โครงสร้างข้อมูลแบบลิงก์ลิสต์ อาจารย์ พิศิษฐ์ นาคใจ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุตรดิตถ์

ลำดับเลขคณิต ลำดับเลขคณิต คือ ฟังก์ชันที่นิยามบนเซตของจำนวนเต็มบวก ตัวเลขในลำดับแต่ละตัวเรียกว่า “พจน์ (term)” หรือเราสามารถนิยามได้ว่า ลำดับ คือ เซตของจำนวนที่เรียงเป็น a1,a2,a3, ... โดยมีการเรียงที่เป็นแบบแผนขั้นตอน เลขที่ห้อยอยู่บอกถึงตำแหน่งของเลขในลำดับนั้น

ตัวอย่างเช่น 1, 3, 5, 7, … เลขลำดับที่ 1 คือ 1, ลำดับที่ 2 คือ 3, ลำดับที่ 3 คือ 5, . . ., แล้วสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (an) คือ 2n-1 2, 4, 6, 8, … เลขลำดับที่ 1 คือ 2, ลำดับที่ 2 คือ 4, ลำดับที่ 3 คือ 6, . . ., แล้วสามารถหารูปแบบได้ว่า ลำดับที่ nth (an) คือ 2n

ลำดับเลขคณิต ลำดับเลขคณิต จะมีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n+1 กับ n จะมีค่าคงตัว ค่านี้เรียกว่า ผลต่างรวม เขียนแทนด้วย d ให้ a1,a2,a3,… เป็นลำดับเลขคณิต ผลต่างระหว่างพจน์ที่ n+1 กับ n มีค่า d d = a2 – a1 , a3- a2 , a4 – a3

ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับ -5, -1, 3, 7, 11, … ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับ -5, -1, 3, 7, 11, …. วิธีทำ an = a1 + (n-1)d จากโจทย์ a1 = -5 ,n = 15, d = -1-(-5) a15 = -5 + (15-1)(4) = -5 + (14x4) = -5 + 56 = 51

โจทย์ กำหนดลำดับเลขคณิต พจน์ที่ 5 คือ 29 พจน์ที่ 51 คือ 397 จงหาพจน์ที่ 1 ถึง 4 โจทย์ กำหนดลำดับเลขคณิต พจน์ที่ 10 คือ -28 พจน์ที่ 12 คือ -50 จงหาพจน์ที่ 6 ถึง 9 โจทย์ จงหาพจน์ที่ 20 ของลำดับ -13, -9, -5, -1, 3, …

ลำดับหลายชั้น ลำดับหลายชั้น เป็นลำดับอนุกรม มีค่าความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่มีลักษณะเป็นเลขอนุกรมด้วย เช่น

ลำดับเว้นระยะ ลำดับเว้นระยะ เป็น ลำดับที่มีลำดับเลขคณิตประกอบเข้าด้วยกันมากกว่า 1 ลำดับ อยู่ภายในลำดับเดียวกันเช่น

แบบฝึกหัด จงหาลำดับของจำนวนถัดไปอีก 4 พจน์ 5, -10, 20, -40, ….. , …… จงหาลำดับของจำนวนถัดไปอีก 4 พจน์ 108, 43, 100, 39, 92, …. , …. จงหาลำดับของจำนวนถัดไปอีก 4 พจน์ 25, 29, 13, 49, … , …

อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต ซึ่งมีผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย ให้ เป็นลำดับเลขคณิต จะเป็นอนุกรมเลขคณิต a1+a2+a3+a4+a5+an โดยให้ S เป็นผลรวมของลำดับเลขคณิต Sn = a1+a2+a3+a4+a5+an สูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                . อนุกรมเลขคณิต การหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต เราสามารถเขียนอยู่ใน สัญลักษณ์ ได้โดยใช้สัญลักษณ์ SUM ดังนี้ มีความหมายว่า เป็นผลรวมของ อนุกรม an ตั้งแต่พจน์ที่ 0 จนถึง อนันต์ upper limit Index of summation lower limit

ตัวอย่าง จงเขียนสัญลักษณ์ summation 100 พจน์แรก ของลำดับ an = 1/n สำหรับ n = 1,2,3 วิธีทำ lower limit = 1 upper limit = 100

จงหาผลรวมของ จงหาค่าของ note

อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิต ( Geometric Series ) คือ อนุกรมที่เกิดจากผลบวกของลำดับเรขาคณิต ทีมีอัตราส่วนร่วม = r ใช้สัญลักษณ์ sn แทนผลบวกของ n เขียนแทนเป็น ตัวอย่าง 1 พิจารณา ลำดับ 1 , 3 , 9 , 27 , ………, 6561 พบว่าเป็นลำดับเรขาคณิตที่มี อัตราส่วนร่วมเป็น 3

การหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตข้างต้นทำได้ดังนี้ ให้ S n = 1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 …………..(1) 3 Sn = 3 (1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 ) 3 Sn = 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 + 19,683 ………..(2) (2) - ( 1) 2 S n = 19,683 - 1 2 S n = 19,682 S n = 9,841 ดังนั้น 1 + 3 + 9 + 27 + …………+ 6,561 = 9,841

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตโดยใช้สูตร a 1 + a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 ได้ดังนี้ Sn = a 1 + a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 ……. (3) r Sn = a1r + a1r2 + a1r 3 + …………….+ a1r n –1 + a1rn …..(4) (4) – (3) rSn - Sn = a1rn - a1 Sn ( r – 1 ) = a1rn - a1 Sn =

= ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + 8 +……. วิธีทำ อนุกรมที่กำหนดให้มี a 1 = 1 , r = 2 , n = 8 จาก Sn = Sn = = ดังนั้นผลบวกแปดพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตคือ 255

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต วิธีทำ อนุกรมที่กำหนดให้มี a1 = Sn = Sn =

แบบฝึกหัด จงหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต 2 + 4 + 8 + .... + 2048

Double Summation หมายถึงการที่มีลำดับอนุกรมมากกว่า 2 อนุกรมซ้อนกันอยู่เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ของ summation ได้ดังนี้ ตัวอย่าง

การหาผลบวก โดยไม่ขึ้นกับ Index เราสามารถหาผลของการบวกของ Function บาง Index of summation ได้ โดยทำการเขียน index of summation ให้อยู่ในรูปของเซต ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ ตัวอย่าง ทำการหาค่าของ ผลบวก

Closed Form SUM Closed Form

แบบฝึกหัด จงหาค่าของ กำหนดให้ จงหาค่าของ และ

กิจกรรมกลุ่มละ 3 คน เขียนด้วยภาษาใดก็ได้ จงเขียนโปรแกรมเพื่อหาผลของ โดยใช้ Loop ห้ามใช้ Form ปิด จงเขียนโปรแกรมเพื่อหาผลของ โดยใช้ Loop ห้ามใช้ Form ปิด จงเขียนโปรแกรมเพื่อหาค่าของ โดยใช้ Loop ห้ามใช้ Form ปิด นำรหัสนักศึกษารวมกันทุกคน หากได้เลข คู่ ทำเฉพาะข้อที่เป็นคู่ หากได้คี่ทำเฉพาะที่เป็นเลขคี่