หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและการนำไปใช้ คณิตศาสตร์ (ค32101) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 9 เส้นขนาน เรื่อง เส้นขนานและการนำไปใช้ สอนโดย ครูชนิดา ดวงแข

1. จากรูปD EAB เป็นรูปสามเหลี่ยม หน้าจั่ว มี AE = BE, = 44 และ ˆ = 44 และ XY // AB 1) จงบอกชื่อมุมทุก มุมที่ขนาดเท่ากับ E 44 B A E ˆ X C D Y 2) มีขนาด เท่าไร B A E ˆ A B

(เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) A B D Y C X E 44 B A E ˆ = (มุมที่ฐานของรูป Dหน้าจั่ว) B A E ˆ = X C และ D B A ˆ = Y (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน )

= (สมบัติการเท่ากัน) = และ = B A E ˆ Y D B A E ˆ D C C D E ˆ A B X E 44 B A E ˆ = Y D (สมบัติการเท่ากัน) B A E ˆ = D C และ C D E ˆ = A B (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้ว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน)

136 2 ดังนั้น = = = = = + = 180 - 44 = 136 = = 68 A B E ˆ X C A ˆ Y D

2. จากรูป จงหาว่า หรือไม่ เพราะเหตุใด PQ//AD 2. จากรูป จงหาว่า หรือไม่ เพราะเหตุใด PQ//AD Q D 120 C A E P 32 28 B

= = = - = = 180 28 32 180 180 60 120 (ผลรวมของขนาด มุมภายในรูป D ) C B A ˆ + = 180 (ผลรวมของขนาด มุมภายในรูป D ) C B A D Q P E 120 28 32 28 B A C ˆ + 32 = 180 120 B A C ˆ 180 = - 60 B A C ˆ 120 = B A C ˆ D P = (ขนาดของมุมตรงข้าม) ของเส้นตรงสองเส้นตัดกันจะเท่ากัน

= = 120 120 (สมบัติการเท่ากัน) เนื่องจาก และ D A P ˆ C B A D Q P E 120 28 32 (สมบัติการเท่ากัน) 120 120 = 120 Q P E ˆ D A เนื่องจาก Q P E ˆ D A และ (เป็นมุมภายนอกและมุมภายในตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด )

(เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่ทำให้ มุมภายนอกและมุมภายในตรงข้าม C B A D Q P E 120 28 32 ดังนั้น PQ//AD (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่ทำให้ มุมภายนอกและมุมภายในตรงข้าม บนข้างเดียวกันของเส้นตัดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน )

3. จงพิสูจน์ว่า “ขนาดของมุมภายใน ทั้งสี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รวมกัน เท่ากับ 360 องศา” B A D C

พิสูจน์ ลากเส้นทแยงมุม AC AC จะได้ แบ่ง  ABCD ออกเป็น D 2 รูปคือ D ABC และ D ACD

= = = 180 180 180 (ผลรวมของขนาด มุมภายในรูป D ) B C B A ˆ + = 180 A (ผลรวมของขนาด มุมภายในรูป D ) D C C A D ˆ + = 180 (ผลรวมของขนาดมุมภายในรูป D ) C B A ˆ + D 180 = + (สมบัติการเท่ากัน)

= = 360 360 + (แทน ด้วย และ แทน + ด้วย ) ดังนั้น B A D C C B A ˆ + D = 360 A C B ˆ + D (แทน ด้วย และ แทน B A C ˆ + D ด้วย ) C B A ˆ + D = 360 ดังนั้น (สมบัติของการสลับที่การบวก)

4. จากรูป D ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม หน้าจั่ว ให้ EF//BC จงพิสูจน์ว่า ˆ = F C A E F B C

เนื่องจาก D ABC เป็น Dหน้าจั่ว จะได้ มุมที่ฐานของรูปDหน้าจั่ว E F C B C B A ˆ = จะได้ มุมที่ฐานของรูปDหน้าจั่ว เนื่องจาก EF//BC C B A ˆ = E (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน )

กันและมีเส้นตัด แล้วมุม แย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) B C A ˆ = F A E F C B (เส้นตรงสองเส้นขนาน กันและมีเส้นตัด แล้วมุม แย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) E A B ˆ = F C ดังนั้น (สมบัติการเท่ากัน)

5. จากรูป กำหนดให้ CG//DH AB = EF และ BC = FD จงพิสูจน์ว่า AC//ED D G 5. จากรูป กำหนดให้ CG//DH AB = EF และ BC = FD จงพิสูจน์ว่า AC//ED D G A B F E C H

(เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) D เนื่องจาก CG//DH G C B A ˆ = F G A B F E (เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) C H = F B G ˆ E D (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด จะทำให้มุมภายนอกและมุมภายในบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน )

ดังนั้น DABC @ DDEF (ด.ม.ด.) จะได้ (มุมคู่ที่สมนัยกัน G = C B A ˆ E F D ดังนั้น A B (สมบัติการเท่ากัน) F E AB = EF ,BC = FD (กำหนดให้) C H ดังนั้น DABC @ DDEF (ด.ม.ด.) = B A C ˆ F E D จะได้ (มุมคู่ที่สมนัยกัน ของรูปD ที่เท่ากันทุกประการ จะมี ขนาดเท่ากัน)

และ เนื่องจาก เป็นมุมแย้ง ดังนั้น AC//ED B A C ˆ F E D เนื่องจาก เป็นมุมแย้ง D G ดังนั้น AC//ED A B F E C H (เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน )

6. กำหนดให้ ABCDเป็นรูปสี่เหลี่ยม ด้านขนาน จงพิสูจน์ว่า และ ด้านขนาน จงพิสูจน์ว่า B ˆ = D และ A C D C A B

(เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด จะทำให้มุมภายนอกและมุมภายในบน D C BX พิสูจน์ ลาก A ต่อจาก AB B X C B X ˆ = D A (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด จะทำให้มุมภายนอกและมุมภายในบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน )

(เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) D C B C D ˆ = X A B X (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) = D A B ˆ C ดังนั้น (สมบัติการเท่ากัน) จะได้ A ˆ C =

(เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) A B C D AC พิสูจน์ ลาก เนื่องจากABCD เป็นรูป  ด้านขนาน = D C A ˆ B = B C A ˆ D และ (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน )

(มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม A B C D AC = AC (เป็นด้านร่วม) (ม.ด.ม.) ดังนั้น DADC@ DABC จะได้ B ˆ D = (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เท่ากันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)

(เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน ) A B C D AC พิสูจน์ ลาก เนื่องจากABCD เป็นรูป  ด้านขนาน = D C A ˆ B = B C A ˆ D และ (เส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งจะมีขนาดเท่ากัน )

= = = จะได้ = C A D ˆ B B C A ˆ D C A D ˆ B B C A ˆ D A ˆ C + + + + A