เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ มาสเตอร์วินิจ กิจเจริญ วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ มาสเตอร์วินิจ กิจเจริญ

หัวข้อที่นักเรียนจะได้เรียนต่อไปนี้ จะเกี่ยวกับนิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก สมาชิกในกลุ่มต้องช่วยกันศึกษารายละเอียดและช่วยกันทำแบบฝึก ช่วยเหลือซึ่งกันและกัน อภิปรายให้เกิดความเข้าใจมากที่สุด

สามเหลี่ยมสองรูป ถ้ามีมุมที่เท่ากัน 3 มุมแล้ว อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) จากการที่นักเรียนเคยศึกษาเรื่องสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมาแล้ว จะพบว่า สามเหลี่ยมสองรูป ถ้ามีมุมที่เท่ากัน 3 มุมแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน 2. ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนของด้าน ที่อยู่ตรงข้ามมุมเท่าจะเท่ากัน

แล้ว สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ สามเหลี่ยม XYZ ดังนั้นจะได้ หรือ จากรูป ถ้า และ แล้ว สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ สามเหลี่ยม XYZ ดังนั้นจะได้ หรือ

และจาก จะได้ จะได้ หรือจาก หรือจาก จะได้ และจากสมบัติดังกล่าวเราสามารถนำไปหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมได้

เรียกว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติ ในทำนองเดียวกันถ้าสามเหลี่ยม 2 รูปที่คล้ายกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูป Y B z a c x C A Z X b y ก็จะได้ , , เช่นเดียวกัน อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ใดคู่หนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ เรียกว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ดังนั้น จากรูป เมื่อสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี เรียก BC ว่า ด้านตรงข้ามมุม A ให้ยาว a หน่วย เรียก AC ว่า ด้านประชิดมุม A ให้ยาว b หน่วย c a C A b หรือในทำนองเดียวกันจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อ ยึดมุม B เป็นหลัก เรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ยาว c หน่วย เรียก AC ว่า ด้านตรงข้ามมุม B ให้ยาว b หน่วย เรียก BC ว่า ด้านประชิดมุม B ให้ยาว a หน่วย

และจากรูป สามเหลี่ยม ABC , เมื่อยึด มุม A เป็นหลัก 1. ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A เรียกว่า ไซน์ของมุม A เขียนแทนด้วย sinA ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 2. ความยาวของด้านประชิดมุม A เรียกว่า โคไซน์ของมุม A เขียนแทนด้วย cosA ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 3. ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A เรียกว่า แทนเจนต์ของ A เขียนแทนด้วย tanA ความยาวของด้านประชิดมุม A หมายเหตุ อัตราส่วนข้างต้นใช้ได้เฉพาะ กรณีมุม A เป็นมุมแหลมเท่านั้น  

จากอัตราส่วนไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 3 อัตราส่วน ซึ่งกำหนดด้วยบทนิยามดังนี้ 4. โคเซแคนท์ของมุม A หรือ cosecant A ซึ่งเขียนแทนด้วย cosecA (อ่านว่า โคเซค เอ) หมายถึง ส่วนกลับของ sinA ; sinA  0 นั่นคือ นั่นแสดงว่า ดังนั้น 5. เซแคนท์ของมุม A หรือ secant A ซึ่งเขียนแทนด้วย secA (อ่านว่า เซค เอ) หมายถึง ส่วนกลับของ cosA ; cosA  0 นั่นคือ นั่นแสดงว่า ดังนั้น 6. โคแทนเจนต์ของมุม A หรือ cotangent A ซึ่งเขียนแทนด้วย cotA (อ่านว่า คอตท์เอ) หมายถึง ส่วนกลับของ tanA ; tanA  0 นั่นคือ นั่นแสดงว่า ดังนั้น

cosecA, cotA, cosecC, secC, ตัวอย่าง จากรูปจงหาค่าของ sinA, cosA, tanA, sinC, cosC, tanC, cosecA, cotA, cosecC, secC, B 5 วิธีทำ จากทฤษฎีบทพิธาโกรัส จะได้ 4 C A ดังนั้น

สรุป จากรายละเอียดข้างต้น อัตราส่วนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ใดคู่หนึ่ง ของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อยึดมุมใดมุมหนึ่งเป็นหลัก(มีขนาดมุมระหว่าง 0 – 90 องศา) โดยที่ sinA = ข้าม ดังนั้น cosecA = ฉาก ฉาก ข้าม cosA = ชิด ดังนั้น secA = ฉาก ฉาก ชิด tanA = ข้าม ดังนั้น cot A = ชิด ชิด ข้าม   ข้อตกลง ข้าม ในที่นี้หมายถึง ด้านตรงข้ามมุม A ฉาก ในที่นี้หมายถึง ด้านตรงข้ามมุมฉาก ชิด ในที่นี้หมายถึง ด้านประชิดมุม A