2 Random Signals Asst. Prof. Dr. Peerapol Yuvapoositanon, PhD, DIC Department of Electronic Engineering and Graduate School of Electrical Engineering Mahanakorn University of Technology Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สัญญาณสุ่ม (Random Signals) สัญญาณ x(n) เป็นสัญญาณสุ่ม Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ตัวแปรสัญญาณสุ่ม (Random Variable) ฟังก์ชันแบบหนึ่งของสัญญาณสุ่ม ที่เรียกว่า ตัวแปรสัญญาณสุ่ม (random variable) หรือ rv ซึ่งจะเขียนแทนด้วย “x” ตัวอย่าง เมื่อให้ x เป็นค่าการสุ่มที่ได้การจากโยนเหรียญ โดยให้การออก “หัว” เป็น H และการออก “ก้อย” เป็น T Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing กำหนด x เป็นตัวแปรสัญญาณสุ่มที่ให้ค่าเป็น “1” เมื่อ x=H และ ให้ค่าเป็น “-1” เมื่อ x=T เขียน ตัวแปรสัญญาณสุ่มได้เป็น Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

กระบวนการสโตแคสติก (Stochastic process) ในเรื่องของการประมวลสัญญาณนั้นเราใช้การพิจารณาในแง่ของการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณเมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงไป ในที่นี้สัญญาณ เป็นสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและเป็นชนิดเวลาไม่ต่อเนื่อง (Discrete-time Signal) สำหรับสัญญาณสุ่มใดๆ ที่ถูกสังเกตการณ์ตามเวลาจะเรียกว่ากระบวนการสโตแคสติก (Stochastic process) ในกรณีนี้ x จะเป็นค่าของ x(n) ณ ตำแหน่งของ n แต่ละค่า เช่น x เป็นตัวแปรสัญญาณสุ่มสำหรับค่าของx(n) เมื่อ n=0 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (Probability Density Function) เป็นตัวกำหนดคุณสมบัติของ ตัวแปรสัญญาณสุ่ม x สำหรับการเกิดเหตุการณ์ของ x ใดๆ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ตัวอย่าง pdf สมมติ x(n) ให้ค่าเป็นดังข้างล่าง โดยค่าของ x(0) จะไม่เกิน 1/2 และ -1/2 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing กราฟ pdf และทราบอีกว่าค่าความน่าจะเป็น (Probability) ของ มีค่าเท่ากันหมดตลอดย่าน เราจะแสดงกราฟ pdf ของ x(0) เป็น Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing คุณสมบัติของ pdf พื้นที่ใต้กราฟ pdf เป็น 1 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1.1 หากมีสัญญาณ เป็นดังรูปที่ ‎1‑6 และ กำหนด ให้ x เป็นตัวแปรสัญญาณสุ่มที่ให้ค่าเท่ากับค่าของ x(n) x(2), x(3) ,x(4),…. Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

การกระจายตัวแบบนอร์มัล (Normal Distribution) สำหรับ x(2), x(3) ,x(4),…. มีการกระจายตัวแบบนอร์มัล หากเขียนเฉพาะ x(2) เป็น Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

กราฟนอร์มัล (เกาส์) pdf Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ฟังก์ชันความหนาแน่นสะสม (Cumulative Density Function) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing Pdf and cdf pdf cdf Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ตัวอย่าง pdf และ cdf กรณีการทอดลูกเต๋านั้นจะมีตัวแปรสัญญาณสุ่มเป็น Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing โยนเหรียญ ทอดลูกเต๋า pdf cdf Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing Pdf ร่วม แสดงความสัมพันธ์ ของ fx(x(1)) และ fx(x(2)) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing กราฟ Pdf ร่วม กรณี fx(x(1))=fx(x(2))=1/2 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing Cdf ร่วม Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ค่าเฉลี่ยทางเวลาและค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ล (Time Average and Ensemble Average) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ล (Ensemble Average) i ensembles Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing สนใจเฉพาะค่าเฉลี่ย ของ xi(1) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ลกรณีความน่าจะเป็นเท่ากัน หากทุกเหตุการณ์มีความน่าจะเป็นเท่าๆ กัน จะได้ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ได้ค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ล หรือ ได้การหาค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ลจาก ความถี่ในการเกิดเหตุการณ์ (Relative Frequency) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ตัวกระทำค่าคาดหวัง (Expectation Operator ) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ค่าเฉลี่ยกลาง (Mean Value) ค่าเฉลี่ยกลางหรือค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ลของสัญญาณนั้นคำนวณได้จาก โดย Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing เออร์โกดิก (Ergodic) เราเรียกตัวแปรสัญญาณสุ่มที่ค่าเฉลี่ยอองซามเบิ้ลเท่ากับค่าเฉลี่ยทางเวลาว่าเป็นสัญญาณ เออร์โกดิก (Ergodic) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Properties of Expectation Operator 1 ตัวกระทำค่าคาดหวังนั้น เป็นตัวกระทำที่มีความเป็นเชิงเส้น (Linearity) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Properties of Expectation Operator 2 โดยทั่วไป ยกเว้นเมื่อ x(n) และ y(n) นั้นเป็นอิสระ (Independent) ต่อกัน ดูรายละเอียดในหัวข้อ ความเป็นอิสระต่อกัน (Independence) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Properties of Expectation Operator 3 ถ้า y(n)= g(x(n)) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ตัวอย่าง Pdf ของฟังก์ชัน g(x) ตัวอย่าง มอดูเลเตอร์ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สหสัมพันธ์ (Correlation) 1 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สหสัมพันธ์ (Correlation) 2 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สหสัมพันธ์ตัวเอง (Autocorrelation) ถ้า n=m เรียก สหสัมพันธ์ตัวเอง(Autocorrelation) ก็คือการหาค่าพลังงาน (Energy) หรือ Average power ของสัญญาณ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ความแปรปรวนร่วม (Covariance ) หาได้จาก ค่าเฉลี่ยของ x(n) ค่าเฉลี่ยของ x(m) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing หาก Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing หาก Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

เมตริกซ์ค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง(Autocorrelation Matrix) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

เมตริกซ์ความแปรปรวนร่วม (Covariance Matrix) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ความไม่มีสหสัมพันธ์ (Uncorrelatedness) ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์คือ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ความเป็นอิสระต่อกัน (Independence) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing หาก x(n) และ x(m) เป็นอิสระ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ความเป็นออร์โธโกนัล (Orthogonality) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สถานะนิ่ง (Stationarity) สถานะนิ่งเชิงแคบ (Strictly-sense Stationary) เราใช้ สถานะนิ่งเชิงกว้าง (Wide-sense stationary) หรือ WSS Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สถานะนิ่งเชิงกว้าง (WSS) 1 1. ค่าเฉลี่ยกลางของตัวแปรสุ่มนั้นไม่ขึ้นกับตำแหน่งเวลา Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สถานะนิ่งเชิงกว้าง (WSS) 2 2. ค่าสหสัมพันธ์ตัวเองจะขึ้นกับระยะห่างของสัญญาณเท่านั้น Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

คุณสมบัติของค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง 1 ความเป็นสมมาตรกับแกนเวลา Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

คุณสมบัติของค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง 2 สหสัมพันธ์ตัวเองที่เวลาเป็นศูนย์มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับที่เวลาเป็นค่าอื่นๆ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

คุณสมบัติของค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง 3 เมตริกซ์สหสัมพันธ์ตัวเองเป็นโทปลิทซ์ (Toeplitz) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

คุณสมบัติของค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง 4 เมตริกซ์สหสัมพันธ์ตัวเองเป็นเมตริกซ์แบบจำกัดกึ่งบวก (Positive semi-definite matrix) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing การใช้งานสหสัมพันธ์ตัวเองและสหสัมพันธ์ไขว้ (Applications of Auto-correlation and Cross-correlation) ใช้ประโยชน์ในการหาเอกลักษณ์ของระบบ (System Identification) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ระบบโทรศัพท์แบบแฮนด์ฟรี (Hands-free mobile phone) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

การหาเอกลักษณ์ของระบบ (System Identification) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing ระบบกำจัดเสียสะท้อนโทรศัพท์แบบแฮนด์ฟรี (Echo Cancellation in Hands-free mobile phone) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

โครงสร้างระบบ การหาเอกลักษณ์ของระบบ (System Identification Structure) สัญญาณไปยังลำโพงฝั่งไกล = สัญญาณเสียงพูด + เสียงสะท้อน – ค่าประมาณเสียงสะท้อน เสียงสะท้อน สัญญาณเสียงพูด ค่าประมาณเสียงสะท้อน Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดของตัวกรอง(Optimal FIR) นิยทใช้กรรมวิธีการหาค่าน้อยที่สุด (Minimisation) ของฟังก์ชันเป้าหมาย (Objective function) เทียบสัมประสิทธิ์ของตัวกรอง Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ฟังก์ชันเป้าหมาย (Objective function) ค่ากำลังของค่าผิดพลาด e(n) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

การหาอนุพันธ์ (Differentiation) Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

การได้ค่าสหสัมพันธ์ตัวเอง และ สหสัมพันธ์ไขว้จากอนุพันธ์ Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Advanced Digital Signal Processing เทียบเป็นเมตริกซ์ i=0,1,…,L-1 Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

สมการนอร์มัล (Normal equation) ได้โครงสร้างเป็นสมการนอร์มัล Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

ค่าคำตอบของตัวกรองที่เหมาะสมที่สุด (Optimal FIR) ค่าที่เหมาะสมที่สุดของตัวกรองจึงได้เป็น ค่าเวคเตอร์ของสหสัมพันธ์ไขว้ ค่าคำตอบ ค่าเมตริกซ์ผกผัน Advanced Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com