กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ

งานนำเสนอเรื่อง: "กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

1 กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ
2. The Principles of Quantum mechanics. II The postulates of Quantum mechanics. กลศาสตร์ควอนตัมมี postulates 5 ข้อ คือ Postulates I และ II กฏเกณฑ์ของ wave function Postulates III เกี่ยวข้องกับ Mathematical operator Postulates IV การแปลความหมายของข้อมูลที่ได้จากการ ดำเนินการ Postulates V

2 Ψ = Ψ ζ(t) 2.1 Postulates I and II
Schrödinger eq. จัดว่าเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม Time-dependent Schrödinger eq. เป็น postulate แรกที่ สำคัญที่สุดของกลศาสตร์ควอนตัม Ψ = Ψ ζ(t) Postulate I: All information that can be obtained about the state of mechanical system is contained in a wave function, Ψ which is continuous, finite, and single valued of function of time and of the coordinates of the particles of the system.

3 Postulate II: Ψ obeys the Time-dependent Schrödinger eq.
ข้อมูล, สมบัติของโครงสร้างจะแฝงอยู่ใน Ψ กลศาสตร์แบบฉบับ จะแฝงอยู่ในตำแหน่งของอนุภาค (coordinates) และความเร็ว - ความสัมพันธ์ระหว่าง state of the system และ wave function เป็นไปในลักษณะ one-to-one relationship

4 2.2 Mathematical Operators
Operator: ตัวดำเนินการคณิตศาสตร์เป็น symbol ที่ใช้ใน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น d/dx เป็น derivative operator z เป็น multiplication operator ( คูณด้วย z ) ผลจากการ ดำเนินการจะได้ฟังก์ชันใหม่ เช่น (2.2) (2.3)

5 เมื่อทำการดำเนินการโดย d/dx บน f(x) จะได้ฟังก์ชัน g(x) คือ
(2.4) - มีเพียงฟังก์ชัน ex เท่านั้น เมื่อทำการดำเนินการ derivative แล้วยังคงได้ฟังก์ชันเดิม

6 1. Linear Operator ตัวดำเนินการ จะเป็น linear ถ้า
(2.5) และ (2.6) โดย e เป็นค่าคงที่ f และ g เป็น arbitary functions ของตัวแปร independent q

7 ภาพที่ 2.1

8 2. Hermitian Operator ตัวดำเนินการ จัดเป็น Hermitian
เมื่อ (2.7) q เป็นตัวแทนของ coordinates ของทุกอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ อยู่ในสามมิติ - เช่น มีอนุภาคจำนวนสองอนุภาค dq ได้แก่ dx1 dy1 dz1 dx2 dy2 dz2 integral limit มีค่าระหว่าง ถึง - ในสมการ (2.7) เทอม f* เป็นค่า complex conjugate ของฟังก์ชัน f

9 และ เป็น complex conjugate ของ complex quantity
ของ z เขียนได้เป็น z = x + iy (2.8) x = real part of z y = imaginary part of z Complex conjugate z* = x - iy (2.9)

10 3. Operator Algebra Identity operator : ตัวดำเนินการเมื่อการดำเนินการไปแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเดิม (2.9) หรือ Product of two operator (2.10) ซึ่ง g(q) เป็น product ที่ได้จากการดำเนินการ บน f(q)

11 (2.11) การคูณกันของตัวดำเนินการมีสมบัติในการจัดหมู่ กล่าวคือ (2.12) การคูณกันของตัวดำเนินการอาจไม่มีสมบัติในการสลับที่ (commutative) (2.13) ถ้า อาจกล่าวได้ว่า และ commute กัน

12 *commutator ของตัวดำเนินการ และ แสดงโดย
โดยที่ (2.14) เช่น จงหา commutator ของ พิจารณา commutator ดำเนินการบนฟังก์ชัน f(x) (2.15) แสดง operator equation ได้เป็น

13 :Mathematical Operators in Quantum Mechanics
2.3 Postulates III :Mathematical Operators in Quantum Mechanics Postulate III:To every mechanical variable there is a hermitian mathematical operator in one-to-one correspondence one-to-one correspondence : ตัวดำเนินการ จะเกี่ยวข้อง กับตัวแปร E ค่าหนึ่งเท่านั้น และตัวแปรกลศาสตร์อื่น ๆ เช่น momentum , angular momentum หรือ position ต่างก็มี ตัวดำเนินการแบบ one-to-one correspondence

14 ในการพิจารณาตัวแปรกลศาสตร์อื่นๆ เช่น จาก classical expression
เทอมของ energy และ Hamitonian operator จะแสดงฟังก์ชันใน เทอมของโมเมนตัม ( ไม่ใช้ velocity ) สำหรับระบบของ cartesian coordinates ค่าโมเมนตัมเป็นค่าผลคูณ ระหว่าง mass และ ความเร็ว พิจารณาอนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ขนานตามแกน x (2.16) เครื่องหมาย คือ “one-to-one correspondence with”

15 operator ของ Potential en.
operator ของ Kinetic en. operator ของ momentum Note :

16 2.4 Postulates IV : Expection Values
หลักสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัม คือถ้าทราบwave function ของระบบแล้ว เราสามารถทราบสถานะของระบบได้ นอกจากนี้แล้ว ข้อมูลจากตัวแปรกลศาสตร์ จะทราบได้จาก wave function เท่านั้น Postulate IV: a) If a mechanical variable A is measured without experimental error , the only possible measured values of a variable A are eigenvalues of the operator that corresponds to A b) The expectation value for the error-free measurement of a mechanical variable A can be calculated from the formula

17 (2.17) ซึ่ง เป็นตัวดำเนินการซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปร A ซึ่งสัมพันธ์กับสภาวะของระบบ -expectation value คือ การทำนายค่าเฉลี่ยของค่าต่าง ๆ ที่สุ่ม มาจาก population -ในส่วนที่สองของ Postulate IV (b) นั้นกล่าวไว้ว่า expectation value ที่ได้จากการทดสอบที่ไม่มีข้อผิดพลาดแล้ว ค่าการทำนาย ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับผลของการอินทิกรัล ตามสมการที่ (2.17)

18 Normalization จากสมการ (2.17) นั้น ตัวหารเป็นค่าคงที่ ซึ่ง wave function ที่ปรากฎใน Schrödinger eq. จะมีค่าคงที่ตัวหนึ่งคูณอยู่ด้วย ดังนั้น ค่าคงที่ (c) ดังกล่าวนี้สามารถเลือกได้ (2.18) wave function, จึงถูก normalized วิธีการดังกล่าวนี้ทำให้ละตัวหารในสมการ (2.17) ได้ - Particle in the Box

19 1. Position Measurements
เมื่อพิจารณาอนุภาคหนึ่งซึ่งเคลื่อนที่ตามแนวแกน x ถ้า wave function ของอนุภาคนี้ คือ ค่า expectation ของ x คือ (2.19) โดยที่ มีสมบัติ normalized

20 เนื่องจาก multiplication operator, x, มีสมบัติ commute
ในการคูณกับ ดังนั้น ----- (2.20) หรืออาจกล่าวได้ว่า quantity ใดที่คูณอยู่กับ complex conjugate ของตัวเองจะมีค่าเท่ากับค่า absolute ของปริมาณนั้น ยกกำลังสอง

21 2. Probability Densities
จาก position measurement สิ่งที่สนใจต่อไปคือโอกาส(probability) ที่จะพบปริมาณ (quantity) ต่าง ๆ ณ ตำแหน่งที่ต้องการ (position) ดังนั้น probability ณ ช่วงตำแหน่งที่ต้องการอาจแสดงโดย ภาพที่ 2.2 An example of probability density

22 Probability that lies between
and (2.21) = a small range (infinitestmal) = probability density, or a probability per unit length on the u axis (2.22) Total probability สำหรับ mean value ของ แสดงได้โดย (2.23)

23 Probability per unit length on x - axis
ทั้งนี้ probability ในการพบอนุภาคระหว่าง x และ x+dx จะเท่ากับ Probability = (2.24) Probability density Probability per unit length on x - axis Probability = (2.25) “probability per unit volume in three dimensions”

24 3. Standard deviation ( ) :
เทอมที่แสดงการกระจายโอกาสในการพบอนุภาค (2.26) Case study : Expectation Values – Particle in a Box

25 ตัวอย่าง จงหาค่า expectation value of position ของอนุภาคซึ่ง
เคลื่อนที่ใน one-dimention box ซึ่งมีความยาว a โดย coordinate wave function คือ eigenfunction ซึ่งมี n=1 solution : the normalized particle-in-a-box wave function คือ expectation value คือ

26 ( ในที่นี้ ถูก normalized = 1 และ conjugate complex
ของ คือเทอม จะ cancel กันไป ) ดังนั้น (the predicted mean position of the particle is the middle of the box.) Note :

27 หากต้องการหา standard deviation for the position of a particle
Note :

28 ตัวอย่าง จงคำนวณโอกาสที่จะพบอิเล็กตรอนซึ่งเคลื่อนที่ใน
one-dimention box โดยสภาวะ n=2 ภายใต้ขอบเขต solution : Probability

29 How about ? Probability = 1- 2(0.40) = 0.20 หมายความว่าอย่างไร ?

30 2.5 Postulate V: Determining the state of the system
Postulate V : Immediately after a measurement of the mechanical variable A in which the outcome was eigenvalue aj, the state of the system corresponds to a wavefunction that is an eigenfunction of with eigen value equal to aj

31 The observable operator is constructed from the following table:
Classical Quantum Operator x p t E vs. time