Coordinate Systems & Map Projections

Why care? โลกเป็นผิวโค้ง Spatial Data ส่วนใหญ่ยังคงแสดงอยู่บนแผนที่หรือระนาบราบ (ภาพดาวเทียม, ภาพถ่ายทางอากาศ) ที่เป็นตัวแทนของผิวโค้งของโลก การคำนวณทั้งหมดของ GIS อยู่บนระนาบราบ ไม่ใช่อยู่บนผิวโค้ง

The Earth แกนหมุนของโลกเอียง 23.5 องศาจากแนวตั้งฉากกับระนาบวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ ห่างจากดวงอาทิตย์โดยเฉลี่ย 150 ล้าน km

Issues Shape and Size of the Earth Mathematical Figures of the Earth Transferring Data from Curved Surface onto a Plane Map (National Coordinate System)

Shape of the Earth Physical Geoid Ellipsoid Sphere

Size of the Earth Depends on the selected figure of the earth For sphere, the radius of the earth universally used is about 6371.1 km

Geoid Equipotential Surface at Mean Seal Level (MSL) อธิบายได้ด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของ Series แนวดิ่ง (Plumb Line) จะตั้งฉากกับ Geoid

Ellipsoid เป็นรูปทรงที่เกิดจากวงรีหมุนรอบแกนสั้น เป็น 1st Approximation ของ Geoid เป็นรูปทรงของโลกถ้าหากโลกมีความหนาแน่นของมวลสารเท่ากันทุกแห่ง

Shape and Size of an Ellipsoid กำหนดได้สองแบบคือ กึ่งแกนยาว (a) และกึ่งแกนสั้น (b) กึ่งแกนยาว (a) และค่าความแบน (f = [a-b]/a) b a

Shape and Size of Ellipsoids Everest a = 6377276.345 f = 1/300.8 Clark-1866 a = 6378249.17 f = 1/293.5 WGS-72 a = 6378135.0 f = 1/298.26 WGS-84 a = 6378137.0 f = 1/298.257

P’ P

พื้นหลักฐานอ้างอิง (Datum) Vertical Datum พื้นหลักฐานอ้างอิงดิ่ง Geoid Horizontal Datum พื้นหลักฐานอ้างอิงราบ Ellipsoid + Orientation ของ Ellipsoid เทียบกับ Geoid

ชนิดของ Horizontal Datum Local Datum Indian Datum 1975 ใช้ Everest Ellipsoid โดยกำหนดให้ผิว Ellipsoid สัมผัสกับผิว Geoid ที่หมุดหลักฐานแผนที่เขาสะแกกรัง Global Datum โดยทั่วไปกำหนดให้ CM ของ Ellipsoid ทับกับ CM ของโลกและกึ่งแกนสั้นของ Ellipsoid ทับกับแกนหมุน CIO ของโลก IAU, WGS-72, WGS-84

Local Datum

Global Datum (WGS-84)

การกำหนดพิกัดบนผิว Ellipsoid ทำได้ 2 แบบคือ อ้างอิงจากระบบเส้น Meridian and Parallels อ้างอิงจากระบบพิกัดฉาก 3 มิติ x,y,z ทั้งสองแบบมีความสัมพันธ์กัน สามารถแปลงกลับไปกลับมาได้

Meridians and Parallels

Meridians and Parallels

Geodetic Coordinate Greenwich Meridian P’ Equator Ellipsoid

Datum Transformation Z z P y Y X Geoid x Ellipsoid 1 Ellipsoid 2

ขั้นตอนของ Datum Transform. สมมติแปลงจาก Ellipsoid 1 ไป Ellipsoid 2 เปลี่ยน f,l บน Ellipsoid 1 ไปเป็น x,y,z Transform x,y,z ไปเป็น X,Y,Z โดยการเลื่อน (3), หมุน (3), ยืดหด (1) เปลี่ยน X,Y,Z ไปเป็น f,l บน Ellipsoid 2

ระบบพิกัดบนระนาบ

Projection Surfaces คือระนาบ (Plane) หรือรูปทรงอื่นที่สามารถคลี่ออกได้เป็นระนาบโดยไม่เกิด Distortion Cone ทรงกรวย Cylinder ทรงกระบอก

Map Projection คือวิธีการถ่ายทอดข้อมูล (Parallels & Meridians, เส้นชายฝั่ง, ถนน, ตำแหน่งอาคาร ฯลฯ) จากผิวโค้งของ Datum ไปยัง Projection Surface การถ่ายทอดข้อมูลทำได้โดยใช้ Mapping Equations Mapping Equations มีได้ไม่จำกัด

Mapping Equations Forward Projection x = f(f,l) y = g(f,l) Reverse Projection f = f’(x,y) l = g’(x,y)

Orientation of Projection Surfaces Normal Oblique Transverse

Examples of Map Projection Lambert Cylindrical Equal-area (1772) x = R. l y = R.sin f Mercator Projection (1569) y = R.ln[tan (p/4 + f/2)

Scale Principal Scale (s) Particular Scale หรือ Scale Factor (m) Scale Error (m - 1)

Principal Scale Principal Scale เท่ากับขนาดของลูกโลก(Globe) หารด้วยขนาดของ Datum ในกรณี Datum เป็นทรงกลม s = r/R คือตัวเลขมาตราส่วนที่แสดงบนแผนที่ ไม่ขึ้นกับตำแหน่งและทิศทางของแต่ละจุด

Scale Factor คือระยะทางสั้นมาก ๆ บนระนาบแผนที่หารด้วยระยะทางเดียวกันบนลูกโลก m = ds/dS เปลี่ยนไปตามตำแหน่ง ที่ตำแหน่งเดียวกันจะเปลี่ยนไปตามทิศทาง (ยกเว้นกรณี conformal)

Transverse Mercator Projection Mercator Projection ในตำแหน่ง Transverse คุณลักษณะเป็นแบบ Conformal

- + CM

UTM Projection Universal Transverse Mercator Projection คือ Transverse Mercator Projection แบบ Secant ที่มีข้อตกลงนานาชาติเพิ่มเติมในการกำหนดความกว้างของโซน, ตำแหน่งของ Central Meridian (CM) ฯลฯ

UTM Projection แต่ละโซนกว้าง 6 องศาตามแนว E-W CM อยู่กลางโซน Scale Factor at CM = 0.9996 (2499/2500) หน่วยที่ใช้เป็นเมตร

พิกัด UTM สำหรับซีกโลกเหนือ พิกัดของแต่ละโซนกำหนดด้วยค่า Easting (E) และ Northing (N) ดังนี้ E = x + 500000 N = y x, y คือพิกัดที่ได้จากการ Transverse Mercator Projection ที่กำหนด CM ตามข้อตกลงนานาชาติ

พิกัด UTM ของประเทศไทย Datum คือ Indian Datum (กำลังจะเปลี่ยนเป็น WGS-84 ในอีก 3-4 ปีข้างหน้า) ประเทศไทยตกอยู่ใน 2 โซน คือ โซน 47 (CM = 99E) และโซน 48 (CM = 105E)