มนุษย์รู้จักใช้การให้เหตุผล เพื่อสนับสนุนความเชื่อ หรือเพื่อหาความจริง หรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่ง มาแต่ครั้งโบราณ การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่ 2 วิธี ได้แก่ การให้เหตุผล การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) 1 การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) 2

การให้เหตุผล การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ มี 2 วิธี ได้แก่ 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Resoning) 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Denductive Resoning)

ความหมายของการให้เหตุผลแบบอุปนัย วิธีการสรุปผลในการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือ การทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป การให้เหตุผล ความหมายของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปผลในการค้นคว้าหาความจริงจากการสังเกต หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วสรุปเป็น ความรู้แบบทั่วไป

การให้เหตุผล การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผล ข้อสังเกต แบบอุปนัยนั้นไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจาก การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปผลเกินจากหลักฐาน ข้อเท็จจริงที่มีอยู่ ดังนั้นข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อย เพียงใดขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลหลักฐานและข้อเท็จจริง ที่นำมาอ้าง ข้อสังเกต

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย 9 x 9 = 81 99 x 9 = 891 ข้อสังเกต 999 x 9 = 8,991 9,999 x 9 = 89,991 . . . 9,999,999,999 x 9= 89,999,999,991 ข้อสรุป 999…x 9 = 8999 … 1 n ตัว n -1 ตัว

ตัวอย่าง จงพิจารณาหาผลคูณต่อไปนี้แล้วหาข้อสรุป 111 222 ข้อสังเกต 333 444 . . . สรุปคำตอบที่ได้ โดยไม่ต้องคูณ 777

4 9 16 ตัวอย่าง 1 = 1 1 + 3 = ข้อสังเกต 1 + 3 + 5= 1 + 3 + 5 + 7 = . พิจารณาผลบวกต่อไปนี้แล้วหาข้อสรุป 1 = 1 1 + 3 = 4 ข้อสังเกต 9 1 + 3 + 5= 16 1 + 3 + 5 + 7 = . ข้อสรุป . . 100 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10 ตัว ผลบวกจำนวนคี่ที่เรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง n =

ตัวอย่าง เหตุ กำหนด . . . = n ( n + 1) 1. 2 = 1 (1+1) 1. 2 = 1 (1+1) 2. 2 + 4 = 2 (2+1) 3. 2 + 4 + 6 = 3 (3+1) 4. 2 + 4 + 6 + 8 = 3 (3+1) . . . จงสรุปผลที่ทำให้ข้อความนี้สมเหตุสมผล 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = สรุปได้ว่า 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n = n ( n + 1) โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ โดยที่ N = { 1 ,2 , 3 , 4 , . . . } สำหรับ n เป็นสมาชิกของ N และ P(n) เป็นข้อความในเทอม n ถ้า (1) P(1) เป็นจริง (2) ถ้า P(k) เป็นจริง แล้ว P(k+1) เป็นจริง แล้ว P(n) เป็นจริงทุกตัว

จาก (2) แสดงว่า P(k+1) เป็นจริง ตัวอย่าง กำหนด n N (จำนวนเต็มบวก) จงพิสูจน์ 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n (n +1) วิธีทำ ขั้นที่ 1 พิจารณา P(1) แทน n ด้วย 1 จะได้ 2 = 1 (1 + 1) เป็นจริง แสดงว่า P(1) เป็นจริง ขั้นที่ 2 สมมติ P(k) เป็นจริง จะได้ P(k) = 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2k = k (k + 1) ………(1) พิจารณา P(k+1) โดยบวก 2(k+1) เข้าไปทั้งสองข้างของ (1) จะได้ P(k+1) = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) จะได้ P(k+1) = (k+1) [ (k+1) + 1 ] …….(2) จาก (2) แสดงว่า P(k+1) เป็นจริง ดังนั้น ข้อความ 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n (n +1) เป็นจริงเสมอสำหรับทุก n ที่เป็นสมาชิกของ N

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย ตัวอย่างที่ 1 เมื่อสังเกตจากแบบรูปของจำนวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีกห้าจำนวน ได้โดยใช้ข้อสังเกตจากแบบรูปของจำนวน 1 ถึง 10 ว่ามีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ดังนั้น จำนวนนับที่ถัดจาก 10 อีกห้าจำนวน คือ 11, 12, 13, 14 และ 15 ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย ตัวอย่างที่ 2 จารยาพบว่า ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้อ ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีต้นกุยช่ายมาด้วย ทุกครั้ง จึงสรุปว่า ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีต้นกุยช่าย

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย ตัวอย่างที่ 3 ให้สังเกตจำนวนที่กำหนดให้ในรูปสามเหลี่ยม ต่อไปนี้ ว่า x มีค่าเท่าใด ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย 10 3 4 12 3 4 5 (1) (2) 15 x 4 5 14 7 4 3 (3) (4)

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย คือ การนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นความรู้มาก่อนและยอมรับว่า เป็นความจริงเพื่อหาเหตุผล นำไปสู่ข้อสรุป ตัวอย่าง เหตุ 1.) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่ 2 หารลงตัว 2.) 6 หารด้วย 2 ลงตัว ผล 6 เป็นจำนวนคู่

การให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยามซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย มีส่วนประกอบของข้อความหรือประโยคอยู่สองส่วน คือ ส่วนที่เป็น เหตุ หรือสมมติฐาน และส่วนที่เป็น ผล และเรียกวิธีการสรุปข้อเท็จจริงซึ่งเป็นผลมาจากเหตุ ซึ่งเป็นความรู้พื้นฐานว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้อง ก็ต่อเมื่อ การให้เหตุผลแบบนิรนัย ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ การสรุปผลสมเหตุสมผล

ตัวอย่าง เหตุ ผล 1 ) สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น 1 ) สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น 2 ) สุนัขเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม ผล สุนัขเป็นสัตว์เลือดอุ่น

ตัวอย่าง เหตุ ผล 1 ) นักเรียนชั้นม.4 ทุกคนตั้งใจเรียน 1 ) นักเรียนชั้นม.4 ทุกคนตั้งใจเรียน 2 ) สมศรีเป็นนักเรียนชั้นม.4 ผล สมศรีตั้งใจเรียน

สรุปว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผล หรือข้อสรุป จะถูกต้องก็ต่อเมื่อ 1. ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ 2. การสรุปผลสมเหตุสมผล

ข้อความที่ใช้อ้างเหตุผลที่ใช้กันมีอยู่ 4 แบบ 1. สมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B เช่น สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น ดังรูป B A

2. ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใดเป็นสมาชิกของ B เช่น ไม่มีไก่ตัวใดมีนม ดังรูป A B ไก่ สัตว์มีนม

3. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เช่น รถโดยสารบางคันเป็นรถปรับอากาศ ดังรูป B A รถโดยสาร รถปรับอากาศ

4. สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ B เช่น รถโดยสารบางคันไม่ได้เป็นรถปรับอากาศ ดังรูป A B รถโดยสาร รถปรับอากาศ

ตัวอย่าง เหตุ ผล นายแดงมีปืน 1. ตำรวจทุกคนมีปืน 2. นายแดงเป็นตำรวจ ผลสรุปต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ตำรวจทุกคนมีปืน จากแผนภาพ ผลสรุป นายแดงมีปืน สมเหตุสมผล 2. นายแดงเป็นตำรวจ ผล นายแดงมีปืน ตำรวจ คนมีปืน นายแดง

1) นักมวยทุกคนเป็นคนมีสุขภาพดี 2) นายดำเป็นคนมีสุขภาพดี ผล ตัวอย่าง เหตุ 1) นักมวยทุกคนเป็นคนมีสุขภาพดี 2) นายดำเป็นคนมีสุขภาพดี ผล นายดำเป็นนักมวย ผลสรุป ไม่สมเหตุสมผล เขียนแผนภาพได้ดังรูป นักมวย นักมวย หรือ นายดำ นายดำ สุขภาพดี สุขภาพดี

ตัวอย่าง เหตุ 1) ลิงทุกตัวเป็นแมว 2) แมวทุกตัวเป็นเสือ ผล 1) ลิงทุกตัวเป็นแมว 2) แมวทุกตัวเป็นเสือ ผล ลิงทุกตัวเป็นเสือ ผลสรุป สมเหตุสมผล เขียนแผนภาพได้ดังรูป ลิง เสือ แมว

สมชายมีโทรศัพท์มือถือ ตัวอย่าง เหตุ 1. คนไทยทุกคนมีโทรศัพท์มือถือ 2. ชาวนาในจังหวัดบุรีรัมย์เป็นคนไทย 3. สมชายเป็นชาวนาในจังหวัดบุรีรัมย์ ผล สมชายมีโทรศัพท์มือถือ พิจารณาแผนภาพ คนไทย ชาวนาจังหวัดบุรีรัมย์ สมชาย ผู้มีโทรศัพท์มือถือ ดังนั้น สมชายมีโทรศัพท์มือถือ เป็นจริง

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย ตัวอย่างที่ 1 เหตุ จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว 1 10 หาร ด้วย 2 ลงตัว 2 ผล 10 เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย ตัวอย่างที่ 2 เหตุ นักกีฬากลางแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี 1 เกียรติศักดิ์เป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย 2 ผล เกียรติศักดิ์มีสุขภาพดี

ข้อที่ 1 2, 22, 32, 42 ถัดไปคือจำนวนใด การให้เหตุผล Timer ข้อที่ 1 2, 22, 32, 42 ถัดไปคือจำนวนใด 52 62

การให้เหตุผล ข้อที่ 2 1) จำนวนคู่ หมายถึง จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว Timer ข้อที่ 2 1) จำนวนคู่ หมายถึง จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว 2) 10 หารด้วย 2 ลงตัว ผลคือข้อใด 10 หารด้วย 2 ลงตัว 10 เป็นจำนวนคู่

การให้เหตุผล เติมจำนวนให้ถูกต้อง 5 ,3 ,1 ,-1 ,-3,____ 1 ,-1 ,1 ,-1 ,____ 15 ,-5 ,5 ,15 ,____ -1 -7 1 25 -5