Calculus I (กลางภาค) 01417111
หัวข้อ ลิมิตและความต่อเนื่อง อนุพันธ์
1. ลิมิตและความต่อเนื่อง 1.1 ลิมิตของฟังก์ชัน 1.2 ลิมิตด้านเดียว 1.3 ลิมิตอนันต์ และ ลิมิต ณ อนันต์ 1.4 เส้นกำกับแนวดิ่งและเส้นกำกับแนวราบ 1.5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
1.1 ลิมิตของฟังก์ชัน x f(x) 1 0.5 1.5 0.9 1.9 0.999 1.999 0.9999 1 0.5 1.5 0.9 1.9 0.999 1.999 0.9999 1.9999 x f(x) 2 3 1.1 2.5 1.01 2.01 1.001 2.001 1.0001 2.0001
ซึ่งจะเห็นได้ว่า เมื่อ X เข้าใกล้ 1 ค่าของ f(x)มีค่าเข้าใกล้ 2 ทั้งสองข้าง ไม่ว่าเราจะพิจารณา ค่า x ที่เข้าใกล้ 1 ทางด้านซ้ายของ 1 (x<1)หรือ ค่า x ที่เข้าใกล้ 1 ทางด้านขวาของ 1 (x>1) สรุป เมื่อ หาค่าได้
ทฤษฎีเบื้องต้นเกี่ยวกับลิมิต
- การหาค่าลิมิตของฟังก์ชันในรูป การแก้ปัญหาในรูปแบบนี้ ให้จัดรูปก่อน โดยวิธีการบางอย่าง ดังนี้ โดยวิธีแยกตัวประกอบ โดยวิธีการใช้คู่สังยุค โดยวิธีการบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน หรือ หา ค.ร.น. โดยวิธีการอื่น ๆ เช่น การใช้คุณสมบัติของ sin หรือการแก้ปัญหาในรูปของค่าสัมบูรณ์ โดยในรูปของค่าสัมบูรณ์ จะกล่าวในภายหลัง
ผลลัพธ์ของลิมิตที่สำคัญสามารถนำมาใช้อ้างได้เลย
- จงหาค่า เมื่อแทนค่า x = 2 ลงในฟังก์ชัน จะได้ ยังไม่สามารถสรุปคำตอบได้ โดยวิธีการแยกตัวประกอบจะได้ ดังนั้น
- จงหาค่า โดยวิธีการใช้คู่สังยุคจะได้ เมื่อแทนค่า x = 1 ลงในฟังก์ชัน จะได้ ยังไม่สามารถสรุปคำตอบได้ โดยวิธีการใช้คู่สังยุคจะได้
- จงหาค่า เมื่อแทนค่า x = 0 ลงในฟังก์ชัน จะได้ ยังไม่สามารถสรุปคำตอบได้ โดยวิธีการใช้คู่สังยุคจะได้
- จงหาค่า เมื่อแทนค่า x = -2 ลงในฟังก์ชัน จะได้ ยังไม่สามารถสรุปคำตอบได้ โดยวิธีการบวก ลบ เศษส่วน จะได้
โจทย์การหาลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ
โจทย์การหาลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ
โจทย์การหาลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ
โจทย์การหาลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ
โจทย์การหาลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ ดังนั้น ให้ และเมื่อ จะได้
~ตะลุยโจทย์ต่อเลย~ 1. โจทย์ lim ของฟังก์ชัน
1.2 ลิมิตด้านเดียว เวลาที่เจอโจทย์ในลักษณะฟังชันก์ขั้นบันได หรือโจทย์ฟังก์ค่าสัมบูรณ์ วิธีหนึ่งคือการดูลิมิตด้านซ้ายและด้านขวา ซึ่งจะทำให้ง่ายต่อการหาคำตอบ โดยปกติการหาค่าลิมิตก็เริ่มจากการดูลิมิตทางด้านซ้าย และด้านขวาก่อน แล้วจึงค่อยสรุปคำตอบ
1.2 ลิมิตด้านเดียว บทนิยาม หมายความว่า เมื่อ ทางขวามือ ลิมิตด้านเดียว ( one-sided limit) บทนิยาม 1. ลิมิตขวา (right-hand limit) หมายความว่า เมื่อ ทางขวามือ หรือ เมื่อ นิดหน่อย 2. ลิมิตซ้าย (left-hand limit) หมายความว่า เมื่อ ทางซ้ายมือ หรือ เมื่อ นิดหน่อย
1.2 ลิมิตด้านเดียว ตัวอย่าง กำหนดให้ จงหาค่า 1. 2. 3. 4. 5.
เมื่อ u แทนฟังก์ชันใดๆ 1.2 ลิมิตด้านเดียว ค่าสัมบูรณ์ นิยาม เมื่อ u แทนฟังก์ชันใดๆ เช่น หมายเหตุ : เมื่อโจทย์ให้หาค่าลิมิตของค่าสัมบูรณ์ ให้แยกเป็นฟังก์ชันอย่างนี้ทุกครั้ง
โจทย์การหาลิมิตด้านเดียว ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ พิจารณา
โจทย์การหาลิมิตด้านเดียว ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ พิจารณา
~ตะลุยโจทย์ต่อเลย~ 2. โจทย์ lim ด้านเดียว
1.3 ลิมิตอนันต์ และ ลิมิต ณ อนันต์ ลิมิตอนันต์ คือ การคิดค่าลิมิตแล้วได้ผลลัพธ์เป็น หรือ ลิมิต ณ อนันต์ คือ หรือ
เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ a<b 1.3 ลิมิตอนันต์ และ ลิมิต ณ อนันต์ ข้อควรจำ เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ a<b
เทคนิคการหาค่าลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่า วิธีทำ 1 1
เทคนิคการหาค่าลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่า วิธีทำ พิจารณา เมื่อ จะได้ว่า
เทคนิคการหาค่าลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่า วิธีทำ พิจารณา เมื่อ จะได้ว่า
เทคนิคการหาค่าลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่า วิธีทำ พิจารณา และ จะได้ และ พิจารณา และ จะได้ และ จะเห็นว่า เป็นตัวที่มากที่สุด เพราะฉะนั้นนำ หารตลอด 1
แทนค่า x ลงใน lim
จาก และ
เทคนิคการหาค่าลิมิต ตัวอย่าง จงหาค่า วิธีทำ พิจารณา และ จะได้ และ พิจารณา และ จะได้ และ จะเห็นว่า เป็นตัวที่มากที่สุด เพราะฉะนั้นนำ หารตลอด
แทนค่า x ลงใน lim
จาก และ
3. โจทย์ลิมิตอนันต์และลิมิต ณ อนันต์ ~ตะลุยโจทย์ต่อเลย~ 3. โจทย์ลิมิตอนันต์และลิมิต ณ อนันต์
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ y เส้นกำกับแนวดิ่ง x เส้นกำกับแนวราบ
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ นิยาม ถ้า และ จะเรียกเส้นตรง y = a และ y=b ว่า เส้นกำกับแนวราบของกราฟ y = f(x)
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ วิธีการหาเส้นกำกับแนวราบ 1. หาลิมิต ณ อนันต์ของ f(x) 2. พิจารณาคำตอบว่า ได้คำตอบออกมาเป็นจำนวนจริงกี่ คำตอบ ไม่รวมคำตอบที่เป็น ∞,-∞ - คำตอบที่เป็นไปได้มากที่สุด คือ 2 คำตอบ - คำตอบที่เป็นไปได้น้อยที่สุด คือ ไม่มีคำตอบ (ไม่มีเส้นกำกับแนวราบ) เส้นกำกับแนวราบที่ได้ คือ y = (คำตอบ),(คำตอบ)
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ ข้อควรทราบ เส้นกำกับแนวราบมีได้ไม่เกิน 2 เส้น มีน้อยสุด คือ ไม่มีเลย กราฟสามารถตัดเส้นกำกับแนวราบได้ ไม่มีปัญหา
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ นิยาม ถ้า และ จะเรียกเส้นตรง x = a ว่า เส้นกำกับแนวดิ่งของกราฟ y = f(x) โดยค่า a คือค่าที่ทำให้ f(x) หาค่าไม่ได้ หรือ f(a) หาค่าไม่ได้
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ วิธีการหาเส้นกำกับแนวดิ่ง 1. หาค่า x ที่ทำให้หาค่า f(x) ไม่ได้ 2. หาลิมิต ของ f(x) โดยที่ x เข้าใกล้ ค่าที่ทำให้หาค่า f(x) ไม่ได้ 3. พิจารณาคำตอบของลิมิต ที่เป็น ∞ หรือ -∞ อย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้ เส้นกำกับแนวดิ่งที่ได้ คือ x = (คำตอบ),(คำตอบ) , ... , ...
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ ข้อควรทราบ เส้นกำกับแนวดิ่งมีกี่เส้นก็ได้ไม่จำกัด หรือไม่มีเลยก็ได้ การที่มีเส้นกำกับแนวดิ่ง หมายถึง กราฟไม่ต่อเนื่อง ณ จุด a ผลลัพธ์ของลิมิต ที่นับว่าเป็นเส้นกำกับแนวดิ่งต้องเป็น ∞ หรือ -∞ เท่านั้น กราฟไม่ตัดเส้นกำกับแนวดิ่งเป็นอันขาด
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ ตัวอย่าง จงหาเส้นกำกับแนวดิ่ง แนวราบ ของ วิธีทำ หาเส้นกำกับแนวราบ จาก 1 ในทำนองเดียวกัน เพราะนั้นเส้นกำกับแนวราบคือ y=0
1.4 เส้นกำกับแนวดิ่ง & เส้นกำกับแนวราบ หาเส้นกำกับแนวดิ่ง พิจารณา ค่า x ที่ทำให้หาค่าของ y ไม่ได้ คือ x=5 และ เพราะฉะนั้น เส้นกำกับแนวดิ่ง คือ x=5
4. โจทย์เส้นกำกับแนวดิ่ง และ เส้นกำกับแนวราบ ~ตะลุยโจทย์ต่อเลย~ 4. โจทย์เส้นกำกับแนวดิ่ง และ เส้นกำกับแนวราบ
1.5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน บทนิยาม (อย่างเป็นทางการ) ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่จุด x = a ถ้าเงื่อนไขทั้ง 3 ข้อ ต่อไปนี้เป็นจริง หาค่าได้ หาค่าได้ นั่นคือ
5. โจทย์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ~ตะลุยโจทย์ต่อเลย~ 5. โจทย์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
จบแล้วจ้า