บทที่ 1 Probability

Set Theory นิยาม : เซต คือ ที่รวมหรือกลุ่มของสิ่งต่างๆซึ่งมีคุณสมบัติ (คำอธิบาย) แน่ชัด โดยที่เราสามารถบอกได้ว่า สิ่งหนึ่งสิ่งใดอยู่ในเซตหรือไม่ เราจะเรียก สิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (element or member point) ของเซต • เซตจำกัด (finite set) : จำนวนสมาชิกจำกัด (นับสิ้นสุดได้) • เซตอนันต์ ( infinite set): จำนวนสมาชิกไม่จำกัด (นับไม่สิ้นสุด)

ให้ A เป็นเซตของผลไม้, A = {สับปะรด, ทุเรียน, มังคุด, ลำไย, ลิ้นจี่} จำนวนสมาชิกของ A, n(A)=5 ให้ B เป็นเซตสีของรุ้ง จะได้ B = {สีม่วง, สีคราม, สีน้ำเงิน, สีเขียว, สีเหลือง, สีแสด, สีแดง} และ n(B)=7 ถ้าเราสามารถเขียนและนับจำนวนสมาชิกในเซตได้ชัดเจนแบบนี้ จะเรียกว่าเป็น เซตจำกัด (Finite Set)  จะใช้สัญลักษณ์  แทนคำว่า “เป็นสมาชิกของ” เช่น ทุเรียน  A, สีแดง  B และจะใช้สัญลักษณ์  แทนคำว่า “ไม่เป็นสมาชิก ของ” เช่น สีดำ  B

C={x  I | x<3} เมื่อ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม ให้ C เป็นเซตของจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 3 จะได้ C = {2, 1, 0, -1, …} ในกรณีนี้จะเห็นว่าจำนวนสมาชิกของเซตมีมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้น จึงหา n(C) ไม่ได้ เราเรียกเซตลักษณะนี้ว่า เซตอนันต์ (Infinite Set)  เราสามารถอธิบายเซตในลักษณะเป็นเงื่อนไขแทนการแจกแจงสมาชิก เช่น  C={x    I | x<3} เมื่อ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

สำหรับเซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) จะใช้สัญลักษณ์ { },   เช่น ให้ D เป็นเซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วยตัว ฟ จะได้ D={ } และ n(D) = 0 เซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน (ตำแหน่งจะสลับกันก็ได้) จะเป็นเซตที่เท่ากัน เช่น A = {1, 2, 3}         B = {3, 1, 2}   กล่าวได้ว่า   A = B โดยปกติแล้ว สมาชิกในเซตจะถูกกำหนดขอบเขตไว้จำกัด จะเรียกขอบเขตนั้นว่าเอกภพสัมพัทธ์ (Universal set) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   และสมาชิกของเซตที่กล่าวถึงจะต้องเป็นสมาชิกของ    เท่านั้น

Universal/Null Set Universal Set (เอกภพสัมพัทธ์) นิยาม : เซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในขอบข่ายในการพิจารณาของเรา สัญลักษณ์: Empty Set /Null Set (เซตว่าง) นิยาม : เซตที่ไม่มีสมาชิกใดๆอยู่เลย

สับเซต (Subset)  สับเซต หมายถึงเซตย่อย เช่นหากกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A (B    A) ถ้าสมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A และควรจำไว้ว่า เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต Ex จงหาสับเซตทั้งหมดของ A เมื่อ A = {2, 4, 6, 8} Soln จำนวนสับเซตทั้งหมดหาได้จาก 2n เมื่อ n=จำนวนสมาชิกในเซต ดังนั้น A จะมีสับเซตทั้งหมด 24=16 สับเซต ดังนี้  {2}  {4}  {6}  {8} {2, 4}  {2, 6}  {2, 8}  {4, 6}  {4, 8}  {6, 8} {2, 4, 6}  {2, 6, 8}  {2, 4, 8}  {4, 6, 8} {2, 4, 6, 8}

เพาเวอร์เซต (Power set) หมายถึงเซตของสับเซต จะเขียนแทนเพาเวอร์เซตของเซต A ด้วย P(A) วิธีหาเพาเวอร์เซต จะต้องหาสับเซตทั้งหมดให้ได้ก่อน จากนั้นจึงใส่เซตครอบลงไป จากตัวอย่างข้างต้น จะได้เพาเวอร์เซต P(A) = {  , {2}, {4}, {6}, {8}, {2, 4}, {2, 6}, {2, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8}, {2, 4, 6}, {2, 6, 8}, {2, 4, 8}, {4, 6, 8}, {2, 4, 6, 8}}

สัญลักษณ์ เซต ใช้ตัวพิมพ์ใหญ่, สมาชิก ใช้ตัวพิมพ์เล็ก

Set Operations ในทฤษฎีเซต จะมีปฏิบัติการที่เราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเซตต่างๆ 3 แบบด้วยกัน Intersection Union Complement

Algebra of Sets 1. , 2. , 3. 4.

Algebra of Sets (ต่อ) 5. 6.

การดำเนินการของเซต (Set Operations) การดำเนินการของเซตจะทำให้ได้เซตใหม่เกิดขึ้น (แสดงด้วยส่วนที่แรเงาสีเทา) หลักๆแล้ว มีอยู่ 4 แบบ ดังนี้ 1) ยูเนี่ยน (Union): ทำให้เกิดเซตใหม่ซึ่งสมาชิกมาจากทั้งสองเซต

2) อินเตอร์เซกชั่น (Intersection): เซตใหม่ที่ได้เป็นสมาชิกร่วมกันของทั้งสองเซต

3) ผลต่าง (Difference): ถ้าหาผลต่างของ A-B จะได้เซตผลลัพธ์เป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ใน B

4) คอมพลีเมนต์ (Complement): คอมพลีเมนต์ของ A เขียนแทนด้วย A’ คือสมาชิกทุกตัวที่เหลือในเอกภพสัมพัทธ์ยกเว้น A