บทที่ 2 เวกเตอร์แรง

จุดประสงค์ แสดงการบวกแรง และการคำนวณองค์ประกอบแรงโดย ใช้ Parallelogram Law แสดง แรงในลักษณะเวกเตอร์ การหาขนาดและทิศของ แรง แสดงการ คูณแบบจุด เพื่อหามุมระหว่างสองเวกเตอร์

ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์ คือปริมาณที่เกี่ยวข้องเฉพาะขนาด เช่น มวล ปริมาตร ความยาว โดยจะแสดงตัวแปรเป็นตัวเอียง เช่น A ปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศ เช่น แรง โมเมนต์ การขจัด ความเร็ว ความเร่ง แสดงเป็นตัวหนา หรือมีลูกศรด้านบน เช่น A, เป็นเวกเตอร์ที่มี ขนาดเท่ากับ A และสามารถแสดงเป็นรูปได้ ความยาวของลูกศร แสดงขนาด ทิศแสดง ด้วยทิศของหัวลูกศร A 20o

สเกลาร์ (Scalar) เวลา (t) second s ปริมาตร (V) cubic meter m3 liter l ความหนาแน่น () kilograms per cubic meter kg/ m3 อัตราเร็ว (V) meter per second m/s พลังงาน (E) joule J มวล (m) kilograms kg pound lb

เวกเตอร์ (Vector) เวกเตอร์อิสระ (Free vector) เวกเตอร์ (Vector) คือปริมาณที่เกี่ยวข้องกับขนาดและทิศทาง ได้แก่ การขจัด (m), ความเร็ว (m/s), ความเร่ง (m/s2), แรง (N), โมเมนต์ (Nm) และ โมเมนตัม (kgm/s) ในทางฟิสิกส์นั้นเวกเตอร์แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ เวกเตอร์อิสระ (Free vector) เวกเตอร์เลื่อน (Sliding vector) เวกเตอร์คงที่ (Fixed vector)

เวกเตอร์อิสระ (Free Vector) เป็นเวกเตอร์ที่มีตำแหน่งไม่แน่นอน ดังนั้นจึงเขียนได้เฉพาะขนาดและทิศทาง เท่านั้น เช่น เวกเตอร์ของการขจัดของจุดทุกจุดบนวัตถุใด ๆ ซึ่งเคลื่อนที่โดย ปราศจากการหมุน และเวกเตอร์ของแรงคู่ควบ

เวกเตอร์เลื่อน (Sliding Vector) เป็นเวกเตอร์ที่มีแนวแน่นอนตามแนวเส้นตรงหนึ่งในระวางที่ เช่น เวกเตอร์ของ แรงภายนอกที่กระทำกับวัตถุเกร็ง

เวกเตอร์คงที่ (Fixed Vector) เป็นเวกเตอร์ที่มีแนวและตำแหน่งแน่นอน โดยมีจุดที่แสดงตำแหน่งเวกเตอร์ เช่น เวกเตอร์ของแรงที่กระทำกับวัตถุแปรรูป ทั้งนี้ถ้าเวกเตอร์เปลี่ยนตำแหน่ง จะมีผลต่อการแปรรูปของวัตถุ ดังนั้นจึงต้องกำหนดตำแหน่งของเวกเตอร์ให้ คงที่แน่นอน

การคูณและหารเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์ ผลคูณของเวกเตอร์ A กับปริมาณสเกลาร์ a จะมีขนาดเท่ากับ |aA| = |a| |A| ถ้า a เป็นบวก เวกเตอร์ผลคูณจะมีทิศเดียวกับ A ถ้า a เป็นลบ เวกเตอร์ผลคูณจะมีทิศตรงข้ามกับ A -1.5A 2A 0.5A A

การบวกเวกเตอร์ A R=A+B A B B B A R=A+B เวกเตอร A สามารถบวกกับเวกเตอร์ B ได้เป็นเวกเตอร์ลัพธ์ R R = A + B ได้โดยใช้กฏการขนานกันของเวกเตอร์ A A R=A+B B B B A R=A+B

การบวกเวกเตอร์ A B R=A+B ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์จะเท่ากับการบวกกันแบบสเกลาร์ A B R=A+B

การแตกเวกเตอร์ลัพธ์ ออกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ เข้าแกน อ้างอิงใดๆ ทำได้โดยใช้กฎการขนานกันของเวกเตอร์ B A a R b a R b

การหาแรงลัพธ์ A B C a b c แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง เราสามารถรวมเวกเตอร์ หรือแตกเป็นองค์ประกอบเวกเตอร์ได้ โดยใช้หลักการคำนวณ แบบเวกเตอร์ ปัญหาในวิชา statics หลักๆคือ การหาแรงลัพธ์ เมื่อทราบองค์ประกอบของแรง หรือ การแตกแรงลัพธ์ที่ทราบค่าออกเป็นองค์ประกอบของแรง การหาขนาดของแรง สามารถใช้กฏของโคไซน์ ส่วนการหาทิศของแรง ใช้กฏของไซน์ A B C a b c

Example จงหาแรงลัพธ์ ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ 10o 15o 100N 150N q FR จงหาแรงลัพธ์ ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 หาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ FR ทำมุม 39.5o+15o=54.8o กับแกนนอน 10o 15o F1 = 100N F2 = 150N FR = 212.6 N

การบวกเวกเตอร์ใน 2 มิติ เราสามารถแตกแรงในระนาบออกเป็นสองแรงที่ตั้งฉากกัน (แกน x, แกน y) โดยแสดง ในลักษณะที่แยกเป็น ส่วนที่เป็นสเกลาร์ (Fx, Fy) ส่วนที่เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j ทำให้การบวก ลบ เวกเตอร์ทำได้ง่ายขึ้น เช่น F1 = F1x i + F1y j F2 = F2x i + F2y j F3 = F3x i + F3y j F = Fx i + Fy j FR = F1 + F2 + F3 = (F1x+F2x+F3x)i + (F1y+F2y+F3y) j = (FRx) i + (FRy) j

การบวกเวกเตอร์ใน 2 มิติ

Example จงหาแรงลัพธ์ + + ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 45o 30o F1 = 600N F2 = 400N x y จงหาแรงลัพธ์ ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 FRx = 600 cos 30oN – 400 sin 45oN = 236.8 N FRy = 600 sin 30oN + 400 cos 45oN = 582.8 N 45o 30o F1 = 600N F2 = 400N + +

Example ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ หรือแสดงในรูป = 629 N FR = F1 + F2 = (600 cos30oN – 400 sin45oN) i + (600 sin30oN + 400 cos45oN) j = {(236.8) i + (582.8) j} N

การบวกเวกเตอร์ใน3มิติ ระบบแกนในสามมิติ (cartesian coordinate system) จะเป็นไปตามกฏมือขวา x y z a b g A Ax i Ay j Az k

การบวกเวกเตอร์ใน3มิติ เวกเตอร์หนึ่งหนวยของ A คือ การบวกเวกเตอร์ใน3มิติ

Example x y F2 = {50i -100j+100k} kN z F1 = {60j+80k} kN FR = F1 + F2 = {60j+80k} kN + {50i -100j+100k} kN = {50i-40j+180k} kN

Example cos a = 0.2617 cos b = -0.2094 cos g = 0.9422 = 74.8o b = 102o = 191.0 = 191 N

เวกเตอร์บอกตำแหน่ง เป็นเวกเตอร์ที่ใช้บอกตำแหน่งของจุดใดๆใน space ที่สัมพันธ์กับจุดอื่น หรือจุดอ้างอิง เช่น ในระบบพิกัดที่มีจุดกำเนิด O มีตำแหน่ง P(x,y,z) ใน space จะสามารถบอกได้ด้วยเวกเตอร์บอกตำแหน่ง r = xi + yj + zk ในกรณีทั่วไป เวกเตอร์บอกตำแหน่ง สามารถบอกตำแหน่งจากจุด A ไป ยังจุด B ได้ โดย rAB = rB – rA เมื่อ rA และ rB คือเวกเตอร์บอกตำแหน่ง ของจุด A และ จุด B เมื่อเทียบ กับจุดกำเนิด rA = xA i + yA j + zA k rB = xB i + yB j + zB k rAB = (xB - xA) i + (yB - yA ) j + (zB - zA) k

การคูณแบบจุด (dot product) เมื่อ q เป็นมุมระหว่าง A กับ B

การดอตเวกเตอร์ (Dot product) Dot product of Cartesian unit vectors ยกตัวอย่างเช่น ii = (1)(1)cos(0o) = 1 ij = (1)(1)cos(90o) = 0 จึงสรุปได้ว่า ii = jj = kk = 1 ij = ik = jk = 0 Dot product of 2 vectors A and B AB = (Axi + Ayj + Azk)·(Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k) + AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k) = AxBx + AyBy + AzBz

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = -i - 2j + 3k และ B = 4i - 5j + 6k จงหา AB และ มุมระหว่าง A และ B AB = (-i - 2j + 3k)(4i - 5j + 6k) = (-1)(4) + (-2)(-5) + (3)(6) = -4 + 10 + 18 = 24 Ans จาก AB = AB cos 24 = (3.74)(8.77)cos  = cos-1(0.73) = 43.11o Ans

แบบฝึกหัด จงหามุมระหว่างสองเวกเตอร์

ตัวอย่าง จงหาองค์ประกอบของ FAB ในแนว AC วิธีทำ FAC = FAB  uC

FAC = FAB  uC