พื้นที่ผิวของพีระมิด โรงเรียนแม่จันวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ค 23101 นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โดยอาจารย์ณฐมน ทาแก้ว

กิจกรรมการหาส่วนสูงเอียง ให้นักเรียนพิจารณาพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่าดังรูป แล้วตอบคำถามต่อไปนี้ กำหนดให้ , และ เป็นสันของพีระมิด OAB , OBC และ OAC เป็นหน้าของพีระมิด ซึ่งมี , และ เป็นส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปตามลำดับ 1. OA = OB = OC หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ เท่ากัน เพราะOAB , OBC และ OAC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามนิยามของพีระมิด

2. AB = BC = CA หรือไม่ เพราะเหตุใด 3. OAB , OBC และ OAC เท่ากันทุกประการหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ เท่ากันทุกประการ เพราะ OA = OB = OC และ AB = BC = CA ตามลำดับ 4. หน้าทุกหน้าของพีระมิดมีพื้นที่เท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ หน้าทุกหน้าของพีระมิดมีพื้นที่เท่ากัน เพราะ OAB , OBC และ OAC เท่ากันทุกประการ 5. OX = OY = OZ หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ เท่ากัน เพราะ OAB , OBC และ OAC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและเท่ากันทุกประการดังนั้น OX = OY = OZ

6. ส่วนสูงเอียงของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตรงฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละด้านยาวเท่ากันหรือไม่ ตอบ เท่ากัน 7. นักเรียนคิดว่าพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีส่วนสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากันหรือไม่ ตอบ เท่ากัน พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะมีส่วนสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน

เท่ากันหรือไม่ ให้นักเรียนพิจารณาส่วนสูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังรูป แล้วตอบคำถามต่อไปนี้ กำหนดให้ ABCD มี ยาวกว่า , และ ตั้งฉากกับ และ ที่จุด X และจุด Y ตามลำดับ 1. OA = OB = OC หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ เท่ากัน เพราะเป็นความยาวของสันของพีระมิดสี่เหลี่ยมผืนผ้า

2. AX = BX และ BY = CY หรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ เท่ากัน เพราะ OA = OB = OC แสดงว่า และ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั่นคือส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากกับฐานจะแบ่งครึ่งมุมและแบ่งครึ่งฐานของสามเหลี่ยม 3. ยาวกว่าหรือสั้นกว่า เพราะเหตุใด ตอบ ยาวกว่า เพราะด้าน ยาวกว่า 4. ยาวกว่าหรือสั้นกว่า เพราะเหตุใด ตอบ สั้นกว่า เพราะ ยาวกว่า 5. นักเรียนคิดว่าส่วนสูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากันทุกเส้นหรือมไม่ ตอบ ไม่เท่ากัน

รวมกิจกรรมตอบคำถามกับด.ช.กานต์ กานต์ต้องการทาสีหลังคาด้านนอกของศาลาพักผ่อน ถ้ากานต์จะประมาณพื้นที่ที่ต้องทาสี ทั้งหมด เขาจะต้องคำนวณหาสิ่งใดบ้าง จากรูปข้างต้น จะเห็นได้ว่าหลังคานี้มีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมุมฉาก เมื่อพิจารณาส่วนของหลังคาที่ต้องทาสีจะเป็นส่วนที่แรเงาดังรูป

พื้นที่ของส่วนที่แรเงาทั้งหมด คือ พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และถ้านำพื้นที่ของส่วนใต้ หลังคาซึ่งเป็นฐานของพีระมิด มารวมด้วยจะเรียกพื้นที่ ทั้งหมดว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด พื้นที่ผิวของพีระมิดเท่ากับผลบวกของ พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดกับพื้นที่ฐาน ของพีระมิด

พื้นที่ผิวเป็นเท่าใด จากรูปที่กำหนดให้จงพิจารณาแล้วตอบคำถามต่อไปนี้ 1. พีระมิดที่ได้มีฐานเป็นรูปใด ตอบ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2. พื้นที่ฐานของพีระมิดเท่ากับเท่าไร ตอบ 196 ตารางเซนติเมตร

3. นักเรียนสามารถคำนวณหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นหน้าด้านข้างของพีระมิดได้หรือไม่ ถ้าได้ นักเรียนนำความรู้ในเรื่องใดมาใช้ในการคำนวณ และคำนวณได้เท่าใด ตอบ ได้โดยการนำความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสและนิยามสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คำนวณหาความสูงได้เท่ากับ 24 เซนติเมตร 4. ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่หาได้เป็นความยาวของส่วนใดของพีระมิด ตอบ สูงเอียง 5. นักเรียนหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดนี้ได้เท่าไร ตอบ 672 ตารางเซนติเมตร 6. พีระมิดนี้มีพื้นที่ผิวเป็นเท่าใด ตอบ 672 + 196 = 868 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวข้างหาได้อย่างไร ให้นักเรียนพิจารณาการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีส่วนสูงเอียงยาวเท่ากันทุกเส้น เช่นรูป ก กำหนดเป็นพีระมิดฐานแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีฐานยาวด้านละ a หน่วยและส่วนสูงเอียงยาว l หน่วย

จากพีระมิดที่กำหนดให้ จะเห็นว่าพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดมี 2 ส่วน คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดดังรูป ข เป็นพื้นที่ผิวข้าง และพื้นที่ของรูปแปดเหลี่ยมดังรูป ค เป็นพื้นที่ฐาน ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้ 1. รูปสามเหลี่ยมในรูป ข มีกี่รูป แต่ละรูปมีพื้นที่เท่าไร ตอบ รูปสามเหลี่ยมในรูป ข มี 8 รูป แต่ละรูปมีพื้นที่ ตารางหน่วย

2. พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรูป ก เป็นเท่าไร 2. พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดรูป ก เป็นเท่าไร ตอบ = ตารางหน่วย 3. ถ้าให้ p แทนความยาวรอบรูปของฐานของพีระมิดรูป ก แล้วพีระมิดรูป ก จะมีพื้นที่ผิวข้างเป็นเท่าไร ตอบ ตารางหน่วย จากความยาวฐาน = = 8a = p โจทย์กำหนด 8 ด้าน2 พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดที่มีฐานรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า เท่ากับ ความยาวรอบรูปของฐานสูงเอียง

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ฐานมีด้านยาว 40 เซนติเมตร กว้าง 16 เซนติเมตร และพีระมิดสูง 15 เซนติเมตร วิธีทำ กำหนดให้ ABCD เป็นฐานของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า O เป็นจุดยอดของพีระมิด เป็นส่วนสูง เป็นส่วนสูงเอียงที่ตั้งฉากกับ และ เป็นส่วนสูงเอียงที่ตั้งฉากกับ ดังรูป จากรูป AB = 40 เซนติเมตร และ BC = 16 เซนติเมตร จะได้ XF = = 20 เซนติเมตร และ XE = = 8 เซนติเมตร

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จาก จะได้ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จาก จะได้ OE2 = OX2 + XE2 = 152 + 82 = 289 = 172 ดังนั้น OE = 17 จาก จะได้ OF2 = OX2 + XF2 = 152 + 202 = 625 = 252 ดังนั้น OF = 25

ทบทวนสิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับพีระมิด ส่วนต่าง ๆ ของพีระมิด การคำนวณหาความสูงของพีระมิด การคำนวณหาปริมาตรของพีระมิด การคำนวณหาพื้นที่ผิวของพีระมิด แบบฝึกหัดการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด

กรวย(CONE) มาหาสูตรของกรวยกันเถอะ..... ส่วนต่าง ๆ ของกรวย ที่มาของกรวย การพิสูจน์สูตรการหาปริมาตรของกรวย การพิสูจน์สูตรการหาพื้นที่ของกรวย สรุปการหาปริมาตรเรขาคณิตสามมิติ

แหล่งอ้างอิง หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน เล่ม ๑ หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน เล่ม ๑ หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เล่ม ๑ http://yteach.co.uk/index.php http://www.google.co.th/