คณิตศาสตร์และสถิติธุรกิจ 761 206 คณิตศาสตร์และสถิติธุรกิจ บทที่ 3 สมการและอสมการ

1. สมการ ความหมาย : สมการคือจำนวนที่เท่ากันตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป โดยปกติจะมีตัวแปร (Variable) อยู่ด้วย เช่น 5x = 10 , 5x = y , x2 + y2 = 25 เหล่านี้เป็นต้น สมการจึงประกอบด้วยจำนวนทางขวาและจำนวนทางซ้าย (ในกรณีที่สมการของจำนวน 2 จำนวน ในสมการ 2 จำนวน จะประกอบด้วย ตัวแปร และค่าคงที่ โดยตัวแปรจะมีค่าเปลี่ยนไปได้ในขณะที่ค่าคงที่จะเปลี่ยนค่าไม่ได้ ส่วนตัวเลขที่เป็นตัวคูณหรือตัวหารของตัวแปร อาจจะเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ (Coefficient) ซึ่งเป็นค่าที่กำหนดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

คุณสมบัติของสมการ (1) คุณสมบัติการเท่ากัน ในกรณีที่พิจารณาทีละ 2 จำนวน จำนวนทางซ้ายจะเท่ากันกับจำนวนทางขวา และถ้าจำนวนที่ 1 เท่ากับ จำนวนที่ 2 จำนวนที่ 2 เท่ากับ จำนวนที่ 3 แล้วละก็ จำนวนที่ 1 จะเท่ากับ จำนวนที่ 3 โดยไม่ต้องพิสูจน์ (เป็น axiom)

(2) คุณสมบัติการบวก (3) คุณสมบัติการลบ ถ้าเอาตัวเลขจำนวนเดียวกันไปบวกทางซ้ายและทางขวาของสมการ จำนวนเลขของสมการยังคงเท่ากัน (3) คุณสมบัติการลบ ถ้าเอาตัวเลขจำนวนเดียวกันไปลบทางซ้ายและทางขวาของสมการ จำนวนเลขของสมการยังคงเท่ากัน

(4) คุณสมบัติของการคูณ ถ้าเอาตัวเลขจำนวนเดียวกันไปคูณทางซ้ายและทางขวาของสมการ จำนวนเลขของสมการยังคงเท่ากัน (5) คุณสมบัติของการหาร ถ้าเอาตัวเลขจำนวนเดียวกันไปหารทางซ้ายและทางขวาของสมการ จำนวนเลขของสมการยังคงเท่ากัน

การแก้สมการ การแก้สมการ หมายถึง การหาค่าของตัวแปรในสมการซึ่งแบ่งได้เป็นหลายแบบ คือ (1) การแก้สมการชั้นเดียว หมายถึง การแก้สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว โดยอาศัยคุณสมบัติของสมการ

สามารถแก้สมการกำลังสองได้ 2 วิธี คือ (2) การแก้สมการกำลังสอง หมายถึง การแก้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว แต่อยู่ในรูปยกกำลังสอง จากสมการมาตรฐาน สมการมาตรฐาน : ax2 + bx + c = 0 สามารถแก้สมการกำลังสองได้ 2 วิธี คือ (1) โดยการแยกตัวประกอบ (2) โดยการใช้สูตร x = จากสมการมาตรฐาน ax2 + bx + c = 0

รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร (3) การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร หมายถึงสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นหนึ่ง และจะมี 2 สมการ โดยมีรูปทั่วไป คือ รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร ax + by = c ………………….(1) dx + ey = f …………… …….(2)

สามารถหาค่าตัวแปร (x, y) ได้ 2 วิธี คือ (1) โดยการเขียนกราฟ ของสมการทั้งสองลงบนแกนคู่เดียวกัน จะได้กราฟเป็นสมการเส้นตรง 2 เส้น และจุดตัดของเส้นตรงทั้งสองคือค่าของตัวแปร (2) โดยวิธีทางพีชคณิต ที่ต้องกำจัดตัวแปรตัวหนึ่งให้หมดไป และหาค่าของตัวแปรทีละตัว โดยอาศัยคุณสมบัติของสมการ

(4) การแก้สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร หมายถึง การแก้สมการที่ตัวแปร 3 ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีเลขยกกำลัง 1 เท่านั้น และมักจะมี 3 สมการ โดยมีรูปทั่วไป ดังนี้ รูปทั่วไปของสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร a1x + b1y + c1z = k1 ……………………(1) a2x + b2y + c2z = k2 ……………………(2) a3x + b3y + c3z = k3 ……………………(3) สามารถแก้สมการได้โดยหาค่าตัวแปรทีละตัว จากการทำให้ตัวแปรที่เหลือหมดไป โดยอาศัยคุณสมบัติของสมการ

2. อสมการ ความหมาย : อสมการ หมายถึง จำนวนเลข 2 จำนวนขึ้นไป ที่มีค่ามากน้อยต่างกัน

การหาค่าตัวแปรจากอสมการ (1) การบวกและลบอสมการ สมารถกระทำได้เช่นเดียวกับสมการกำลังหนึ่งทั่วไป โดยย้ายจาก + ไป – หรือ จาก – ไป + (2) การคูณและหาร การย้ายตัวแปรที่ยังไม่ทราบค่าไปคูณหรือหาร ต้องใช้ตัวแปรกำลังสองเท่านั้น