Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation

Slides:



Advertisements
งานนำเสนอที่คล้ายกัน
ระบบสมการเชิงเส้น F M B N เสถียร วิเชียรสาร.
Advertisements

บำรุง พ่วงเกิด Office: ME201 Homepage: 12/17/2008
อสมการ 1.1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น อ.สุรัชน์ อินทสังข์ ภาควิชาหลักสูตรและการสอน
แปลคำศัพท์สำคัญ Chapter 2 หัวข้อ 2. 1 – 2
การเสนอโครงการวิทยานิพนธ์
บทที่ 2 ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์
ความต่อเนื่องแบบเอกรูป (Uniform Continuity)
ไม่อิงพารามิเตอร์เบื้องต้น
Chapter 2 Root of Nonlinear Functions
บทที่ 12 การวิเคราะห์การถดถอย
MTE 426 การวิเคราะห์ตำแหน่ง พิเชษฐ์ พินิจ 1.
Engineering Problem Solving Program by Using Finite Element Method
การออกแบบการวิจัยการเขียนเค้าโครงการวิจัย
Ordering and Liveness Analysis ลำดับและการวิเคราะห์บอกความ เป็นอยู่หรือความตาย.
Review of Ordinary Differential Equations
จำนวนนับ และการบวก การลบ การคูณ การหารจำนวนนับ
อสมการ.
ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5.
Engineering Graphics II [WEEK5]
อนุกรมกำลัง (power series)
MATLAB Week 7.
คณิตศาสตร์และสถิติธุรกิจ
Chapter 4 อินทิกรัล Integrals
สมการเชิงอนุพันธ์อย่างง่าย
Object-Oriented Analysis and Design
Chapter 3 Graphics Output primitives Part II
อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ( First Derivative )
ฟังก์ชัน y เป็นฟังก์ชันของ x ก็ต่อเมื่อ มีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y โดยเราสามารถหาค่า y ได้เมื่อกำหนดค่าของ x ให้ เช่น y = x2+1 เรียก y.
หน่วยที่ 3 อินทิกรัลและการประยุกต์
หน่วยที่ 8 อนุพันธ์ย่อย (partial derivative).
Treatment of Experimental result
มิสกมลฉัตร อู่ศริกุลพานิชย์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอัสสัมชัญอุบลราชธานี
การวิเคราะห์สหสัมพันธ์และการถดถอย
การหาปริพันธ์ (Integration)
คำศัพท์ที่น่าสนใจใน A5
Function and Their Graphs
A.5 Solving Equations การแก้สมการ.
บทที่ 4 การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming)
ระบบจำนวนเต็ม โดย นางสาวบุณฑริกา สูนานนท์
Menu Analyze > Correlate
(Applications of Derivatives)
CPE 332 Computer Engineering Mathematics II
การแก้สมการพหุนามดีกรีสอง
ฟังก์ชัน ง30212 การเขียนโปรแกรมด้วยภาษาคอมพิวเตอร์ ศูนย์คอมพิวเตอร์
จำนวนเต็มกับการหารลงตัว
การตรวจสอบความเชื่อมั่น
สหสัมพันธ์ (correlation)
การแยกตัวประกอบพหุนาม
สัปดาห์ที่ 7 การแปลงลาปลาซ The Laplace Transform.
วิธีสายงานวิกฤต Critical Path Method แบบ Activity on Arrow.
Asst.Prof. Wipavan Narksarp Siam University
วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค ครูผู้สอน นางสาวสมใจ จันทรงกรด
การแจกแจงปกติ NORMAL DISTRIBUTION
แบบประเมินผลสัมฤทธิ์ของงาน คะแนนตามระดับค่าเป้าหมาย
หลักสูตรอบรม การวัดประสิทธิภาพและผลิตภาพของการผลิตสินค้าเกษตร
วิชา วิศวกรรมซอฟต์แวร์ (Software Engineering)
หลักการเขียนโปรแกรม ( )
PHP การตรวจสอบเงื่อนไข.
หลักการแก้ปัญหา
เรื่องการประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
Chi-Square Test การทดสอบไคสแควร์ 12.
นางสาวสุพรรษา ธรรมสโรช
คะแนนมาตรฐาน และ โค้งปกติ
ความชันและสมการเส้นตรง
ทบทวนการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การคูณและการหารเอกนาม
เส้นโค้งกับอนุพันธ์ สัมพันธ์กันอย่างไร?
ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ใบสำเนางานนำเสนอ:

Chapter 3 Interpolation and Polynomial Approximation Numerical Analysis

Problem type ถ้ามีข้อมูลจากการวัด ซึ่งแทนความสัมพันธ์ของตัวแปรต้นและตัวแปรตาม แล้ว ต้องการทราบค่าตัวแปรตาม ณ จุดอื่นๆ ในช่วงของการวัด ต้องการทราบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่แทนข้อมูล

Theory of Weierstrass

Interpolation: Overview

Interpolation: Overview

Interpolation: Overview

Lagrange Polynomial

Lagrange Polynomial

Lagrange Polynomial

Lagrange Polynomial

Lagrange Polynomial: Example

Lagrange Polynomial: Example

Lagrange Polynomial: Example

Divided Difference

Divided Difference

Divided Difference

Newton Divided Difference: Example

Newton Divided Difference: Example xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623

Newton Divided Difference: Example

Forward Divided Difference

Forward Divided Difference

Forward Divided Difference

Backward Divided Difference

Backward Divided Difference

Backward Divided Difference

Newton Divided Difference: Example

Example (Newton Divided Difference) xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623 Example (Newton Divided Difference)

Newton Divided Difference: Example

Newton Divided Difference: Example xi f(xi)=f[xi] 1st Divided Diff 2nd Divided Diff 3rd Divided Diff 4th Divided Diff 1.0 0.7651977 -0.4837057 1.3 0.6200860 -0.1087339 -0.5489460 0.0658784 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251 -0.5786120 0.0680685 1.9 0.2818186 0.0118183 -0.5715210 2.2 0.1103623

Newton Divided Difference: Example

Hermite Interpolation การที่พหุนามมีดีกรีสูงขึ้นจะทำให้ค่าประมาณดีขึ้น การประมาณค่าในช่วง ของ Hermite นอกจากจะใช้ค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดแล้ว ยังใช้ค่า อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ณ จุดที่กำหนดนั้นด้วย สำหรับข้อมูลจำนวน n+1 ตัว พหุนาม Hermite จะมีดีกรี 2n+1

Hermite Interpolation

Hermite Interpolation

Hermite Interpolation

Hermite Interpolation

Hermite Interpolation

Hermite Interpolation: Example

Hermite Interpolation: Example

Hermite Interpolation: Example

Cubic Spline Interpolation ความแม่นยำในการประมาณอาจสูงขึ้น เมื่อใช้พหุนามที่มีดีกรีสูง แต่เมื่อ ดีกรีที่สูงขึ้นมากอาจจะมีการกวัดแกว่งของเส้นโค้งสูงขึ้นด้วย ซึ่งจะส่งผลให้ ค่าประมาณมีความคลาดเคลื่อนมากขึ้นก็ได้ วิธีหนึ่งที่ใช้แก้ปัญหาคือ แบ่ง ช่วงทั้งหมดออกเป็นช่วงย่อยๆ แล้วสร้างพหุนามประจำแต่ละช่วงย่อย เรียกว่า “การประมาณโดยพหุนามเป็นช่วงๆ”” ถ้าให้ทุกสองคู่ของจุดแทนช่วงหนึ่งช่วง การเชื่อมจุดของข้อมูลด้วยเส้นตรงก็ คือวิธีที่ง่ายที่สุด แต่ก็จะทำให้เส้นโค้งไม่เรียบ แนวทางอื่นคือ การใช้พหุนาม Hermite แต่ก็ต้องมีข้อมูลของอนุพันธ์ อันดับหนึ่งของทุกจุด

Cubic Spline Interpolation การประมาณโดยพหุนามเป็นส่วนๆ ที่พบบ่อยที่สุดคือ การใช้พหุนามกำลัง สามระหว่างคู่ของจุด ที่เรียกว่า Cubic Spline พหุนามกำลังสาม มีค่าคงตัว 4 ค่า โดยทั่วไปแล้วอนุพันธ์ของ Cubic Spline ไม่จำเป็นต้องเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริง แม้ที่จุดนิยาม

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Cubic Spline: Example

Least Square Method ในกรณีที่ค่าข้อมูลที่วัดมานั้น อาจมีความคลาดเคลื่อน การประมาณค่าฟังก์ชันภายใต้ เงื่อนไขที่ว่า ค่าที่ได้จากการวัดจะต้องเท่ากับค่าประมาณของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ ก็ อาจจะทำให้ค่าประมาณยิ่งคลาดเคลื่อนไปจากค่าที่ควรจะเป็น นอกจากนี้ ถ้ามีข้อมูลจำนวนหนึ่ง เช่น n+1 และใช้การประมาณพหุนามในช่วงเช่น พหุ นามลากรองจ์ พหุนามผลต่างสืบเนื่องของนิวตัน ก็จะได้พหุนามดีกรี n ซึ่งอาจมีการกวัด แกว่งของเส้นโค้งแทนที่จะเป็นโค้งของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ภายใต้สมมุติฐานเหล่านี้ เราอาจสังเกตลักษณะของการเรียงตัวของข้อมูลแล้วจึงสร้างพหุ นามตัวประมาณที่มีดีกรีที่เหมาะสม ที่ประมาณได้ดีที่สุด (ในบางลักษณะ) โดยไม่จำเป็น จะต้องผ่านจุดข้อมูลทุกจุด ซึ่งจะต้องหาสัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้น

Least Square Method

Least Square Method

Least Square Method

Least Square Method

Least Square Method: Example

Least Square Method: Example

Least Square Method: Example

Least Square Method

Least Square Method: Example

Least Square Method: Example