สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)

สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)
บทที่ 10 การแปลงลาปลาส และ การวิเคราะห์ระบบ สัญญาณและระบบ

วัตถุประสงค์ ที่มาอย่างง่ายของการแปลงลาปลาส
การแปลงลาปลาสและลักษณะสมบัติของฟังก์ชันการแปลง การประยุกต์ในการนำเสนอ วิเคราะห์ระบบ และการตอบสนองระบบ สัญญาณและระบบ

บทนำ ถึงแม้ว่าการแปลงฟูเรียร์จะสามารถนำมาใช้ในการศึกษาผลการตอบสนองของระบบผ่านทฤษฏีการประสาน แต่เนื่องจากสัญญาณทางวิศวกรรมหลาย ๆ สัญญาณไม่สามารถแปลงฟูเรียร์ได้หรือได้โดยง่ายเช่น exp[at]u(t), a>0, exp[-at], - < x< + จึงมีการพัฒนาการแปลงที่ขยายขอบเขตไปจากการแปลงฟูเรียร์ อย่างหนึ่งคือ การแปลง ลาปลาส สัญญาณและระบบ

บทนำ Pierre Simon de Laplace : ใช้ Integral transform ในงานทางด้านทฤษฎีความน่าจะเป็น S.D. Poisson( ) : ใช้ Integral transform ในงานทางด้าน กลศาสตร์ และวิศวกรรมเครื่องกล ในยุคเดียวกับ Fourier Oliver Heaviside : ใช้ Laplace transform ในงานทางด้านแก้สมการเชิงอนุพันธ์และทางด้านวิศวกรรมไฟฟ้า สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส VS การแปลงฟูเรียร์
ขยายขอบเขตการแปลงของฟังก์ชันที่ใช้ทางวิศวกรรมจากการแปลงฟูเรียร์ รูปแบบหลังการแปลงลาปลาสซับซ้อนน้อยกว่าการแปลงฟูเรียร์ สามารถใส่เงื่อนไขเริ่มต้นในขั้นตอนการแปลงลาปลาสเมื่อใช้ในการศึกษาการตอบสนองระบบ(แก้สมการเชิงอนุพันธ์) ศึกษาสมรรถนะของระบบด้วยการตีความตำแหน่งของโพลส์และซีโรส์ในระนาบเชิงซ้อนของฟังก์ชันถ่ายโอนในโดเมนลาปลาส สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์ การแปลงลาปลาส
การแปลงฟูเรียร์ การแปลงลาปลาส มีฟังก์ชัน a(t) เป็นผลคูณของ e-t กับ x(t) สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์-> การแปลงลาปลาส
สัญญาณและระบบ

การแปลงฟูเรียร์-> การแปลงลาปลาส
ให้ s =  + j เป็นเทอมของความถี่เชิงซ้อน และ d=(1/j)ds สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส x(t)X(S) คู่การแปลงฟูเรียร์เชิงซ้อนหรือการแปลงลาปลาส
Analysis formula Synthesis formula x(t)X(S) คู่การแปลงฟูเรียร์เชิงซ้อนหรือการแปลงลาปลาส สองด้าน (two sided (bilateral) Laplace transform)  อยู่ใน Region Of Convegence (ROC) สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส X(s)= L{x(t)} x(t)=L-1{X(s)}
หากฟังก์ชัน x(t) = 0 เมื่อ t< 0 จะได้การแปลงลาปลาสด้านเดียว (One sided (unilateral) Laplace transform) X(s)= L{x(t)} x(t)=L-1{X(s)} สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส VS การแปลงฟูเรียร์
สัญญาณ x(t) X(s) X() 1 1 อิมพัลส์ (t) ขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t) 1/s ()+1/j  แรมป์หนึ่งหน่วย tu(t) 1/s2 j’()+1/ 2 t ยกกำลัง n tn n!/sn+1 2(j)n(n)() เอ็กโปเนนเชียล e-atu(t) 1/(s+a) 1/(j+a) ซายน์ sin0tu(t)  0/(s2+ 02) โคซายน์ cos0tu(t) s/(s2+ 02) สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ทำได้ 2 วิธี 1. ใช้สมการการแปลงโดยตรง
2. เปลี่ยนฟังก์ชันให้อยู่ในของฟังก์ชันพื้นฐานที่มีผลการแปลงอยู่แล้วจากนั้นใช้ลักษณะสมบัติของการแปลงหาผลการแปลงโดยรวมออกมา สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง แปลงลาปลาสฟังก์ชั่น x1(t) สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ลักษณะที่ต่างจากการแปลงฟูเรียร์ อนุพันธ์ในแกนเวลา
L L ใช้ในการวิเคราะห์ระบบที่มีพลังงานสะสมอยู่เดิม สัญญาณและระบบ

การแปลงลาปลาส ลักษณะที่ต่างจากการแปลงฟูเรียร์
initial & final value theorem ใช้ในการหาค่าขอบเขตโดยไม่ต้องแปลงลาปลาสผกผัน สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงลาปลาส
สัญญาณ การแปลงลาปลาส เชิงเส้น a1x1(t)+ a2x2(t) a1X1(s)+ a2X2(s) การสเกล a>0 x(at) (1/a)X(s/a) หน่วงเวลา u(t-)x(t-) e-stX(s) คูญด้วยเอ็กโปเนนเชียล e-atx(t) X(s+a) อนุพันธ์ dx(t)/d(t) sX(s)-x(0) ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย สัญญาณและระบบ

ลักษณะสมบัติของการแปลงลาปลาส
การประสาน (Convolution) ถ้า สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง การประสาน จงหาผลของการประสานของสัญญาณและระบบต่อไปนี้

การแปลงลาปลาส การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันเป็นการแมปจากโดเมน t เป็น
โดเมน s = +j t X(t)  j X(s) ระนาบ s นำเสนอเซตของสัญญาณซึ่งจะทำให้เอาท์พุทของระบบ LTI ที่กำหนดลู่เข้าหรือลู่ออก( blow up) สัญญาณและระบบ

Absolute Region of Convergence
เรียกสั้น ๆ ว่า Region of Convergence: ROC(ย่านการลู่เข้า) นิยาม การแปลงลาปลาสแบบสองทางจะลู่เข้าจากบางค่าของ Re{s}() ค่าของ s การแปลงลาปลาสแบบสองทางซึ่งให้ ROC ขึ้นอยู่กับ h(t) สัญญาณและระบบ

นิยาม j  a ROC ระนาบ s สัญญาณและระบบ

กรณีระบบเป็น causal เช่น สัญญาณและระบบ

ถ้า เนื่องจากเทอม เป็นสัญญาณซายน์ กำหนดว่า H(s)เข้าสู่อนันต์หรือไม่ เทอม เป็น ลบ หรือ 0 เทอม มีกำลังเป็นบวกระบบไม่ลู่เข้า สัญญาณและระบบ

เงื่อนไขการลู่เข้า Causal Convergence Anti causal Convergence

Graphical ROC ตัวอย่าง นั่นคือ X(s) จะหาค่าได้ถ้า Re{s} > -a j ROC
 -a ROC ระนาบ s นั่นคือ X(s) จะหาค่าได้ถ้า Re{s} > -a สัญญาณและระบบ

Graphical ROC ตัวอย่าง j ระนาบ s ROC -a -b  สัญญาณและระบบ

กรณี X(s) เป็นฟังก์ชันเศษส่วน = N(s)/D(s) X(s) จะไม่ลู่เข้าที่ค่า s ซึ่งทำให้ D(s) เป็น ศูนย์ (โพลส์ ของ X(s)) ROCของ ฟังก์ชันเศษส่วน ต้องไม่มีโพลส์ ปรากฏอยู่ ตัวอย่าง j ระนาบ s ROC -2 1  ROC-> -2< Re{s}<1 สัญญาณและระบบ

การประยุกต์ในการวิเคราะห์ระบบ
ระบบLTI สัญญาณและระบบ

การวิเคราะห์ระบบ การตอบสนองของระบบLTI (system solution)
แก้สมการอนุพันธ์ของระบบ ประสานในโดเมนเวลาระหว่างผลตอบสนองอิมพัลส์กับสัญญาณอินพุท คูณในโดเมนความถี่ระหว่างฟังก์ชันระบบกับสัญญาณอินพุท สัญญาณและระบบ

การประยุกต์การแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบ
แปลงลาปลาสของสมการอนุพันธ์ของระบบได้เป็นสมการพีชคณิต แก้สมการพีชคณิตแล้วแปลงผกผันคำตอบกลับมาในโดเมนเวลา ก.ไม่มีประจุตกค้าง ข. เมื่อเริ่มแรงดัน คล่อม C1,C2เป็น 5 และ 10โวลต์ ตัวอย่าง vx R1 R2 10v 1M 2M vi c1 c2 vo 0 t  1, 10sint 2F 1F = 0 otherwise สัญญาณและระบบ

เฉลย สมการของระบบ เอาต์พุทใน s โดเมน เอาต์พุทใน t โดเมน สัญญาณและระบบ

แบบจำลอง LTI เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
H(p) เรียก Operational System Function สัญญาณและระบบ

แทน p ด้วย s ได้ฟังก์ชันโอนย้าย (Transfer function):H(s) : Rational Laplace Transform สัญญาณและระบบ

ทำ partial fraction แล้วอาจจะอยู่ในรูปแบบ ลำดับที่หนึ่ง ลำดับที่สอง สัญญาณและระบบ

ทำ partial fraction แล้วอาจจะอยู่ในรูปแบบ ลำดับสูง สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย
สัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s ผลการตอบสนองลำดับแรก (First order response) สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response) n เป็น undamped natural frequency  เป็น damping factor สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วยของระบบลำดับสอง
ค่ายกกำลังสองความถี่ธรรมชาติของระบบ  = ค่าdamping factor ของระบบ สัญญาณและระบบ

ผลการตอบสนองลำดับที่สอง (Second order response)
ฟังก์ชันโอนย้าย สัญญาณและระบบ

รากขึ้นอยู่กับค่าของ   >1 รากจำนวนจริงไม่เท่ากันสองราก  =1 รากจำนวนจริงเท่ากันสองราก  <1 รากจำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากันสองราก สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 1 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  >1 Overdamp response สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 1 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s 2n =s1s2 สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  =1 Critical response สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 2 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s แทน s=0 และ s = - n A=1, C= - n, B = -1 สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 3 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  <1 Underdamp response สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 3 ตอบสนองสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหน่วย u(t)1/s  <1, s เป็นจำนวนเชิงซ้อน A = 1, B = -1, C = -2 n สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 3 สัญญาณและระบบ

<1;underdamped >1 =1 สัญญาณและระบบ

<1;underdamped = 0.1 = 0.3 = 0.5 สัญญาณและระบบ

การนำเสนอในระนาบเชิงซ้อน
ฟังก์ชันโอนย้ายใน s โดเมน Proper Rational Laplace Transform ของฟังก์ชัน สัญญาณและระบบ

โพลส์(poles)และซีโรส์(zeros)
Zmเป็นรากของ sm+bm-1sm-1+…..b0= 0 Zmเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน Zmเป็นซีโรส์(zeros)ของ H(s) Pnเป็นรากของ sn+an-1sn-1+…..a0= 0 Pnเป็นโพลส์(poles) ของ H(s) สัญญาณและระบบ

การนำเสนอโพลส์และซีโรส์บนระนาบเชิงซ้อน
ส่วนจินตภาพของ s ตัวอย่าง j1 X -2 -1 ส่วนจริงของ s X -j1 ซีโรส์ของ H(s) X โพลส์ของ H(s) สัญญาณและระบบ

การตีความตำแหน่งของโพลส์และซีโรส์
ตำแหน่งของโพลส์บนระนาบเชิงซ้อนแสดงถึงการตอบสนองในแกนเวลาของระบบ สัญญาณและระบบ

การตอบสนองและสเถียรภาพของระบบ
เรียก ept ว่าโหมดของระบบ (mode (natural) of the system) โหมด แสดง สมบัติทางกายภาพ(ตามธรรมชาติ) ของระบบ สัญญาณและระบบ

ชนิดของระบบตามตำแหน่งของโพลส์
ทุกโพลส์มี   ความถี่ธรรมชาติค่อย ๆ ลดลง เรียกทรานเชียนส์ การตอบสนองจากภายนอกจะเห็นเด่นชัดกับผลตอบสนองของระบบระบบเสถียร มีโพลส์หนึ่งซึ่งมี    ความถี่ธรรมชาติไม่ลดลงระบบออสซิเลตคลื่นรูปซายน์ระบบระบบเกือบเสถียร ทุกโพลส์มี   ความถี่ธรรมชาติค่อย ๆ เพิ่มอย่างเอ็กโปเนนเชียล การตอบสนองจากภายนอกจะไม่มีกับผลตอบสนองของระบบระบบไม่เสถียร เช่นเดียวกับเกิดโพลส์ซ้ำบนแกนจินตภาพ    สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 1 โพลส์อยู่บนแกนค่าจริงของระนาบ s = a ได้โหมดเป็น eat t0 X  j สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 2-3 โพลส์เป็นค่าเชิงซ้อนสังยุกต์บนระนาบ c(t) P = +j สัญญาณและระบบ

กรณีที่ 2-3 j X X X X X  X X X X X เสถียร ไม่เสถียร สัญญาณและระบบ

BIBO stability เงื่อนไขที่จำเป็นและพอเพียง
H(s) จะเสถียรแบบ BIBO ถ้าทุกโพลอยู่บนระนาบด้านซ้ายมือ ตัวอย่าง...... สัญญาณและระบบ

Laplace Domain Phasor สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง การตอบสนองของระบบลำดับที่สอง
ตำแหน่งของโพลส์ สัญญาณและระบบ

การตอบสนองของระบบลำดับที่สอง
X  j n n  สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบ
ด้วยการแทน s = j ในฟังก์ชันโอนย้าย นั่นคือหาค่า H(s)ตามแกน จินตภาพ สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบ
ระบบลำดับที่หนึ่ง สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่หนึ่ง
s = j L X  -1/T สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่หนึ่ง
 1 -900   สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่สอง
มีโพลส์อยู่ที่ สัญญาณและระบบ

การตอบสนองความถี่ของระบบลำดับที่สอง
j X L2 L1 j L1 2 X L2 1 สัญญาณและระบบ

แผนภาพองค์ประกอบพื้นฐานของระบบ
ตัวดำเนินการบวก ลบ y(t) y(t) Ky(t) y(t) K อินทีเกรเตอร์ ดิฟเฟอเรนทิเอเตอร์ ตัวคูณทางขนาด สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบ
ระบบLTI สัญญาณและระบบ

แทน ด้วยตัวดำเนินการอนุพันธ์ Dn และ M=N คูณด้วย D-N สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบตามฟังก์ชันลาปลาส
แผนภาพของระบบลำดับที่ n (Direct form) แผนภาพของระบบลำดับที่ n (Monolithic form) สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมของระบบในรูปแบบฟังก์ชันลาปลาส
แปลงลาปลาส สัญญาณและระบบ

ฟังก์ชันโอนย้าย H(s) ประมาณว่า M=N สัญญาณและระบบ

y(t) อินทีเกรเตอร์ y(t) ดิฟเฟอเรนทิเอเตอร์ สัญญาณและระบบ

Y(s) X(s) an + + + + an-1 -bn-1 + + -b1 a1 -b0 a0 Direct form สัญญาณและระบบ

Y(s) X(s) + an + + + -bn-1 an-1 + + -b1 a1 -b0 a0 Monolithic form สัญญาณและระบบ

ฟังก์ชันถ่ายโอน H(s) สัญญาณและระบบ

หรือ สัญญาณและระบบ

Y(s) X(s) a0 + + + + a1 -b1 + + -bn-1 an-1 -bn an Direct form สัญญาณและระบบ

Y(s) X(s) + a0 + + + -b1 a1 + + -bn-1 an-1 -bn an Monolithic form สัญญาณและระบบ

ตัวอย่าง จงเขียนไดอะแกรมแบบจำลองของระบบซึ่งมีฟังก์ชันโอนย้ายเป็น สัญญาณและระบบ

ไดอะแกรมแบบจำลองของระบบซึ่งมีระบบย่อย 3 แบบ Cascade Parallel Feedback สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบCascade
Y1(s) X(s) Y(s) สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Parallel
Y(s) X(s) + สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Feedback
e(t) + x(t) y(t) สัญญาณและระบบ

ระบบซึ่งมีระบบย่อยแบบ Feedback
e(t) + x(t) y(t) - Negative Feedback สัญญาณและระบบ

สรุป การแปลงลาปลาสนำเสนอฟังก์ชันเวลาในรูป superposition ของ complex exponentials ฟังก์ชันเวลามีการแปลงลาปลาสถ้ากำหนด ROC ขึ้นมาได้ การแปลงลาปลาสของผลบวกของฟังก์ชันเวลาแบบ causal และ anti-causal จะเกิดใน ROC เป็นแถบขนานกับแกน j ในระนาบ s ใน ROC จะไม่มี โพลส์อยู่ โพลส์คือตำแหน่งในโดเมนลาปลาสซึ่งไม่มีการแปลงลาปลาส ซีโรส์ตำแหน่งในโดเมนลาปลาสซึ่งการแปลงลาปลาสเป็นศูนย์ สัญญาณและระบบ

สรุป การแปลงลาปลาสมีสมบัติเหมือนกับการแปลงฟูเรียส์ยกเว้นกรณีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเวลา กับ initial & final value theorem การแปลงลาปลาสทำได้โดยการอินทีเกรตโดยตรงหรือใช้สมบัติของการแปลง การแปลงลาปลาสผกผันมักใช้การทำ Partial Fraction ของฟังก์ชันลาปลาสแล้วเทียบกับการแปลงลาปลาสฟังก์ชันพื้นฐาน การแปลงลาปลาสผกผันยังทำได้โดยใช้ วิธีอนุกรม อินทีเกรตโดยใช้ทฤษฏี residue สัญญาณและระบบ

สรุป บล็อกไดอะแกรมของระบบเขียนในเทอมลาปลาสโดยเปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ให้อญุ่ในเทอมลาปลาส การวิเคราะห์สเถียรภาพของระบบทำได้โดยสังเกตตำแหน่งของโพลส์ในโดเมนลาปลาสที่เป็น Isolated Singular Points การสังเกตตำแหน่งของโพลส์(และซีโรส์)ดูได้จาก Proper Rational Laplace Transform ของฟังก์ชัน ตำแหน่งของโพลส์จะอยู่นอก ROC เสมอ ผลตอบสนองความถี่ของระบบสามารถหาได้จากตำแหน่งโพลส์-ซีโรส์โดยวิธีกราฟฟิกส์ สัญญาณและระบบ

สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

งานนำเสนอเรื่อง: "สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

เรื่องโครงการ

การติดต่อกลับ

เข้าสู่ระบบ

ลงทะเบียนผ่านเครือข่ายสังคม:

สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

งานนำเสนอเรื่อง: "สัญญาณและระบบ (SIGNALS AND SYSTEMS)"— ใบสำเนางานนำเสนอ:

งานนำเสนอที่คล้ายกัน

เรื่องโครงการ

การติดต่อกลับ