Page : Stability and Statdy-State Error Chapter 3 Design of Discrete-Time control systems Stability and Steady-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Outline 1 Stability Definition 2 Routh-Herwitz criterion 3 Steady-state error Definition 4 Steady-state errors
Page : Stability and Statdy-State Error Definition 1. If natural response approaches zero as time approaches infinity, system is stable. 2. If natural response approaches infinity as time approaches infinity system is unstable. 3. If natural response neither decays nor grows, but remain constant or oscillates, system is marginal stable. For Linear time-invariant systems
Page : Stability and Statdy-State Error Using total response 1. A system is stable if every bounded input yields a bounded output. 2. A system is unstable if any bounded input yields an unbounded output.
Page : Stability and Statdy-State Error Closed-loop poles and responses for stable system
Page : Stability and Statdy-State Error Closed-loop poles and response unstable system
Page : Stability and Statdy-State Error Regions of stable and Unstable j s- plane Stabl e Unstabl e Stabl e Unstabl e
Page : Stability and Statdy-State Error Definiti ons A symptotically stable if and only if all the roots of the characteristic equation lie in the left half s-plane. Marginally stable if some of the roots occur as a single root at the region in the s- plane or as single paires of roots at points on the j-axis and the remaining roots are in the left half s-plane. Unstable if one or more roots occur in the right half s-plane or if multiple roots or pairs of roots occur at a point on the j- axis.
Page : Stability and Statdy-State Error Routh-Hurwitz Criterion Characteristic equation
Page : Stability and Statdy-State Error Routh-Hurwitz Criterion Using this method, we can tell how many closed-loop system poles are in the left half-plane, in the right half-plane, and on the j axis. This method requires two steps : 1. Generate a data table called a Routh table. 2. Interpret the Routh table
Page : Stability and Statdy-State Error Example (Nise page 329)
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error The Routh Table The general form of Routh Table uses the coefficients of the characteristic polynomial in the equation to arrange in the first and second rows. Assuming for the a n-1 is non zero, then the other values can calculate.
Page : Stability and Statdy-State Error Examples 1. F(s) = s 4 + 6s s s F(s) = s 5 - 4s 4 + 4s 3 + 9s 2 – 12s + 4
Page : Stability and Statdy-State Error The Routh Table of example 1 s s s s s04s04
Page : Stability and Statdy-State Error The Routh Table of example 2. s s s s s s 0 4
Page : Stability and Statdy-State Error การตรวจสอบความเสถียรจากตาราง ของ Routh ได้โดยการตรวจสอบที่คอลัม แรกของสัมประสิทธิ์หรือคอลัมที่ 2 ของ ตารางของ Routh ถ้าค่าในคอลัมนี้ไม่มี การเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงว่าไม่มีโพลอ ยู่ทางขวาของ s-plane ถ้าค่าในคอลัมนี้มี การเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงว่ามีโพลอยู่ ทางขวาของ s-plane โดยที่จำนวน ครั้ง ของการเปลี่ยนเครื่องหมายจะบอกถึง จำนวนโพลที่อยู่ทางขวาของ s-plane Interpret of stability from Routh table
Page : Stability and Statdy-State Error Routh-Hurwitz Criterion : Special case Zero only in the first colume เมื่อค่าในคอลัมภ์แรกของแถวใดแถว หนึ่งเป็นศูนย์ จะทำให้การคำนวณต้องหาร ด้วยศูนย์ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้เรา สามารถทำได้โดยแทนเลขที่เป็นศูนย์ด้วย เลขบวกที่มีค่าน้อยๆ (epsilon) ซึ่งเป็นค่าที่ ประมาณว่าใกล้ 0 มาก ซึ่งจะเป็นค่าบวก หรือลบก็แล้วแต่เราจะสมมุติ
Page : Stability and Statdy-State Error Example 6.2 (Nise)
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Entire row is zero ในกรณีเมื่อนำไปสร้างเป็นตาราง แล้วการคำนวณเกิดเป็นศูนย์ทั้งแถว เรียกว่าเกิดตารางเร้าท์เบรกดาวน์ การ แก้ไขโดยนำค่าแถวแนวนอนที่อยู่บนแถว ที่เป็นศูนย์มาสร้างเป็นสมการช่วย (Auxiliary Equation) เพื่อนำสมการนั้น ไปทำการดิฟเฟอร์เรนเชียลเทียบกับ s แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้จากการดิฟเฟอร์เรน เชียลมาแทนในแถวที่เป็นศูนย์และใช้ วิธีการหาค่าตารางเร้าท์ต่อไป
Page : Stability and Statdy-State Error P(s) = s 4 +6s 2 +8 Example 6.3 (Nise)
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Stability design via Routh-Hurwitz Example 6.9 (Nise)
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Steady-State Error Definition (a) general representation; (b) representation for unity feedback systems
Page : Stability and Statdy-State Error Closed-loop control system error
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Steady-state error Step input
Page : Stability and Statdy-State Error Ramp input Steady-state error
Page : Stability and Statdy-State Error Step input Whe n
Page : Stability and Statdy-State Error Ramp input Whe n
Page : Stability and Statdy-State Error Parabolic input Whe n
Page : Stability and Statdy-State Error Static Error Constants and System type Position constant, K p Velocity constant, K v Acceleration constant, K a
Page : Stability and Statdy-State Error Feedback control system for defining system type
Page : Stability and Statdy-State Error
Page : Stability and Statdy-State Error Steady-State Error Specifications If a control system has the specification K v =1000, we can draw a conclusions : 1. The system is stable. 2. The system is of type A ramp input is the test signal. 4. The steady-state error between the input ramp and the output ramp is 1/K v per unit of input slope.
Page : Stability and Statdy-State Error Example (Nise) Find the steady- state errors for inputs of 5u(t), 5tu(t) and 5t 2 ี u(t) of the system shown below.
Page : Stability and Statdy-State Error Example (Nise) Find the steady- state errors for inputs of 5u(t), 5tu(t) and 5t 2 ี u(t) of the system shown below.
Page : Stability and Statdy-State Error Example (Nise) Find the value of K so that there are 10% error in the steady state for the system shown below.
Page : Stability and Statdy-State Error Example (Nise) Find the steady- state error for a unit step input of the system shown below.