Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation Numerical Analysis
Problem type ถ้ามีข้อมูลจากการวัด ซึ่งแทนความสัมพันธ์ของตัวแปรต้นและตัวแปรตาม แล้ว ต้องการทราบค่าตัวแปรตาม ณ จุดอื่นๆ ในช่วงของการวัด ต้องการทราบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่แทนข้อมูล
Theory of Weierstrass
Interpolation: Overview
Interpolation: Overview
Interpolation: Overview
Lagrange Polynomial
Lagrange Polynomial
Lagrange Polynomial
Lagrange Polynomial
Lagrange Polynomial: Example
Lagrange Polynomial: Example
Lagrange Polynomial: Example
Divided Difference
Divided Difference
Divided Difference
Newton Divided Difference: Example
Newton Divided Difference: Example xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623
Newton Divided Difference: Example
Forward Divided Difference
Forward Divided Difference
Forward Divided Difference
Backward Divided Difference
Backward Divided Difference
Backward Divided Difference
Newton Divided Difference: Example
Example (Newton Divided Difference) xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623 Example (Newton Divided Difference)
Newton Divided Difference: Example
Newton Divided Difference: Example xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623
Newton Divided Difference: Example
Hermite Interpolation การที่พหุนามมีดีกรีสูงขึ้นจะทำให้ค่าประมาณดีขึ้น การประมาณค่าในช่วง ของ Hermite นอกจากจะใช้ค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดแล้ว ยังใช้ค่า อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ณ จุดที่กำหนดนั้นด้วย สำหรับข้อมูลจำนวน n+1 ตัว พหุนาม Hermite จะมีดีกรี 2n+1
Hermite Interpolation
Hermite Interpolation
Hermite Interpolation
Hermite Interpolation
Hermite Interpolation
Hermite Interpolation: Example
Hermite Interpolation: Example
Hermite Interpolation: Example
Cubic Spline Interpolation ความแม่นยำในการประมาณอาจสูงขึ้น เมื่อใช้พหุนามที่มีดีกรีสูง แต่เมื่อ ดีกรีที่สูงขึ้นมากอาจจะมีการกวัดแกว่งของเส้นโค้งสูงขึ้นด้วย ซึ่งจะส่งผลให้ ค่าประมาณมีความคลาดเคลื่อนมากขึ้นก็ได้ วิธีหนึ่งที่ใช้แก้ปัญหาคือ แบ่ง ช่วงทั้งหมดออกเป็นช่วงย่อยๆ แล้วสร้างพหุนามประจำแต่ละช่วงย่อย เรียกว่า “การประมาณโดยพหุนามเป็นช่วงๆ”” ถ้าให้ทุกสองคู่ของจุดแทนช่วงหนึ่งช่วง การเชื่อมจุดของข้อมูลด้วยเส้นตรงก็ คือวิธีที่ง่ายที่สุด แต่ก็จะทำให้เส้นโค้งไม่เรียบ แนวทางอื่นคือ การใช้พหุนาม Hermite แต่ก็ต้องมีข้อมูลของอนุพันธ์ อันดับหนึ่งของทุกจุด
Cubic Spline Interpolation การประมาณโดยพหุนามเป็นส่วนๆ ที่พบบ่อยที่สุดคือ การใช้พหุนามกำลัง สามระหว่างคู่ของจุด ที่เรียกว่า Cubic Spline พหุนามกำลังสาม มีค่าคงตัว 4 ค่า โดยทั่วไปแล้วอนุพันธ์ของ Cubic Spline ไม่จำเป็นต้องเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริง แม้ที่จุดนิยาม
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline Interpolation
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Cubic Spline: Example
Least Square Method ในกรณีที่ค่าข้อมูลที่วัดมานั้น อาจมีความคลาดเคลื่อน การประมาณค่าฟังก์ชันภายใต้ เงื่อนไขที่ว่า ค่าที่ได้จากการวัดจะต้องเท่ากับค่าประมาณของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ ก็ อาจจะทำให้ค่าประมาณยิ่งคลาดเคลื่อนไปจากค่าที่ควรจะเป็น นอกจากนี้ ถ้ามีข้อมูลจำนวนหนึ่ง เช่น n+1 และใช้การประมาณพหุนามในช่วงเช่น พหุ นามลากรองจ์ พหุนามผลต่างสืบเนื่องของนิวตัน ก็จะได้พหุนามดีกรี n ซึ่งอาจมีการกวัด แกว่งของเส้นโค้งแทนที่จะเป็นโค้งของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ภายใต้สมมุติฐานเหล่านี้ เราอาจสังเกตลักษณะของการเรียงตัวของข้อมูลแล้วจึงสร้างพหุ นามตัวประมาณที่มีดีกรีที่เหมาะสม ที่ประมาณได้ดีที่สุด (ในบางลักษณะ) โดยไม่จำเป็น จะต้องผ่านจุดข้อมูลทุกจุด ซึ่งจะต้องหาสัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้น
Least Square Method
Least Square Method
Least Square Method
Least Square Method
Least Square Method: Example
Least Square Method: Example
Least Square Method: Example
Least Square Method
Least Square Method: Example
Least Square Method: Example