บทที่ 3 การสมดุลของอนุภาค

จุดประสงค์ ให้รู้จักการวาด free-body diagram ของอนุภาค ให้รู้จักการแก้โจทย์ความสุมดุลย์ของอนุภาคโดยใช้สมการ ความสมดุล

เงื่อนไขการสมดุลของอนุภาค อนุภาคสมดุลเมื่อคงสภาพการหยุดนิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เพื่อคงสภาพการสมดุล แรงลัพธ์ต้องเท่ากับศูนย์

The free-body diagram คือการวาดอนุภาคที่เป็นอิสระจากสิ่งแวดล้อม และแสดงแรงทั้งหมดที่ กระทำกับอนุภาค มีขั้นตอนดังนี้ วาดรูปร่างเฉพาะขอบของอนุภาค ที่เป็นอิสระจากสิ่งแวดล้อม แสดงแรงทั้งหมดที่กระทำกับอนุภาค เขียนตัวเลขบอกขนาดของแรงแต่ละแรง และเขียนลูกศรแสดงทิศของ แรง

การเชื่อมต่อกันของอนุภาค ปัญหาเรื่องความสมดุลของอนุภาค มักเกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อใน 2 ประเภทนี้ สปริง F = ks F คือ แรงเนื่องจากสปริง k คือ สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง s คือ ระยะยืด หรือ ระยะหดของสปริง เคเบิลและรอก ให้ถือว่าน้ำหนักของเชือกหรือเคเบิ้ลน้อยมาก และรับแรงตึงได้เฉพาะในทิศทางเดียวกับเคเบิล

ระบบแรงในสองมิติ หลักการแก้ปัญหา แก้สมการสมดุลของแรง วาด free-body diagram ตั้งแกน x, y ที่เหมาะสม วาดแรงทั้งหมด ทั้งที่ทราบค่า และไม่ทราบ แสดงขนาด และทิศของแรง ทำการสมมุติทิศทางของแรงที่ไม่ทราบ แก้สมการสมดุลของแรง แตกแรงเป็นองค์ประกอบของ i, j และใช้สมการที่เป็นสเกลาร์ในการคำนวณ ให้แรงที่กระทำในทิศเดียวกับแกนที่เป็นบวก เป็นบวก และทิศตรงข้ามกับแกนเป็นลบ ถ้ามีตัวแปรที่ไม่ทราบค่ามากกว่าหนึ่งตัว และปัญหาเกี่ยวข้องกับสปริง ให้ใช้สมการ F=ks มาร่วมคำนวณ ถ้าแรงที่เป็นคำตอบมีค่าติดลบ แสดงว่าแรงนั้นมีทิศทางตรงข้ามกับที่สมมุติ

ระบบแรงในสามมิติ แก้สมการสมดุลของแรง วาด free-body diagram หลักการแก้ปัญหา วาด free-body diagram ตั้งแกน x, y, z ในทิศทางที่เหมาะสม วาดแรงทั้งหมด ทั้งที่ทราบค่า และไม่ทราบ แสดงขนาด และทิศของแรง ทำการสมมุติทิศทางของแรงที่ไม่ทราบ แก้สมการสมดุลของแรง แตกแรงเป็นองค์ประกอบของ i, j, k และใช้สมการที่เป็นสเกลาร์ในการคำนวณ ถ้าแรงที่เป็นคำตอบมีค่าติดลบ แสดงว่าแรงนั้นมีทิศทางตรงข้ามกับที่สมมุติ

ตัวอย่าง จงหาแรงตึงในเส้นเชือก เมื่อกล่องหนัก 20 kg 45o

เฉลย กล่อง: F1 W = mg = 20(9.81) N เขียน Free-body diagram แก้สมการสมดุลแรง W = mg = 20(9.81) N F1

เฉลย เชือก: เขียน Free-body diagram แก้สมการสมดุลแรง F1 FB

เฉลย เชือก: FA FC FB คำตอบ: FA = 278 N, FB = 196 N, FC = 196 N เขียน Free-body diagram แก้สมการสมดุลแรง FA FC 45o FB คำตอบ: FA = 278 N, FB = 196 N, FC = 196 N

แบบฝึกหัด เชือก BCE ยาว 2 เมตร ก้อนน้ำหนัก E หนัก 10 N ถ้า D หนัก 4 N ระยะs มีค่าเท่ากับเท่าไหร่

แบบฝึกหัด จงหาแรงในเส้นเชือกทั้งสาม เมื่อแผ่นคอนกรีตหนัก 100 kg

การคลอสเวกเตอร์ (Cross product) การคลอสเวกเตอร์ (Cross product) ผลลัพธ์ที่ได้ยังคงเป็นเวกเตอร์ โดยมีขนาด |AB| = AB sin และมีทิศทางตามกฎมือขวา (Right-hand rule)

การครอสเวกเตอร์ (Cross product) Cross product of Cartesian unit vectors ยกตัวอย่างเช่น |ii|= (1)(1)sin(0o) = 0 |ij|= (1)(1)sin(90o) = 1 จึงสรุปได้ว่า ii = jj = kk = 0 ij = k , jk = i , ki = j ik = -j , ji = -k , kj = -i

การครอสเวกเตอร์ (Cross product) Cross product of 2 vectors A and B AB = (Axi + Ayj + Azk)  (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (ii) + AxBy (ij) + AxBz (ik) + AyBx (ji) + AyBy (jj) + AyBz (jk) + AzBx (ki) +AzBy (kj) +AzBz (kk) = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k

การครอสเวกเตอร์ (Cross product) In determinant form, i j k i j AB = Ax Ay Az Ax Ay Bx By Bz Bx By = AyBzi + AzBxj + AxByk - AyBxk - AzByi - AxBzj = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = 2i + 3j – 4k และ B = 5i + j จงหา BA BA = (5i + j)  (2i + 3j – 4k) = [(1)(– 4)]i + [– (5)( – 4)]j + [(5)(3) – (1)(2)]k = – 4i + 20j + 13k Ans

แบบฝึกหัด กำหนดให้ A = 2i + 3j – 4k และ B = 5i + j จงหา AB

เฉลยแบบฝึกหัด AB = 4i - 20j - 13k