Chapter 7 : Deflection by Various Geometrical Defection Diagrams and The Elastic Curve Elastic- Beam Theory Direct Integration Method Moment-Area Theorems Conjugate-Beam Method Lumped - Angle Change Method

Defection Diagrams and The Elastic Curve เมื่อมีแรงมากระทำกับโครงสร้างนอกจากจะทำให้เกิดแรงภายในแล้ว ยังทำให้โครงสร้างนั้น เกิดการเคลื่อนที่ (Displacement) ด้วย ซึ่งหมายความรวมทั้ง การโก่งตัว (Deflection) และการหมุน (Rotation) สำหรับในบทนี้ จะคำนวณหา Displacement ที่เกิดขึ้นใน Beam และ Frame โดยจะพิจารณาเฉพาะกรณีของ Bending Moment คุณสมบัติของโครงสร้างจะต้องมีการยืดหยุ่นเป็นแบบเส้นตรง (linear elastic material) และ การเคลื่อนที่ เป็นแบบ Small Displacement u1 q u2 qA D 10 m. A B Displacement of Beam Displacement of Frame Joint

Defection Diagrams and The Elastic Curve 8Elastic Curve of Joint

Defection Diagrams and The Elastic Curve 8Elastic Curve of Structure

Defection Diagrams and The Elastic Curve 8Elastic Curve from B.M.D.

Elastic- Beam Theory Apply Hooke’s law for homogeneous material and linear elastic manner (flexural rigidity) 1 (nonlinear second order diff. Eq.) 2 (small deflection theory) 3 after Deformation before Deformation

Deflection by Integration Method (Double Integration) Recall Relative between Load, Shear Bending Moment Function : หรือ วิธี Direct Integration เป็นวิธีการที่ใช้ สำหรับหา สมการของ มุมลาด (Slope) และ การโก่งตัว (Deflection) ของคาน ตลอดความยาว อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์นี้ยังมีขอบเขตอยู่บน Small Displacement วัสดุเป็น Linear Elastic และพิจารณาผลการโก่งตัวเนื่องจากBending Moment เพียงอย่างเดียว ; (Fourth Integration)

Deflection by Integration Method 8 Fourth Integration หาได้จาก Shear, Moment,Slope หรือ Deflection ณ จุดที่ทราบค่าบนคาน เช่น จุดรองรับ หรือช่วงคาน (Boundary Conditions)

Deflection by Integration Method 8 Boundary Conditions Pined Support Pined Support with M0 Roller Support Moment on Member Free End Fixed End Point Load on Member

Deflection by Integration Method 8 Using Integration of Example 7.1 A simply supported beam is loaded by a uniform load w0 as shown in Fig. Determine the transverse displacement v(x) and the location and value of largest displacement. A B L Condition : Point A Deflection = 0 Point B Deflection = 0

Deflection by Integration Method 8 Using Integration of Example 7.1 A simply supported beam is loaded by a concentrate load as shown in Fig. Determine the transverse displacement v(x). A B C L/2 L/2 Condition : Point A Deflection = 0 Point B Deflection = 0 x= L/2 Slope =0(ช่วงAB) x= L/2 Slope =0(ช่วงBC)

Deflection by Integration Method 8 Using Integration of Example 7.2 Determine the shear V, the Moment M, the rotation, and the Deflection of the beam shown Fig. Using the integration of A B L Condition : Point A Deflection = 0 Slope =0 Point B Shear = 0 Moment =0

Moment-Area Theorems 8 Second Theorem ใช้ Circular-arc formula s=qr Integration ทั้งสองข้างของสมการ Theorem 2: The vertical deviation of the tangent at a point (A) on the elastic curve with respect to the tangent extended from another point (B) equals the “moment” of the area under the M/EI diagram between the two point (A and B). This moment is computed about point A (the point on the elastic curve), where the deviation tA/B is to be determined.

Moment-Area Theorems 8 Example 7-1 Determine the slope at point A,B,C and deflection at point C of the beam in Fig. Given: E = 29(10)3 ksi , I = 600 in4 M/EI Diagram

Conjugate-Beam Method วิธีConjugate-Beam พัฒนาโดย Otto Mohr ในปี ค.ศ. 1860 Integration จาก diagram สามารถนำ การใช้หลักการนี้จะต้องทำให้ Analytical Model ของคานจริง สอดคล้องกันกับ Analytical Model ของคานเสมือน โดยสมบูรณ์ Shear,V เปรียบเทียบกับ Slope,q Moment, M เปรียบเทียบกับ Displacement, y External load,w เปรียบเทียบกับ M/EI diagram

Conjugate-Beam Method Theorem 1: The slope at a point in the real beam is numerically equal to the shear at the corresponding point in the conjugate beam. Theorem 2: The displacement of a point in the real beam is numerically equal to the moment at the corresponding point in the conjugate beam.

Conjugate-Beam Method

Conjugate-Beam Method 8 Example 7-2 Determine the slope at point A,B,C and deflection at point C of the beam in Fig. Given: E = 29(10)3 ksi , I = 600 in4 M/EI Diagram

Lumped-Angle Change 8Mathematically …..Change of Angle B …..Change of Angle Dq = Area of M/EI Diagram between change of Angle

Lumped-Angle Change 8Artificial Hinge B A B C D C.G. C.G. C.G. C.G. A B

Lumped-Angle Change 8Direction of Artificial Hinge 4Starting Point 4Direction of Moment w A B โมเมนต์หมุนทวนเข็ม Starting Starting โมเมนต์หมุนตามเข็ม Curvature Model

Lumped-Angle Change 8Direction of Displacement in Artificial Hinge l1 w A B BB’ l1 Starting BB’’ l2 Compatibility Equation :

Lumped-Angle Change 8 Example 7-3 Determine the slope at point A,B,C and deflection at point C of the beam in Fig. Given: E = 29(10)3 ksi , I = 600 in4 M/EI Diagram

Lumped-Angle Change 8 Example 7-4 Determine the slope at point A,B,D and deflection at u1B, u1C, u1D of the plane frame in Fig. By 1) Moment Area Theorem 2) Conjugate Beam 2) Lumped Angle Change Method 4 m P = 10 kN B C 2 m 4 m D A