นางสาวปัทมาภรณ์ บุญมาดี คุณครูนวลทิพย์ นวพันธุ์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดย นางสาวปัทมาภรณ์ บุญมาดี เสนอ คุณครูนวลทิพย์ นวพันธุ์
. มุม (angle) เรียกจุด B ว่าจุดยอด (vertex)ของมุม C เรียกจุด B ว่าจุดยอด (vertex)ของมุม รังสี BA เรียกว่า ด้านเริ่มต้น (initial side) รังสี BC เรียกว่า ด้านสิ้นสุด (terminal side) ถ้าหมุนรังสี BA รอบจุด B ไปอยู่ในแนวของรังสี BC แล้วจะเกิดมุม
มุมเป็นบวก มุมเป็นลบ (ตามเข็มนาฬิกา) (ทวนเข็มนาฬิกา) . A B C มุมในตำแหน่งมาตรฐาน (Standard position) คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (0,0) และด้านเริ่มต้นทับแกน x ทางด้านบวก x y . o
. . . x y o x y o x y o ควอดแรนท์ หรือ จตุภาค o มุม อยู่ในควอดแรนท์ที่ 2 x y . o มุม อยู่ในควอดแรนท์ที่3 x y . o มุม อยู่ในควอดแรนท์ที่ 4 , < 0 ควอดแรนท์ หรือ จตุภาค quadrant =
ถ้า มุม และ มีด้านเริ่มต้นและด้านสิ้นสุดเหมือนกันแล้ว จะเรียกมุมทั้งสองว่า มุมร่วมแขนคู่(coterminal angles) ถ้า มุม และ มีผลบวกเท่ากับ 90 แล้ว จะเรียกมุมทั้งสองว่า มุมประกอบมุมฉาก(complementary angles) ถ้า มุม และ มีผลบวกเท่ากับ 180 แล้ว จะเรียกมุมทั้งสองว่า มุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles)
หน่วยของการวัดมุม 1. องศา () มุมที่เกิดจาการหมุนด้านเริ่มต้นรอบจุดยอดในทิศทวนเข็มนาฬิกาไปจนกระทั่งกลับมาทับกับด้านเริ่มต้น(หมุนครบหนึ่งรอบ) เท่ากับ 360 1 (องศา) = 60 (ลิบดา) 1 (ลิบดา) = 60 (ฟิลิบดา) 1 (องศา) = 3600 (ฟิลิบดา)
2. เรเดียน (radian) 1 เรเดียน คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม ความยาวส่วนโค้งของวงกลม ถ้า 1=1 แล้ว s1= r และ หรือ
มุมที่จุดศูนย์กลาง( ) ของวงกลมรัศมี r ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาว s จะมีขนาดเท่ากับ
มุมที่เกิดจากการหมุนของรัศมีไปครบหนึ่งรอบ = เรเดียน ( = อัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม) 3.1416
การแปลงระหว่างมุมในหน่วยองศาและมุมในหน่วยเรเดียน 360 (องศา) มีค่าเท่ากับ 2 เรเดียน ดังนั้น 1 องศา มีค่าเท่ากับ เรเดียน เรเดียน y เรเดียน องศา
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(0,0) และมีรัศมีเท่ากับหนึ่งหน่วย วงกลมหนึ่งหน่วย วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(0,0) และมีรัศมีเท่ากับหนึ่งหน่วย x o (x,y) (-1,0) (1,0) (0,1) (0,-1) 1
x y o (x,y) (-1,0) (1,0) (0,1) (0,-1) (+,+) (-,+) (+,-) (-,-)
พิกัดของจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว x y o P(x,y) A(1,0) B(0,1) b a
พิกัดของจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว y o P(x,y) A(1,0) P(-x,y) b a x
พิกัดของจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว y o P(x,y) b a B(0,1) P(x,-y) x
P(x,y) (1,0) (0,1) (-1,0) (0,-1)
ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ให้ (x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยที่ยาว || หน่วย ที่วัดจากจุด (1,0) และ ให้ f:ℝ→ℝ และ g:ℝ→ℝ โดยที่ สำหรับแต่ละจำนวนจริง นิยามให้ f()=x และ g()=y เรียกฟังก์ชัน f ว่า ฟังก์ชันโคไซน์ (cosine) และแทน f ด้วย cos เรียกฟังก์ชัน g ว่า ฟังก์ชันไซน์ (sine) และแทน g ด้วย sin x=cos() และ y=sin()
โดเมนของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง เรนจ์ของสองฟังก์ชันคือ เซตของจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง[-1,1] และ x=cos() , y=sin() จาก ดังนั้นได้ หรือ
x y o (x,y) (-1,0) (1,0) (0,1) (0,-1)
(เรเดียน) (องศา) P(x,y) cos sin 0 (1,0) 1 90 (0,1) 180 (-1,0) 0 (1,0) 1 90 (0,1) 180 (-1,0) -1 270 (0,-1) 360 45 60 30
x o 2 y
ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของจำนวนจริงใดๆ x y o
y x o
(เรเดียน) (องศา) cos sin 60 120 240 300
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ฟังก์ชันแทนเจนต์(tangent) เขียนแทนด้วย tan ฟังก์ชันซีแคนต์(secant) เขียนแทนด้วย sec ฟังก์ชันโคซีแคนต์(cosecant) เขียนแทนด้วย csc ฟังก์ชันโคแทนเจนต์(cotangent) เขียนแทนด้วย cot
สำหรับจำนวนจริง ใดๆ นิยามให้ เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ
ฟังก์ชัน โดเมน เรจน์ ไซน์ ℝ [-1,1] โคไซน์ แทนเจนต์ ซีแคนต์ ℝ-(-1,1) โคซีแคนต์ โคแทนเจนต์
สำหรับ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ จำนวนรอบของการวัดมุม y x o n>0 วัดมุมในทิศทวนเข็มนาฬิกา n<0 วัดมุมในทิศทวนเข็มนาฬิกา
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก b a c y x o A B C D E 1 และ และ
c=ด้านตรงข้ามมุมฉาก a=ด้านตรงข้ามมุม b= ด้านประชิดมุม ด้านตรงข้ามมุม
สามเหลี่ยม 2 รูปจะคล้ายกัน ถ้ามุมที่สมนัยกันเท่ากันทั้ง 3 มุม B A C b a c สามเหลี่ยม 2 รูปจะคล้ายกัน ถ้ามุมที่สมนัยกันเท่ากันทั้ง 3 มุม อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากัน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ ให้ P(x,y) เป็นจุดใดบนด้านสิ้นสุดของมุม ในตำแหน่งมาตรฐาน y x o P(x,y) r y x o A P(x,y) C r
เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม y x o (1,0)
y x o (1,0)