เวกเตอร์และสเกลาร์ พื้นฐาน

ปริมาณฟิสิกส์บางปริมาณ เมื่อวัดหาค่าความมากน้อย( ขนาด ) ก็สามารถสื่อความหมาย หรือนำมาคำนวณได้ แต่บางปริมาณต้องวัดทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะสื่อความหมายหรือคำนวณได้ ปริมาณฟิสิกส์ที่วัดเฉพาะขนาด ก็สื่อความหมาย หรือคำนวณได้ เรียกว่า “ปริมาณฟิสิกส์ชนิดสเกลลาร์” เช่น ระยะทาง อัตราเร็ว มวล งาน พลังงาน กระแสไฟฟ้า ศักย์ไฟฟ้า ความดัน เป็นต้น

ปริมาณฟิสิกส์ที่ต้องวัด คำนวณ หรือสื่อความหมาย โดยคำนึงทั้งขนาดและทิศ เรียกว่า “ปริมาณฟิสิกส์ชนิดเวกเตอร์” เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตัม การดล สนามไฟฟ้า เป็นต้น

ดังนั้น ขณะศึกษา (เรียน) ฟิสิกส์จึงต้องคำนึงเสมอว่า เรากำลังยุ่งเกี่ยว หรือใช้ หรือบอก หรือคำนวณ ปริมาณฟิสิกส์ชนิดสเกลาร์หรือชนิดเวกเตอร์

การคำนวณเกี่ยวกับสเกลาร์ นำตัวเลขที่บอกค่ามากน้อย(ขนาด)มาคำนวณโดยใช้คณิตศาสตร์ที่เหมาะสม โดยไม่ต้องคำนึงถึงทิศทาง แต่บางปริมาณอาจต้องคำนึงทิศทางด้วย (ทิศทางจะไม่ซับซ้อน ส่วนมากจะไปทางซ้ายหรือขวา บนหรือลงล่าง)ซึ่งถ้าเป็นลักษณะนี้จะใช้หลักพืชคณิตแทนทิศทาง ตัวอย่าง วัตถุหนึ่งมีพลังงานความร้อนสะสมอยู่เดิม 100 จูล เมื่อนำไปเผาไฟพบว่า มีความร้อนไหลเพิ่มเข้าไปอีก 20 จูล จงหาว่าวัตถุมีพลังงานความร้อนรวมเป็นกี่จูล เฉลย ความร้อน = 100 + 20 = 120 จูล

ตัวอย่าง นายมนัสทำงานได้ 600 จูลภายในเวลา 5 นาที จงหากำลังของเขา ตัวอย่าง นายมนัสทำงานได้ 600 จูลภายในเวลา 5 นาที จงหากำลังของเขา

เฉลย สมมติทิศไปขวาเป็น + ตัวอย่าง สายไฟฟ้าเส้นหนึ่ง มีกระแสไหลไปทางขวา 5 A ขณะเดียวกันก็มีกระแสไหลสวนไปทางว้าย 200 mA จงหากระแสสุทธิหรือกระแสรวมในสายไฟฟ้าเส้นนี้ 5 A 200 mA เฉลย สมมติทิศไปขวาเป็น + กระแสรวม 4.8 A ไหลไปทางขวา ตอบ

การคำนวณเกี่ยวกับเวกเตอร์ ต้องนำตัวเลขค่าความมากน้อย(ขนาด) มาเขียนเป็นสัญลักษณ์ จากนั้นนำสัญลักษณ์ที่ได้มาคำนวณตามหลักคณิตศาสตร์เวกเตอร์ สัญลักษณ์เวกเตอร์ สัญลักษณ์คณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ลูกศร ในรูปหนึ่งหน่วยเวกเตอร์ ในรูป

เหตุการณ์นี้ เขียนเป็นเวกเตอร์ ดังรูป วัตถุเคลื่อนที่ทิศดังรูป ด้วยความเร็ว 4 m/s เหตุการณ์นี้ เขียนเป็นเวกเตอร์ ดังรูป

วัตถุตกลงพื้นโลก ความเร็ว 6 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นเวกเตอร์อย่างไร

จึงนิยมเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปสมการคณิตศาสตร์ แต่การเขียนปริมาณฟิสิกส์เป็นสัญลักษณ์ลูกศรลักษณะนี้ ไม่สะดวกเมื่อนำไปใช้งาน เพราะการเขียนลูกศรต้องใช้บริเวณพื้นที่กระดาษมาก จึงนิยมเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปสมการคณิตศาสตร์

การเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูป วิธีนี้นิยมใช้กันมาก เพราะสะดวก และสื่อความหมายได้ชัดเจน และใช้ระบบแกนพิกัดฉากคาร์ทิเซียนที่คนทั่วไปคุ้นเคย

ความหมายของ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ตามแกน +x แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ตามแกน +y แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน +z แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน - x แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ทิศตามแกน -y แทนทิศตามแกน - z

ระบบพิกัดคาร์ทิเซียน xyz

รถยนต์แล่นความเร็ว 4 m/s ดังรูป เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +z -x -y +y +x -z

เคลื่อนที่ลงความเร็ว 10 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้

วัตถุเคลื่อนที่ไปซ้าย ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นบน ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่ออกมา ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่เข้า ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +x -z

วัตถุเคลื่อนที่บนระนาบ xy ความเร็ว 4 m/s เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ +z -x -y +y 45 +x -z คิดอย่างไร

+y วิธีคิด 4sin45 4 +z 45 +x 4cos45 -x -y +y 45 4sin45 4 4cos45 +x -z

วัตถุเคลื่อนที่บนระนาบ xy ความเร็ว 4 m/s +z -x -y +y 45 4cos45 -y +x -z 4 4sin45 เหตุการณ์นี้เขียนเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้ดังนี้ คิดเอง +x

การเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( Unit vector) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ใด คือเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย เมื่อเทียบกับเวกเตอร์นั้น และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ

เราสามารถเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้ เราสามารถเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้ หรือ หรือ

ตัวอย่าง สัญลักษณ์เวกเตอร์ปริมาณฟิสิกส์ใช้บ่อย ๆ หน่วย แรงทั่วไป N แรงตึงเชือก แรงเสียดทาน แรงโน้มถ่วง หรือ น้ำหนัก ความเร็ว m/s ความเร่ง m/s2 โมเมนตัม Kg.m/s การดล

ในตรงข้าม ถ้าเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์มา เราต้องนึกภาพได้ ในตรงข้าม ถ้าเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์มา เราต้องนึกภาพได้

ให้เขียนภาพเวกเตอร์ต่อไปนี้ เฉลยให้ดูเป็นบางรูป

เฉลย +z -x -y +y -y +x -z

มิติของเวกเตอร์ 1 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกัน แนวแกนใดแกนหนึ่ง เพียงแนวเดียว ( สวนกันได้ )

มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) 2 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน ตัวอย่าง คนเดินบนพื้นโลก จิ้งจกเดินบนผนัง

มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) 3 มิติ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวใดก็ได้ +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) +z -x -y +y +x -z

3 มิติการเคลื่อนที่ (ต่อ) ตัวอย่าง นกบินในอากาศ ปลาว่ายในน้ำ คนเดินขึ้นลงอาคารหรือพื้นโลกสูงๆต่ำๆ เป็นต้น +z -x -y +y +x -z

การเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์กรณี 3 มิติ +z -y +y +x

จงเขียนเวกเตอร์ดังรูป เป็นสัญลักษณ์ 3 มิติ จงเขียนเวกเตอร์ดังรูป เป็นสัญลักษณ์ 3 มิติ +z 4 N.m -y 30 +y 60 4sin30 +x

จงเขียนสัญลักษณ์คณิตศาสตร์เวกเตอร์ ทำเอง เฉลย +z -x 25 N 53 -y +y 37 +x -z

แบบฝึกหัด จงวาดรูปเวกเตอร์ ดังต่อไปนี้ แบบฝึกหัด จงวาดรูปเวกเตอร์ ดังต่อไปนี้