การทดสอบสมมติฐานสัดส่วนของประชากร ข้อมูลมีการแจกแจงเป็น 2 ลักษณะ เช่น ใช่-ไม่ใช่ ถูก-ผิด จริง-เท็จ เป็นต้น เรียกว่าการแจกแจงแบบทวินาม สัดส่วนของจำนวนสมาชิกที่มีลักษณะ 2 จำพวก ในประชากรเป็น p และสัดส่วนของตัวอย่าง เป็น เมื่อ p0 คือค่าสัดส่วนที่กำหนดหรือคาดหวังของประชากร สมมติฐานที่จะทดสอบมีลักษณะดังนี้

การทดสอบสมมติฐานสัดส่วนของประชากร เมื่อ P0 คือ ค่าสัดส่วนของประชากร สมมติฐานที่จะทดสอบอยู่ในลักษณะ H0 : P = P0 H1 : P > P0 หรือ H1 : P < P0 หรือ H1 : P P0

ตัวอย่าง : ผู้อำนวยการโรงเรียนแห่งหนึ่ง ทราบข้อมูลจากการประเมินของ สมศ. ว่านักเรียนในโรงเรียน ของตนเองมีความสามารถคิดวิเคราะห์ ไม่เกินร้อยละ 3 ของนักเรียนทั้งหมด ผู้อำนวยการจึง สุ่มเลือกตัวอย่างนักเรียนมา 500 คน และทดสอบความสามารถในการคิดวิเคราะห์ และพบว่า มีนักเรียนที่มีความสามารถในการคิดวิเคราะห์ 22 คน ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 ผู้อำนวยการ โรงเรียนท่านนี้ จะเชื่อผลการประเมินของ สมศ.หรือไม่ 5. วิธีทำ 1. H0 : p = 0.03 , H1 : p > 0.03 2. สถิติทดสอบ 3. ระดับนัยสำคัย 0.05 4. บริเวณปฏิเสธ H0 คือ Z > 1.645 6. ปฏิเสธ H0 นั่นคือ สัดส่วนของนักเรียนที่มี ความสามารถคิดวิเคราะห์มีมากกว่า ร้อยละ 3 ของจำนวนนักเรียน

การทดสอบสมมติฐานผลต่างของสัดส่วนของสองประชากร เมื่อ P1 และ P2 คือ ค่าสัดส่วนของประชากรที่ 1 และ 2 และ C0 เป็นค่าผลต่างของ สัดส่วนของสองประชากร สมมติฐานที่จะทดสอบอยู่ในลักษณะ H0 : P1 - P2 = C0 H1 : P1 - P2 > C0 หรือ H1 : P1 - P2 < C0 หรือ H1 : P1 - P2 C0 X1 และ X2 คือจำนวนหน่วยตัวอย่าง ที่มีลักษณะที่สนใจในตัวอย่าง 1 และ 2

ตัวอย่าง : เพื่อตรวจสอบอาการตาบอดสีในชายและหญิง โดยการสุ่มชายและหญิงมา 100 และ 80 คน พบว่ามีอาการตาบอดสีจำนวน 3 และ 1 คนตามลำดับ ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 จะสรุปได้หรือไม่ ว่าสัดส่วนของชายตาบอดสีมากกว่าหญิงอยู่ร้อยละ 1 วิธีทำ : ให้ p1 และ p2 เป็นสัดส่วนชายและหญิงที่ตาบอดสี 1. H0 : p1 - p2 = 0.01 , H1 : p1 - p2 > 0.01 2. สถิติที่ใช้ทดสอบ 3. ระดับนัยสำคัญ 0.05 4. บริเวณปฏิเสธ H0 คือ Z > 1.645 6. ยอมรับ H0 นั่นคือสัดส่วนตาบอดสีของชาย ไม่ได้มากว่าหญิง อยู่ร้อยละ 1

ตัวอย่าง : โรงงานอิเล็กทรอนิกแห่งหนึ่งต้องการเปรียบเทียบคุณภาพแผงวงจรไฟฟ้าที่ผลิตจากโรงงาน 2 แห่ง โดยสุ่มแผงวงจรไฟฟ้าที่ผลิตจากโรงงานที่ 1 และ 2 มาจำนวน 200 และ 250 แผง แล้วนำมาตรวจสอบคุณภาพ ซึ่งพบว่า มีแผงวงจรไฟฟ้าที่ผลิตจากโรงงานที่ 1 และ 2 ที่ไม่ผ่าน การตรวจสอบจำนวน 6 และ 10 แผง ที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 โรงงานอิเล็กทรอนิกแห่งนี้ จะสรุปได้หรือไม่ว่า แผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการตรวจสอบที่ผลิตจากโรงงานที่ 1 มีสัดส่วน น้อยกว่าที่ผลิตจากโรงงานที่ 2

วิธีทำ : .ให้ p1 และ p2 เป็นสัดส่วนแผงวงจรไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการตรวจสอบที่ผลิตจากโรงงาน ที่ 1 และ 2 ตามลำดับ 1. H0 : p1 - p2 = 0, H1 : p1 - p2 < 0 2. สถิติทดสอบ 3. ระดับนัยสำคัญ 0.05 4. บริเวณปฏิเสธ H0 คือ Z < -1.645 6. ยอมรับ H0 นั่นคือ สัดส่วนของแผงวงจร ไฟฟ้าที่ไม่ผ่านการตรวจสอบจากโรงงาน ทั้งสอง ไม่ต่างกัน

ในกรณีที่ข้อมูลมีการแจกแจงมากกว่า 2 ลักษณะ สัดส่วนของประชากร จะเป็น p1 , p2 , … , pk เมื่อ k คือจำนวนลักษณะหรือประเภทของประชากรที่จำแนก p10 , p20 , …, pk0 เป็นสัดส่วนที่กำหนดหรือคาดหวังของประชากรในแต่ละประเภท

สมมติฐานที่จะทดสอบ H0 : pi = pi0 สำหรับทุกค่าของ i = 1, 2, …, k สัดส่วนหรือความน่าจะเป็นของประชากรในแต่ละประเภท มีค่าเท่ากันทั้งหมด คือเท่ากับค่าคงที่ตัวหนึ่งที่คาดหวัง (Pio) H1 : pi  pi0 สัดส่วนหรือความน่าจะเป็นของประชากรในบางประเภท มีค่าไม่เท่ากับค่าคงที่ที่คาดหวัง (Pio) หรือความน่าจะเป็นของ ประชากรในแต่ละประเภทมีค่าเท่ากันไม่ทั้งหมด

H0 : Oi = Ei ความถี่ที่สังเกตได้ (O) เท่ากับความถี่ที่คาดหวัง (E)ในทุกประเภท H1 : Oi  Ei ความถี่ที่สังเกตได้และความถี่ที่คาดหวังในแต่ละประเภท มีค่าไม่เท่ากันทั้งหมดหรือมีบางประเภทที่ความถี่สังเกตได้ แตกต่างไปจากความถี่คาดหวัง

ตัวสถิติที่ใช้ในการทดสอบ Chi-square

ตัวอย่าง จังหวัด จำนวนผู้มาสมัคร และเข้าสอบ (Ni) จำนวนผู้สอบได้ (Oi) 1 35 19 2 130 50 3 60 4 38 20 5 122 6 55 26 รวม N=440 n=200 ในการวิจัยเพื่อติดตามผลการรับนักเรียนเข้าศึกษาต่อในวิทยาลัยแห่งหนึ่ง ว่าเป็นไปตามนโยบายการรับนักเรียนกระจายตามจังหวัดต่างๆ อย่างเป็นสัดส่วนกับจำนวนนักเรียนที่มาสมัครและเข้าสอบหรือไม่ ผลการเก็บข้อมูล เป็นดังนี้

6. ยอมรับ H0 นั่นคือเป็นไปตามนโยบาย จังหวัด Ni Oi Ei 1 35 19 16 0.563 2 130 50 59 1.373 3 60 27 2.370 4 38 20 17 0.529 5 122 56 0.643 6 55 26 25 0.040 รวม N=440 n=200 200 5.518 1. H0 : p1 = pi0 H1 : pi  pi0 2.  = 6-1 = 5 3.  = 0.05 4. 5. คำนวณ Ei = Nipi 6. ยอมรับ H0 นั่นคือเป็นไปตามนโยบาย