หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและมุมแย้ง สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้น ขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้ง จะมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบท คู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรง คู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

1) C A E ˆ B C A E ˆ B เนื่องจาก และ เป็นมุมแย้ง = ดังนั้น AE // BC (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน)

C D A ˆ N B N C B ˆ M D C D A ˆ M 2) เนื่องจาก = (กำหนดให้) = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้ว มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) C D A ˆ = M (สมบัติการเท่ากัน)

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง A B ดังนั้น AB // DC D C N M (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน)

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง 3) R P Q S 100 SR // PQ (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน)

ไม่มีเส้นตรงคู่ใดขนานกัน E 4) D 40 C 30 B 40 A ไม่มีเส้นตรงคู่ใดขนานกัน

2) จากรูป จงหา x และ y 82 38 x A E B F C D

C E A ˆ E C F ˆ C E A ˆ F เนื่องจาก และ เป็นมุมแย้ง = 38 ดังนั้น 82 38 y x A E B F C D เนื่องจาก C E A ˆ และ E C F ˆ เป็นมุมแย้ง C E A ˆ = F 38 ดังนั้น AB // CD (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน)

(ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 ) = 180 82 38 y x A E B F C D = 180 x + 82 (ขนาดมุมภายในบนข้างเดียวกันของ เส้นตัดเส้นขนานรวมกันเท่ากับ180 ) = 180 x 82 - x = 98

= 180 + 82 38 y + (ขนาดของมุมตรง) = 180 y 82 - 38 y = 60 A E B F C D x A E B F C D = 180 + 82 38 y + (ขนาดของมุมตรง) = 180 y 82 - 38 y = 60

แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดOจงพิสูจน์ ว่า AD = BC และ AD // BC AB 3) จากรูป กำหนดให้ DC และ แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดOจงพิสูจน์ ว่า AD = BC และ AD // BC A D O C B

ซึ่งกันและกันที่จุด O ต้องการพิสูจน์ว่า AD = BC และ AD // BC แบ่งครึ่ง AB กำหนดให้ DC และ ซึ่งกันและกันที่จุด O ต้องการพิสูจน์ว่า AD = BC และ AD // BC

D O A ˆ C B พิจารณา DAOD และ DBOC AO = OB ( กำหนดให้) = (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้ว มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน)

(ด้านคู่ที่สมนัยกันของD ที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน) A D O C B DO = CO ( กำหนดให้) จะได้ DAOD @ DBOC (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = BC (ด้านคู่ที่สมนัยกันของD ที่เท่ากัน ทุกประการ จะยาวเท่ากัน)

D A O ˆ C B = (มุมคู่ที่สมนัยกันของD ที่เท่ากัน ทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)

D A O ˆ C B เนื่องจาก และ เป็นมุมแย้ง ดังนั้น AD // BC (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน)

B A C ˆ D E C B A ˆ E D = 4) จากรูป กำหนดให้ = และ จงพิสูจน์ว่า AC // BE และ BC // DE C E A B D

B A C ˆ D E C B A ˆ E D กำหนดให้ = และ = ต้องการพิสูจน์ว่า AC // BE BC // DE

B A C ˆ D E E B A ˆ D E B A ˆ C B) A C ˆ D B E = (กำหนดให้) = 180 + E B A ˆ + D (ขนาดของมุมตรง) จะได้ = 180 E B A ˆ + C (สมบัติการเท่ากันโดยแทน B) A C ˆ D B E ด้วย

E B A ˆ C และ เนื่องจาก เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ D E C E B A ˆ และ C เนื่องจาก เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัด AB ซึ่งมีด้าน และ AC BE AC // BE ดังนั้น

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง A B D E C (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)

C B A ˆ E D C B A ˆ D D B C ˆ E E) D B ˆ C A = (กำหนดให้) = 180 + C B A ˆ + D (ขนาดของมุมตรง) จะได้ = 180 D B C ˆ + E (สมบัติการเท่ากันโดยแทน E) D B ˆ C A ด้วย

D B C ˆ E และ เนื่องจาก เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ A B D E C D B C ˆ และ E เนื่องจาก เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัด BD ซึ่งมีด้าน และ BC DE BC // DE ดังนั้น

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง A B D E C (ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน)