Data representation (การแทนข้อมูล) ระบบตัวเลขและการแปลงเลขฐาน (Number System and Conversion) ระบบตัวเลข (Number System) ฐาน (Base or radix) - ค่าที่จะบอกให้ทราบว่าเลข ในระบบนั้นๆ จะมีสัญลักษณ์ใช้ทั้งหมดกี่ตัว หรือ มีค่าตัวเลข โดดๆ (absolute value) กี่ตัว ระบบจำนวนที่ใช้ในทางคอมพิวเตอร์ ประกอบด้วย ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ประกอบด้วยเลข 0,1 ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ประกอบด้วยเลข 0 - 7 ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) ประกอบด้วยเลข 0 - 9 ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) ประกอบด้วย ตัว เลข 0 - 9 และ A - F

decimal - The decimal number system uses the radix 10. The 10 symbols are 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 724.5 7 x 102 + 2 x 101 + 4 x 100 + 5 x 10-1 binary - The binary system uses the radix 2. The two digits symbols used are 0 and 1. 1.) 101101 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 45

2.) การแปลง (101101)2 เป็นเลขฐานสิบ บิทซ้ายสุด คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป(2 x 1) + 0 = 2 คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป(2 x 2) + 1 = 5 คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป(2 x 5) + 1 = 11 คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป(2 x 11) + 0 = 22 คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป(2 x 22) + 1 = 45 ดังนั้น (101101)2 = (45)10

Binary Data Representation

octal - The octal system uses the radix 8. The eight symbols used are 0,1,2,3,4,5,6,7 736.4 = 7 x 82 + 3 x 81 + 6 x 80 + 4 x 8-1 = 7 x 64 + 3 x 8 + 6 x 1 + 4/8 = 478.5

hexadecimal - The hexadecimal system uses the radix 16 The 16 symbols used are 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F F3 = F x 161 + 3 x 160 = 15 x 16 + 3 x 1 = 243 เขียนเป็นสูตรได้ดังนี้

Conversion - Conversion from decimal to binary, octal, and hexadecimal Example Conversion of decimal 41.6875 into binary Integer = 41 Fraction = 0.6875 41 0.6875 x 2 = 1.3750 20 1 0.3750 x 2 = 0.7500 10 0 0.7500 x 2 = 1.5000 5 0 0.5000 x 2 = 1.0000 2 1 1 0 0 1

101001 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 41

Binary, octal, and hexadecimal conversion 1 2 7 5 4 3 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 A F 6 3 Binary, octal, and hexadecimal conversion

การคำนวณในระบบเลขฐานต่างๆ การบวกเลขฐาน เลขฐานสอง เลขฐานสิบ 1 0 1 0 . 1 10.5 1 0 1 0 . 1 + 10.5 + 1 0 1 0 1 . 0 21.0 เลขฐานแปด 1 5 . 5 1 3 . 6 2 5 1 4 . 4 + 1 2 . 5 + 3 2 . 1 2 6 . 1 2 5 เลขฐานสิบหก 8 5 7 + 5 6 B = ?

การคำนวณในระบบเลขฐานต่างๆ การลบเลขฐาน เลขฐานสอง 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 - 0 1 0 1 0 1 เลขฐานแปด 5 1 2 4 2 6 4 7 - 2 2 5 5 เลขฐานสิบหก F C 2 6 - A 4 B 8 = ?

การลบโดยใช้ Complements - r’s complement - (r - 1)’s complement การคำนวณหาค่า complements ของตัวเลขฐาน r ใดๆ สามารถหาจากสูตรดังนี้คือ

ตัวอย่าง การหา 2’s complement ของเลขฐานสอง 100110 r’s complement = rn – N 2’s complement = 26 – 38 = 64 – 38 = 26 2’s complement = (011010)2 1’s complement = rn – N – 1 = 64 – 38 – 1 = 25 1’s complement = (011001)2 ข้อสังเกตในการหา complement ของเลขฐานสองอย่างง่าย คือ เลชฐานสอง (1 0 0 1 1 0)2 1’s complement (0 1 1 0 0 1)2 2’s complement (0 1 1 0 1 0)2

ตัวอย่าง การหา complement ของเลขฐานอื่นๆ เลขฐานสิบ = 34974 9’s complement = 65025 10’s complement = 65026 เลขฐานแปด = 115 7’s complement = 662 8’s complement = 663 เลขฐานสิบหก = A719C 15’s complement = 58E63 16’s complement = 58E64

The subtraction of two n-digit unsigned numbers M - N by using r’s complement M >= N (M = 72532, N = 13250) radix 10 M = 72532 10’s complement of N = + 86750 Sum = 159282 Discard end carry 105 = - 100000 Answer = 59282

M < N (M = 13250, N = 72532) M = 13250 10’s complement of N = + 27468 Sum = 40718 There is no end carry Answer is negative 59282 (10’s complement of 40718) Example 10 - 6 = ? 6 - 10 = ?

Subtraction with binary number. Using X = 1010100 and Y = 1000011 X - Y X = 1010100 2’s complement of Y = + 0111101 Sum = 10010001 Discard end carry 2^7 = - 10000000 Answer X - Y = 0010001

Y - X Y = 1000011 2’s complement of X = + 0101100 Sum = 1101111 There is no end carry Answer is negative 0010001 (2’s complement of 1101111)

การคูณ เลขฐานแปด การหาร เลขฐานแปด 17 125 13 14 1774 55 14 17 37 245 30 74 x

Multiplication Algorithm 10111 Multiplicand 19 x 10011 Multiplier 10111 00000 + 00000 437 110110101 Product

Numerical Example for Binary Multiplier Multiplicand B = 10111 E A Q SC Multiplier in Q 0 00000 10011 101 Qn = 1 ; add B 10111 First partial product 0 10111 Shift right EAQ 0 01011 11001 100 Qn = 1 ; add B 10111 Second partial product 1 00010 Shift right EAQ 0 10001 01100 011 Qn = 0 ; shift right EAQ 0 01000 10110 010 Qn = 0 ; shift right EAQ 0 00100 01011 001 Fifth partial product 0 11011 Shift right EAQ 0 01101 10101 000 Final product in AQ = 0110110101

Integer signed numbers representation When an integer binary number is positive, the sign is represented by 0 and the magnitude by positive binary number. When the number is negative, the sign is represented by 1 and the rest of number may be represented in one of three possible ways: 1. Signed - magnitude representation 2. Signed - 1’s complement representation 3. Signed - 2’s complement representation

Example number 14 +14 0 0001110 -14 In signed - magnitude representation 1 0001110 -14 In signed - 1’s complement 1 1110001 -14 In signed - 2’s complement 1 1110010 sign bit

CPU Data Types

รหัสข้อมูล (Data Representation) หมายถึง รหัสที่ใช้แทน ตัวเลข ตัวอักษร สัญลักษณ์ต่างๆ ที่ประกอบอยู่ในคำสั่งและ ข้อมูล เพื่อใช้ในการประมวลผล สามารถแบ่งได้ 2 ประเภทคือ - รหัสภายในระบบคอมพิวเตอร์ (Internal Code) เป็นรหัสที่ใช้แทนข้อมูลในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ เช่น -รหัส BCD - Binary Code Decimal -รหัส EBCDIC - Extended Binary Coded Decimal Interchange Code - รหัส ASCII - American Standard Code for Information Interchange

- รหัส สมอ. - รหัส Unicode - รหัสภายนอกระบบคอมพิวเตอร์ (External Code) เป็นรหัสที่พัฒนาสำหรับบันทึกข้อมูลนอกเครื่องคอมพิวเตอร์ เช่นรหัสที่ใช้กับบัตรเจาะรู รหัสภายในคอมพิวเตอร์ แทนได้กับสภาวะของกระแสไฟฟ้า ตามจำนวนสายสัญญาณ เช่น ถ้ามีสายสัญญาณ 2 เส้น ก็สามารถสร้างรหัสแทนข้อมูลได้ 4 ค่า (คิดจาก 22 ) คือ

รหัสแทนข้อมูลอื่น ๆ BCD (Binary-Coded Decimal) ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Binary Gray Code Excess-3 Excess-3 Gray EBCDIC (Extended BCD Interchange Code)

CPU Data Types

The message “Hello.” in ASCII

Error Detection Codes (รหัสตรวจสอบความผิดพลาด) การส่งผ่านข้อมูลระหว่างสื่อบันทึกข้อมูลต่างๆ อาจมีข้อมูลบางส่วนผิดพลาดไป เช่น เปลี่ยนค่าจาก 1 เป็น 0 หรือ 0 เป็น 1 ซึ่งเป็นผลกระทบจากสภาพ แวดล้อมภายนอก เช่น มีสัญญาณรบกวนซึ่งสามารถ ตรวจสอบความผิดพลาดได้ โดยกำหนด bit พิเศษ ขึ้นมา 1 bit เรียกว่า parity bit bit ตรวจสอบนี้เป็น เลขฐานสอง 1 ตัว ที่ใช้ในการรวมเข้ากับกลุ่มของ เลขฐานสองที่เป็นข้อมูล เพื่อทำให้ผลรวมของตัวเลข ทั้งหมด (1 หรือ 0) เป็นจำนวนเลขคี่ (odd parity) หรือเป็นจำนวนเลขคู่ (even parity)

ตัวอย่าง Parity bit generation Message P(odd) P(even) 000 1 0 001 0 1 010 0 1 100 0 1 110 1 0 101 1 0 111 0 1

The ASCII codes for the letters A and F adjusted for odd parity

Data Types The data types may be classified as being one of the following categories: 1. numbers used in arithmetic computations 2. letters of alphabet used in data processing 3. other discrete symbols used for specific purposes All types of data, except binary numbers, are represented in computer registers in binary-coded form.

Summary Numeric data is stored using integer, real number, and floating point formats. Characters are converted to numbers by means of a coding table. Boolean vales can have only two values, true and false. Programs often need to define and manipulate data in larger and more complex units than primitive CPU data types.