แบบฝึกหัด จงหาคำตอบที่ดีที่สุด หรือหาค่ากำไรสูงสุด จาก สมการเป้าหมาย Max Z = 6X1 - 10X2 ภายใต้ข้อจำกัด 2X1 + 2X2 >=12 4X1 - 8X2 >=12 X1 <=8 X1, X2 >=0

1. จากสมการ 2X1 + 2X2 =12 1.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1= 6 >>> (6,0) 1.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0 แทนสมการได้ X2= 6 >>> (0,6) ดังนั้น จุดตัดแกน X1 คือ (6,0), จุดตัดแกน X2 คือ (0,6) 2. จากสมการ 4X1 - 8X2 =12 2.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1=3 >>> (3,0) 2.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0 แทนสมการได้ X2 = -12/8 >>> (0, -12/8) หรือ = (0, -1.5) ดังนั้น จุดตัดแกน X1 คือ (3,0), จุดตัดแกน X2 คือ (0,-1.5) 3.จากสมการ X1 =8 X1=8 เสมอ สำหรับค่า X2 ใดๆทุกค่า

X2 2X1 + 2X2 =12 X1 = 8 8 7 6 5 4 3 D 4X1 - 8X2 =12 2 A 1 C X1 (0,0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2

การหาพื้นที่กราฟที่เป็นจริงโดยการแทนค่าจุดใดๆ พิจารณาพื้นที่เป็นจริงด้วยการแทนค่าจุดที่ต้องการทดสอบ เช่นกรณี อสมการ 2X1 + 2X2 >= 12 เปรียบเทียบด้วยจุด (5,5) หรือ (1,1) พบว่าจุด (5,5) ทำให้อสมการ 2X1 + 2X2 >= 12 เป็นจริง ดังนั้นคือเนื้อที่ทั้งหมดทางขวามือของเส้น 2X1 + 2X2 >= 12 (ส่วน (1,1) ทำให้อสมการ 2X1 + 2X2 >= 12 เป็นเท็จ ดังนั้นเนื้อที่ทางด้านซ้ายมือของเส้น 2X1 + 2X2 >= 12 เป็นเท็จ)

การหาพื้นที่กราฟที่เป็นจริงโดยการแทนค่าจุดใดๆ พิจารณาเนื้อที่ที่เป็นจริงด้วยการแทนค่าจุด ทดสอบ เช่นกรณี อสมการ 4X1 - 8X2 >= 12 เปรียบเทียบด้วยจุด (5,5) หรือ (8,1) จุด (8,1) ทำให้อสมการ 4X1 - 8X2 >= 12 เป็นจริง ดังนั้นเนื้อที่ทางด้านล่างของเส้น 4X1 - 8X2 >= 12 เป็นจริง) (พบว่าจุด (5,5) ทำให้อสมการ 4X1 - 8X2 >=12 เป็นเท็จ ดังนั้นคือเนื้อที่ทั้งหมดทางด้านบนเส้น 4X1 - 8X2 >= 12 เป็นเท็จ)

บริเวณที่หาคำตอบได้ ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1 + 2X2 >=12 8 7 X1 <= 8 6 5 2X1 + 2X2 >= 12 4 3 D 4X1 - 8X2 >= 12 2 A 1 C X1 (0,0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 บริเวณที่หาคำตอบได้ ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1 + 2X2 >=12 4X1 - 8X2 >=12 X1 <=8 X1, X2 >=0

การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ วิธีที่ 1 การเขียนกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z1 = 30 Z1 = 6X1 - 10X2 = 30 จุดตัดบนแกน X1 คือ (5,0) จุดตัดบนแกน X2 คือ (0,-3) หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z2 = 36 Z2 = 6X1 - 10X2 = 36 จุดตัดบนแกน X1 คือ (6,0) จุดตัดบนแกน X2 คือ (0,-3.6) หาเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อ Z3 = 42 Z3 = 6X1 - 10X2 = 42 จุดตัดบนแกน X1 คือ (7,0) จุดตัดบนแกน X2 คือ (0,-4.2)

X2 2X1 + 2X2 >=12 X1 <= 8 7 6 4X1 - 8X2 >=12 Z1 = 30 5 Z2 = 36 Z3 = 42 4 3 D 2 A 1 C X1 (0,0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 จากรูปกราฟของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จะพบว่าค่า Z จะมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อเข้าใกล้จุด C -4 -5

จุด C คือจุดที่ค่า Z สูงสุด จุด C เกิดจากสมการเส้นตรง 2 เส้นตัดกันคือ X1 = 8 ----(1) X2 = 0 ----(2) ดังนั้นจุด C คือ (8, 0)

จุดที่ทำให้ได้กำไรสูงสุด คือจุด (8,0) จาก สมการเป้าหมาย Maximize Z = 6X1 - 10X2 = 6(8) – 10(0) = 48 คำตอบ จุดที่ทำให้ได้กำไรสูงสุด คือจุด (8,0) ค่าสูงสุดคือ 48

การหาคำตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ วิธีที่ 2 การหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชันข้อจำกัด

บริเวณที่หาคำตอบได้ ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1 + 2X2 >=12 8 7 6 5 2X1 + 2X2 >=12 X1 <= 8 4 3 D 4X1 - 8X2 >=12 2 A 1 C X1 (0,0) B 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 บริเวณที่หาคำตอบได้ ภายใต้ฟังก์ชันข้อจำกัด 2X1 + 2X2 >=12 4X1 - 8X2 >=12 X1 <=8 X1, X2 >=0

จุด A เป็นจุดตัดระหว่างสมการฟังก์ชันข้อจำกัด ดังนี้ 2X1 + 2X2 = 12 ----(1) 4X1 - 8X2 = 12 ----(2) 2 *(1) ได้ 4X1 + 4X2 = 24 ----(3) (3)-(2) ได้ 12X2 = 12 X2 = 1 แทนค่า X2 ใน (1) 2X1 + 2(1) = 12 2X1 = 12-2 X1 =10/2 = 5 ดังนั้นจุด A คือ (5, 1)

2X1 + 2X2 = 12 ----(1) X2 = 0 ----(2) แทนค่า X2 ใน (1) 2X1 + 2(0) = 12 จุด B เกิดจากสมการเส้นตรง 2 เส้นตัดกันคือ 2X1 + 2X2 = 12 ----(1) X2 = 0 ----(2) แทนค่า X2 ใน (1) 2X1 + 2(0) = 12 X1 = 12/2 X1 = 6 ดังนั้นจุด B คือ (6, 0)

จุด C เกิดจากสมการเส้นตรง 2 เส้นตัดกันคือ X1 = 8 ---- (1)

X1 = 8 ----(2) แทนค่า X1 ใน (1) 4(8) - 8X2 = 12 -8X2 = 12- 32 จุด D เกิดจากสมการเส้นตรง 2 เส้นตัดกันคือ 4X1 - 8X2 =12 ----(1) X1 = 8 ----(2) แทนค่า X1 ใน (1) 4(8) - 8X2 = 12 -8X2 = 12- 32 X2 = -20/-8 X2 = 2.5 ดังนั้นจุด D คือ (8, 2.5)

การหาคำตอบสามารถแสดงได้ดังตาราง จุด ค่าของ (X1,X2) กำไร Z = 6X1 - 10X2 A (5, 1) 30-10 = 20 B (6, 0) 36 C (8, 0) 48 *** D (8, 2.5) 48-25 = 23 จากตารางจะพบว่าจุด C คือจุดที่ X1=8, X2=0 เป็นจุดที่ให้คำตอบที่ดีที่สุด คำตอบ จุดที่ทำให้ได้กำไรสูงสุด คือจุด (8,0) ค่าสูงสุดคือ 48