Lab 2: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ ENE 206 MATLAB Laboratory Lab 2: การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์

การใช้ MATLAB สำหรับการสร้างแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ การจำลอง (Simulation) คือกระบวนการของการสร้างและวิเคราะห์ผลลัพธ์ของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ที่ใช้บรรยายกระบวนการทำงานของระบบที่เราสนใจศึกษา โดยส่วนใหญ่ การสร้างโปรแกรมการจำลองในทางวิศวกรรมอาศัยการใช้ โอเปอร์เรเตอร์ทางตรรกะ (logical operators) และชุดคำสั่งวนซ้ำ (loops)

ตัวอย่างแบบจำลองทางวิศวกรรม แบบจำลองจำนวนนักศึกษาเข้าเรียนในมหาวิทยาลัย (College enrollment model) มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งต้องการวิเคราะห์ผลของการรับนักศึกษาเข้าเรียน (admissions) และการซ้ำชั้นของนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่ง (freshman retention rate) ต่อจำนวนนักศึกษาเข้าเรียนของมหาวิทยาลัย เพื่อที่จะนำมาใช้ในการทำนายความต้องการที่จะรับอาจารย์ และการเตรียมครุภัณฑ์อื่น ๆ เพิ่มเติมในอนาคต ดังนั้น เพื่อการวิเคราะห์ผลดังกล่าว มหาวิทยาลัยจึงได้มีการทำการศึกษาเพื่อประเมินเปอร์เซนต์ของจำนวนนักศึกษาที่ต้องซ้ำชั้น (repeating) และนักศึกษาที่พ้นสภาพก่อนการจบการศึกษา (leaving school before graduating) ในแต่ละปี และนำมาใช้ในการสร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์แบบจำลอง ด้วยสมการเมตริกซ์ดังต่อไปนี้

สร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลอง สมมติให้ จำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งในปัจจุบันเป็น 500 คน และมหาวิทยาลัยตัดสินใจรับนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่ง 1000 คนต่อปี ในปีต่อ ๆ ไป และมหาวิทยาลัยประเมินว่าจะมีนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งซ้ำชั้น 10 เปอร์เซนต์ ดังนั้นในแต่ละปีถัดไป จำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่ง จะสามารถคำนวณได้เป็น 0.1×(500) + 1000 = 1050 0.1×(1050) + 1000 = 1150 ดังนั้นให้ x1(k) เป็นจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งในปีการศึกษาที่ k โดยที่ k = 1, 2, 3, 4, … ดังนั้นในปีที่ k+1 จำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งจะเป็น x1(k+1) = 0.1 x1(k) + 1000

แบบจำลองสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 2 ในทำนองเดียวกัน ให้ x2(k) เป็นจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่สองในปีการศึกษาที่ k และสมมติให้มี 15 เปอร์เซนต์ของนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งลาออกจากมหาวิทยาลัย และ 5 เปอร์เซนต์ของนักศึกษาชั้นปีที่สองต้องซ้ำชั้น ในขณะที่มหาวิทยาลัยยังรับนักศึกษาชั้นปีที่สองที่โอนย้ายมาจากสถาบันอื่นอีก 200 คนต่อปี ดังนั้นในปี k+1 จำนวนนักศึกษาชั้นปีที่สองทั้งหมดคิดเป็น x2(k+1) = 0.75 x1(k) + 0.05 x2(k) + 200 จะเห็นได้ว่าในการที่จะรู้จำนวนนักศึกษาชั้นปีที่สองในปีถัด ๆ ไป จะต้องทราบจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งเสียก่อน ซึ่งเราสามารถหาค่าจำนวนดังกล่าวพร้อม ๆ กันได้ใน MATLAB

แบบจำลองสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 3 และ 4 ในทำนองเดียวกัน สมมติให้ x3(k) และ x4(k) คือจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่สามและสี่ในปีที่ k และสมมติให้ 5 เปอร์เซนต์ของนักเรียนชั้นปีที่สองและสามลาออกจากมหาวิทยาลัยในแต่ละปี รวมถึง 5 เปอร์เซนต์ของนักเรียนชั้นปีที่สามและสี่ต้องซ้ำชั้นในแต่ละปี ดังนั้นโมเดลจำลองนักศึกษาชั้นปีที่สามและสี่ คิดเป็น x3(k+1) = 0.90 x2(k) + 0.05 x3(k) x4(k+1) = 0.90 x3(k) + 0.05 x4(k)

แบบจำลองด้วยสมการสภาวะ (State Equation) จะเห็นได้ว่าหากเราทราบจำนวนนักศึกษาในแต่ละชั้นปีเมื่อปีเริ่มต้น เราสามารถหาจำนวนนักศึกษาแต่ละชั้นปีการศึกษาในแต่ละปีได้จากการใช้สมการแบบจำลองโมเดลการวิเคราะห์จำนวนนักศึกษาทั้ง 4 สมการที่สร้างขึ้นในรูปแบบวนซ้ำ (loop) ตามจำนวนปีที่ต้องการ อย่างไรก็ดี หากจัดรูปสมการจำนวนนักศึกษาแต่ละชั้นปีใหม่เป็น ซึ่งเรียกสมการเมตริกซ์นี้ว่า สมการสภาวะ (State Equation) ซึ่งสามารถนำไปใช้คำนวณในรูปแบบวนซ้ำเช่นเดียวกัน

การวิเคราะห์แบบทั่วไป (Generalized Model) สำหรับการวิเคราะห์ปัญหานี้แบบทั่วไปกระทำได้โดยสมมติให้ a(k) เป็นจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่งที่ได้รับการตอบรับเข้าเรียนในปีที่ k และ d(k) เป็นจำนวนนักศึกษาที่โอนย้ายเข้ามาศึกษาในปีที่สอง ทั้งนี้ให้เปอร์เซนต์นักศึกษาที่เข้าเรียนในแต่ละปีและนักศึกษาที่ซ้ำชั้นเขียนอยู่ในรูปตัวแปร cij(k) ดังนั้นสมการสภาวะทั่วไปจะเป็น หรือ

แผนภาพการถ่ายเทสภาวะ (state transition diagram) Sophomore Transfers New Admissions a(k) d(k) c21 c32 c43 x1(k) x2(k) x3(k) x4(k) Freshmen Sophomores Juniors Seniors c11 c22 c33 c44

แบบฝึกหัด สมมติให้มหาวิทยาลัยมีจำนวนนักศึกษาตั้งต้น 1480 คน โดยประกอบไปด้วยนักศึกษาชั้นปีที่ 1 – 4 เท่ากับ 500, 400, 300, และ 280 คนตามลำดับ จงใช้แบบจำลองเพื่อวิเคราะห์ผลของการเพิ่มอัตราการรับนักศึกษาปีที่หนึ่งเป็นจำนวน 100 คน และอัตราการรับนักศึกษาโอนย้ายปีที่สองเพิ่มขึ้น 50 คนในแต่ละปี เป็นเวลาทั้งสิ้น 10 ปี โดยอัตราการรับนักศึกษาปีที่หนึ่ง และนักศึกษาโอนย้ายปีที่สองจะมีค่าคงที่ในปีที่จำนวนนักศึกษารวมของมหาวิทยาลัยมีค่าเท่ากับ 4000 คน จงแสดงผลการวิเคราะห์โดยการแสดงกราฟจำนวนนักศึกษาแต่ละชั้นปี ในแต่ละปี (แสดงไว้บนกราฟเดียวกัน) และสรุปว่า ณ ปีใดที่อัตราการรับนักศึกษาชั้นปีที่หนึ่ง และนักศึกษาโอนย้ายปีที่สองมีค่าคงที่ โดยมีค่าเท่ากับเท่าใด

ผลที่คาดว่าจะได้รับ