หน่วยที่ 8 อนุพันธ์ย่อย (partial derivative)

ของฟังก์ชันสองตัวแปร ตอนที่ 8.1 อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปร เรื่องที่ 8.1.1 การหาอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันสองตัวแปร โดยใช้บทนิยาม

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ย่อยของ มีหลายแบบ เช่น อนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ ที่จุด แทนด้วย อนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ ที่จุด แทนด้วย

การหาอนุพันธ์ย่อยโดยใช้สูตร เรื่องที่ 8.1.2 การหาอนุพันธ์ย่อยโดยใช้สูตร

ถ้า แล้ว ในการหา อนุพันธ์ย่อยโดยใช้สูตร ใช้สูตรเดียวกับอนุพันธ์ ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว เพียงแต่ว่าถ้าต้องการหา อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ ให้ถือว่า ตัวอื่นๆ เป็น ค่าคงตัว ตัวอย่าง

ตัวอย่าง กำหนดให้ จงหา และ วิธีทำ จากโจทย์

ดังนั้น

ดังนั้น

ดังนั้น

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง ตอนที่ 8.2 อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง กฎลูกโซ่ และ อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย เรื่องที่ 8.2.1 อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง

ให้ เป็นฟังก์ชันสองตัวแปรที่หา และ ว่า อนุพันธ์ย่อยได้ เรียก และ อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง เทียบกับตัวแปร ตามลำดับ และถ้าสามารถหาอนุพันธ์ย่อยได้อีก เรียกอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง มี 4 แบบด้วยกันคือ

ส่วน และ เรียกอนุพันธ์ย่อยผสมอันดับสอง อนุพันธ์ย่อยที่อันดับสูงกว่านี้ก็กำหนดได้ทำนอง เดียวกัน เช่น

ข้อสังเกต สัญลักษณ์ ใช้หาอนุพันธ์ย่อยเรียงลำดับจากขวา ไปซ้ายแต่สัญลักษณ์ตัวห้อย(subscript) ใช้หา อนุพันธ์ย่อยเรียงลำดับจากซ้ายไปขวา ทฤษฎีบท กำหนด เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร ถ้า มีความต่อเนื่องบนบริเวณ แล้ว ทุกจุดบนบริเวณ

ตัวอย่าง กำหนดให้ จงหา และ แสดงว่า

วิธีทำ จาก

และ

ดังนั้น

เรื่องที่ 8.2.2 กฎลูกโซ่

ตัวอย่าง เมื่อกำหนด ดังนี้ จงหา 1. 2.

วิธีทำ 1. โดยกฎลูกโซ่

ส่วนบนสุดของแผนภาพเป็นตัวแปรตาม สามารถหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ และ ได้ตัว แปร และ เรียกตัวแปรเชื่อม ซึ่งเป็นฟังก์ชัน ของ และ สามารถหาอนุพันธ์ย่อยเทียบ และ ได้เรียก และ ว่าตัวแปรอิสระ ข้อสังเกต อนุพันธ์ย่อยของแต่ละส่วนของเส้นทางถ้าเทียบ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแล้วตัวแปรอื่นที่อยู่ระดับ เดียวกันให้ถือว่าเป็นค่าคงที่

ตัวอย่าง กำหนดให้ และ จงหา

วิธีทำ เขียนเป็นแผนภาพต้นไม้

จากแผนภาพต้นไม้

เขียนเป็นแผนภาพต้นไม้เพื่อหาอนุพันธ์ย่อย อันดับสอง ให้ ดังนั้น

จากแผนภาพต้นไม้ + w ¶ u

ของฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย เรื่องที่ 8.2.3 อนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย (Implicit Differentiation)

ฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย ฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยาย โดยที่ เป็นฟังก์ชันของ นั้น โดยการหาอนุพันธ์ เทียบกับ ตลอดทั้งสมการ เราสามารถสร้างสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ย่อยของ ฟังก์ชันที่นิยามโดยปริยายโดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้

หรือ ดังนั้นจะได้สูตร สูตร

ตัวอย่าง จงหา จากสมการ วิธีทำ จัดสมการในรูป คือ จากสูตร

ดังนั้น

ในกรณีที่เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร โดยที่ เป็นฟังก์ชันของ และ เขียนแผนภาพต้นไม้ได้ดังนี้

จากแผนภาพ หรือ

สูตร และ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ ตัวอย่าง ซึ่งนิยามโดยปริยาย จงหา และ เมื่อกำหนด

วิธีทำ จัดสมการในรูป คือ จากสูตร

ดังนั้น จากสูตร

ดังนั้น