บทที่ 7 เทคนิคการหาปริพันธ์ (Techniques of Integration) สูตรปริพันธ์พื้นฐาน (Basic Integration Formulas) การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน (Integration by Parts) การแยกเศษส่วนย่อย (Partial Fractions) การแทนที่ด้วยตรีโกณมิติ (Trigonometric Substitutions) กฎของโลปิตาล (L’Hopital’s Rule ) ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ (Improper Integrals)

7.1 สูตรปริพันธ์พื้นฐาน (Basic integration formulas)

ตัวอย่างที่ 7.1.1 (การเปลี่ยนตัวแปร)

ตัวอย่างที่ 7.1.2 (จัดอยู่ในรูปกำลังสองสัมบูรณ์)

ตัวอย่างที่ 7.1.3 (กระจายเทอมและใช้เอกลักษณ์ตรีโกณฯ)

ตัวอย่างที่ 7.1.4 (กำจัดรากที่สอง)

ตัวอย่างที่ 7.1.5 (ตัดทอนเศษส่วนเกินโดยการหารยาว)

ตัวอย่างที่ 7.1.6 (แยกเทอมเศษส่วน)

ตัวอย่าง 7.1.7 คูณด้วยเศษส่วนที่มีค่า=1

7.2 Integration by parts ใช้หาปริพันธ์ที่สามารถเขียนได้ในเทอมของ โดยที่ f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้เรื่อยๆจนเป็นศูนย์ และ g(x) สามารถหาปริพันธ์ได้เรื่อยๆ โดยมีสูตร

ที่มาของสูตร Integral by parts มาจากอนุพันธ์ของผลคูณ ถ้าหากหาปริพันธ์ทั้งสองข้างสมการเทียบกับ x จะได้ว่า

ในกรณีของการปริพันธ์แบบจำกัดขอบเขต

ตัวอย่างที่ 7.2.1 ลองพิจารณาสลับ u และ dv ?

ตัวอย่างที่ 7.2.3 หาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง กับแกน x ในช่วง 0 < x <4

ตัวอย่างที่ 7.2.4 integral of the natural logarithm

ตัวอย่างที่ 7.2.5 integral by parts หลายๆครั้ง

ตัวอย่างที่ 7.2.6 ใช้ integration by parts แล้วได้ของเดิม

ตารางในการหา integration by parts ตัวอย่างที่ 7.2.7 ตัวอย่างที่ 7.2.8

7.3 การแยกเศษส่วนย่อย (Partial Fractions) จากผลรวมของเศษส่วนย่อย ถ้าหากเราต้องการหาค่าปริพันธ์

ตัวอย่างที่ 7.3.1 การแยกเศษส่วนย่อยอย่างง่ายๆ การหาค่าปริพันธ์ โดยที่ไม่ทราบมาก่อนว่าอะไรเป็นเศษส่วนย่อย แยกตัวประกอบส่วน แล้วกำหนดให้ เทียบสัมประสิทธิ์

เงื่อนไขที่จะแยกเศษส่วนย่อยได้ จะต้องเป็นเศษส่วนคละ (Proper Fraction) คือตัวชี้กำลังของเศษต้องน้อยกว่าตัวชี้กำลังของส่วน ตัวส่วนจะต้องแยกตัวประกอบได้

ขั้นตอนในการแยกเศษส่วนย่อย ถ้าหาก เป็นตัวประกอบของส่วน และ เป็นพหุนามกำลังสูงสุดที่หารส่วนลงตัว จะได้เศษส่วยย่อยดังนี้ ถ้าหาก เป็นตัวประกอบของส่วนและ เป็นพหุนามกำลังสูงสุดที่หารส่วนลงตัว จะได้เศษส่วนย่อยดังนี้ รวมเศษส่วนย่อยทุกกรณีเข้าด้วยกัน เทียบสัมประสิทธิ์ หาค่าคงที่ A, B, C

ตัวอย่างที่ 7.3.2 แยกเศษส่วนย่อยของ

ตัวอย่างที่ 7.3.3

ตัวอย่างที่ 7.3.4 เศษเกิน ลดทอนเศษส่วนโดยการหารยาว

ตัวอย่างที่ 7.3.5 จงหาคำตอบของสมการ แยกตัวแปรอินทีเกรต

ตัวอย่างที่ 7.3.5 (ต่อ) คำตอบทั่วไป (General solution) แทนค่า x=0 , y =1 จะได้ ดังนั้นคำตอบเฉพาะคือ

ตัวอย่างที่ 7.3.6

Heaviside Method ถ้าหากแยกแฟกเตอร์ส่วนได้ในรูปของ เราสามารถหาค่าของสัมประสิทธิ์ได้โดยง่าย

ตัวอย่างที่ 7.3.7 จงแยกเศษส่วนย่อย

ตัวอย่างที่ 7.3.8(Heaviside method) จงหาค่าปริพันธ์

ตัวอย่างที่ 7.3.9 ใช้การหาอนุพันธ์ จงแยกเศษส่วนย่อย

ตัวอย่างที่ 7.3.10 แทนค่า x ด้วยรากของส่วนทีละค่า จงแยกเศษส่วนย่อย