากสมการ (2.17) นั้น ตัวหารเป็นค่าคงที่ ซึ่ง wave function ที่ปรากฎใน Schrödinger eq. จะมีค่าคงที่ตัวหนึ่งคูณอยู่ด้วย ดังนั้น ค่าคงที่ (c) ดังกล่าวนี้สามารถเลือกได้ (2.18) wave function, จึงถูก normalized วิธีการดังกล่าวนี้ทำให้ละตัวหารในสมการ (2.17) ได้ -  Particle in the BoxParticle in the Box

19 1. Position Measurements เมื่อพิจารณาอนุภาคหนึ่งซึ่ง เคลื่อนที่ตามแนวแกน x ถ้า wave function ของอนุภาคนี้ คือ ค่า expectation ของ x คือ (2.19) โดยที่ มีสมบัติ normalized

20 หรืออาจกล่าวได้ว่า quantity ใดที่คูณอยู่กับ complex conjugate ของตัวเองจะมีค่าเท่ากับค่า absolute ของปริมาณนั้น ยกกำลังสอง เนื่องจาก multiplication operator, x, มีสมบัติ commute ในการคูณกับ ดังนั้น (2.20)

21 2. Probability Densities จาก position measurement สิ่งที่สนใจต่อไปคือโอกาส (probability) ที่จะพบปริมาณ (quantity) ต่าง ๆ ณ ตำแหน่งที่ต้องการ (position) ดังนั้น probability ณ ช่วงตำแหน่งที่ต้องการอาจแสดงโดย ภาพที่ 2.2 An example of probability density

22 Probability that lies between and (2.21) = a small range (infinitestmal) = probability density, or a probability per unit length on the u axis Total probability (2.22) สำหรับ mean value ของ แสดงได้โดย (2.23)

23 ทั้งนี้ probability ในการพบอนุภาคระหว่าง x และ x+dx จะเท่ากับ Probability = (2.24) Probability density Probability per unit length on x - axis Probability = (2.25) “probability per unit volume in three dimensions”

24 3. Standard deviation ( ) : เทอมที่แสดงการกระจายโอกาสในการพบอนุภาค (2.26) Case study : Expectation Values – Particle in a BoxExpectation Values – Particle in a Box

25 ตัวอย่าง จงหาค่า expectation value of position ของอนุภาคซึ่ง เคลื่อนที่ใน one-dimention box ซึ่งมีความยาว a โดย coordinate wave function คือ eigenfunction ซึ่งมี n=1 solution : the normalized particle-in-a-box wave function คือ expectation value คือ

26 ( ในที่นี้ ถูก normalized = 1 และ conjugate complex ของ คือเทอม จะ cancel กันไป ) ดังนั้น (the predicted mean position of the particle is the middle of the box.) Note :

27 หากต้องการหา standard deviation for the position of a particle Note :

28 ตัวอย่าง จงคำนวณโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอนซึ่งเคลื่อนที่ใน one-dimention box โดยสภาวะ n=2 ภายใต้ขอบเขต solution : Probability

29 How about ? Probability = 1- 2(0.40) = 0.20 หมายความว่าอย่างไร ?

30 2.5 Postulate V: Determining the state of the system Postulate V : Immediately after a measurement of the mechanical variable A in which the outcome was eigenvalue a j, the state of the system corresponds to a wavefunction that is an eigenfunction of with eigen value equal to a j

31 The observable operator is constructed from the following table: Classical Quantum Operator x p t E vs. time


ดาวน์โหลด ppt 2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5.

งานนำเสนอที่คล้ายกัน


Ads by Google