บทที่ 3 เลขยกกำลัง เนื้อหา ความหมายของเลขยกกำลัง การเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง การดำเนินการของเลขยกกำลัง การนำไปใช้

1. ความหมายของเลขยกกำลัง บทนิยาม

ตัวอย่าง สัญลักษณ์ 24 อ่านว่า สองยกกำลังสี่ หรือ สองกำลังสี่ สัญลักษณ์ 24 อ่านว่า สองยกกำลังสี่ หรือ สองกำลังสี่ 24 มี 2 เป็นฐาน และ 4 เป็นเลขชี้กำลัง 24 แทน 2 × 2 × 2 × 2 24 = 16 สัญลักษณ์ (-2)4 อ่านว่า ลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่ (-2)4 มี -2 เป็นฐาน และ 4 เป็นเลขชี้กำลัง (-2)4 แทน (-2) × (-2) × (-2) × (-2) (-2)4 = 16 สัญลักษณ์ -24 อ่านว่า ลบสองยกกำลังสี่ -24 มี 2 เป็นฐาน และ 4 เป็นเลขชี้กำลัง -24 แทน - (2 × 2 × 2 × 2) -24 = -16

Example 1 จงหาว่า 63 แทนจำนวนใด Solution 63 = 6 × 6 × 6 = 216 Answer 216 Example 2 จงหาว่า (-5)4 แทนจำนวนใด Solution (-5)4 = (-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625 Answer 625

Example 3 จงหาว่า − 𝟐 𝟑 𝟑 แทนจำนวนใด Solution − 𝟐 𝟑 𝟑 = − 𝟐 𝟑 × − 𝟐 𝟑 × − 𝟐 𝟑 = - 𝟖 𝟐𝟕 Answer - 𝟖 𝟐𝟕 Example 4 จงหาว่า −𝟎.𝟎𝟐 𝟒 แทนจำนวนใด Solution −𝟎.𝟎𝟐 𝟒 = - (0.02 × 0.02 × 0.02 × 0.02) = - 0.00000016 Answer - 0.00000016

2. การเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง Example 1 จงเขียน 64 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1 Solution วิธีที่ 1 64 = 8 × 8 = 82 วิธีที่ 2 64 = (-8) × (-8) = (-8)2 วิธีที่ 3 64 = 4 × 4 × 4 = 43 วิธีที่ 4 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 วิธีที่ 5 64 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = (-2)6 Answer 82 หรือ (-8)2 หรือ 43 หรือ 26 หรือ (-2)6

Example 2 จงเขียน -125 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1 Solution วิธีที่ 1 -125 = (-5) × (-5) × (-5) = (-5)3 วิธีที่ 2 -125 = - (5 × 5 × 5) = - 53 Answer (-5)3 หรือ -53 Example 3 จงเขียน 0.00243 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังมากกว่า 1 Solution 𝟐𝟒𝟑 𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎 0.00243 = = 𝟑×𝟑×𝟑×𝟑×𝟑 𝟏𝟎 ×𝟏𝟎×𝟏𝟎×𝟏𝟎×𝟏𝟎 = 𝟑 𝟓 𝟏𝟎 𝟓 = 3 10 5 = 0.35 Answer 0.35

Example 4 จงเขียน 81 ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเฉพาะ Solution 81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34 Answer 34

Example 5 ถ้า x แทนจำนวนเต็มบวก และ 5x = 3,125 แล้ว x มี ค่าเท่าไร Solution เนื่องจาก 3,125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 ดังนั้น 5x = 55 เพราะฉะนั้น x = 5 Answer 5

3. การดำเนินการของเลขยกกำลัง สมบัติของเลขยกกำลัง 1. an × am = am+n เมื่อ a ≠ 0 m และ n เป็นจำนวนเต็ม Example เช่น 1. 34 × 33 = 34+3 = 37 2. (-5) × (-5)5 = (-5)1+5 = (-5)6 3. an+1 × an+2 = an+1+n+2 = a2n+3

2. am ÷ an = am-n เมื่อ a ≠ 0 m และ n เป็นจำนวนเต็ม Example เช่น 1. 45 ÷ 42 = 45 - 2 = 43 2. 0.014 ÷ 0.014 = 0.014 - 4 = 0.010 = 1 3. 23 ÷ 27 = 23 - 7 = 2-4 = 𝟏 𝟐 𝟒 = 𝟏 𝟏𝟔

ไม่นิยาม (บอกค่าไม่ได้) 3. a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0 Example เช่น 1. 30 = 1 2. (-10)0 = 1 3. (2y)0 = 1 เมื่อ y ≠ 0 4. 00 ไม่นิยาม (บอกค่าไม่ได้) 4. a-n = 𝟏 𝒂 𝒏 เมื่อ a ≠ 0 Example 𝟏 𝟓 เช่น 1. 5-1 = 𝟏 (−𝟒) 𝟑 = - 𝟏 𝟔𝟒 2. (-4)-3 = 3. 𝟏 𝟑 −𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟗 = 9

Example เช่น 1. ( 𝟒 𝟐 ) 𝟓 = 2. ( (−𝟐) 𝟑 ) 𝟒 = 3. ( 𝒂 𝒎+𝟏 ) 𝟐 = 5. (am)n = am × n เมื่อ a ≠ 0 m และ n เป็นจำนวนเต็ม Example เช่น 1. ( 𝟒 𝟐 ) 𝟓 = 𝟒 𝟐×𝟓 = 𝟒 𝟏𝟎 2. ( (−𝟐) 𝟑 ) 𝟒 = (−𝟐) 𝟑×𝟒 = (−𝟐) 𝟏𝟐 3. ( 𝒂 𝒎+𝟏 ) 𝟐 = 𝒂 (𝒎+𝟏)×𝟐 = 𝒂 𝟐𝒎+𝟐

Example เช่น 1. ( 𝟑×𝟖) 𝟒 = 2. 𝟏 𝟐 ×𝟓 𝟓 = 1 2 5 × 5 5 3. ( −𝟒𝒙𝒚) 𝟑 = 6. (ab)n = an × bn เมื่อ a ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม Example เช่น 1. ( 𝟑×𝟖) 𝟒 = 𝟑 𝟒 ×𝟖 𝟒 2. 𝟏 𝟐 ×𝟓 𝟓 = 1 2 5 × 5 5 3. ( −𝟒𝒙𝒚) 𝟑 = −𝟒 𝟑 𝒙 𝟑 𝒚 𝟑 7. 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 เมื่อ a , b ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม 𝟑 𝟓 𝟐 = เช่น 1. 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 = 𝟗 𝟐𝟓 Example 𝟐𝒙 𝟕 𝟑 = 2. 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟕 𝟑 = 𝟖 𝒙 𝟑 𝟑𝟒𝟑

Example 1 จงเขียน 𝟓 𝟑 ×𝟓 𝟒 ในรูปของเลขยกกำลัง Solution 𝟓 𝟑 ×𝟓 𝟒 = 𝟓 𝟑+𝟒 = 𝟓 𝟕 Answer 𝟓 𝟕 Example 2 จงเขียน 49 × 𝟕 𝟏𝟎 ×𝟑𝟒𝟑 ในรูปของเลขยกกำลัง Solution 49 × 𝟕 𝟏𝟎 ×𝟑𝟒𝟑 = 𝟕 𝟐 ×𝟕 𝟏𝟎 ×𝟕 𝟑 = 𝟕 𝟐+𝟏𝟎+𝟑 = 𝟕 𝟏𝟓 Answer 𝟕 𝟏𝟓

Example 3 จงเขียน −𝟑 𝟒 ×𝟑 𝟓 ×(−𝟑) 𝟐 ในรูปของเลขยกกำลัง Solution −𝟑 𝟒 ×𝟑 𝟓 ×(−𝟑) 𝟐 = 𝟑 𝟒 ×𝟑 𝟓 ×𝟑 𝟐 =𝟑 𝟒+𝟓+𝟐 =𝟑 𝟏𝟏 Answer 𝟑 𝟏𝟏 Example 4 จงเขียน (−𝟏𝟔) ×(−𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 ในรูปของเลขยกกำลัง Solution (−𝟏𝟔) ×(−𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 = −(𝟐 𝟒 )×(−𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 =−(𝟐 𝟒 )×−(𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 = (−𝟏)(−𝟏)(𝟐 𝟒 )×(𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 = (𝟐 𝟒 )×(𝟐) 𝟑 ×𝟐 𝟓 = 𝟐 𝟒+𝟑+𝟓 Answer = 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐

Example 5 จงเขียน 𝟐 −𝟏 ×𝟑×𝟖×𝟐 𝟑 ×𝟑 𝟎 × 𝟐𝟕 ในรูปของเลขยกกำลัง Solution 𝟐 −𝟏 ×𝟑×𝟖×𝟐 𝟑 ×𝟑 𝟎 × 𝟐𝟕= 𝟐 −𝟏 ×𝟑 ×𝟐 𝟑 ×𝟐 𝟑 ×𝟑 𝟎 ×𝟑 𝟑 = 𝟐 −𝟏+𝟑+𝟑 ×𝟑 𝟏+𝟎+𝟑 = 𝟐 𝟓 ×𝟑 𝟒 Answer 𝟐 𝟓 ×𝟑 𝟒

Example 6 จงหาผลลัพธ์ของ 𝟑 𝟗 × 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 𝟗 × 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟎 = Solution 𝟑 𝟗+𝟒−𝟏𝟎 = 𝟑 𝟑 = 𝟐𝟕 Answer 𝟐𝟕 Example 7 จงหาผลลัพธ์ของ 𝟐 𝟐 × 𝟐 𝟕 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 𝟐 × 𝟐 𝟕 𝟐 𝟏𝟏 = Solution 𝟐 𝟐+𝟕−𝟏𝟏 = 𝟐 −𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 Answer

Example 8 จงหาผลลัพธ์ของ (−𝟓) 𝟒 × 𝟐 𝟎 ×𝟏𝟐𝟓 𝟓 −𝟑 ในรูปของเลขยกกำลัง (−𝟓) 𝟒 × 𝟐 𝟎 ×𝟏𝟐𝟓 𝟓 −𝟑 = 𝟓 𝟒 ×𝟏× 𝟓 𝟑 𝟓 −𝟑 Solution = 𝟓 𝟒+𝟑+𝟑 = 𝟓 𝟏𝟎 Answer 𝟓 𝟏𝟎 Example 9 จงหาผลลัพธ์ของ 𝒂 −𝟐 × 𝒂 𝟔 𝒂 −𝟑 เมื่อ 𝒂 ≠𝟎 𝒂 −𝟐 × 𝒂 𝟔 𝒂 −𝟑 = Solution 𝒂 −𝟐+𝟔+𝟑 = 𝒂 𝟕 Answer 𝒂 𝟕

Example 10 จงหาผลลัพธ์ของ 𝐚 −𝟐 𝐛 −𝟏 𝐜 −𝟑 𝟐 𝐚 𝟐 −𝟏 𝐛 −𝟑 𝐜 𝟐 −𝟏 เมื่อ 𝐚 , 𝐛 และ 𝐜 ≠𝟎 𝐚 −𝟐 𝐛 −𝟏 𝐜 −𝟑 𝟐 𝐚 𝟐 −𝟏 𝐛 −𝟑 𝐜 𝟐 −𝟏 = 𝐚 −𝟒 𝐛 −𝟐 𝐜 −𝟔 𝐚 −𝟐 𝐛 −𝟑 𝐜 𝟐 −𝟏 Solution = 𝐚 𝟒 𝐛 𝟐 𝐜 𝟔 𝐚 𝟐 𝐛 𝟑 𝐜 −𝟐 = 𝐚 𝟒−𝟐 𝐛 𝟐−𝟑 𝐜 𝟔+𝟐 = 𝐚 𝟐 𝐛 −𝟏 𝐜 𝟖 = 𝐚 𝟐 𝐜 𝟖 𝐛 𝐚 𝟐 𝐜 𝟖 𝐛 Answer

4. การนำไปใช้ การเขียนแสดงจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ทำไมต้องเขียนในรูปของสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ด้วย เนื่องจากจำนวนบางจำนวนมีค่ามากๆ หรือ บางจำนวนมีค่าน้อย ๆ จึงไม่เหมาะที่จะเขียน ให้ครบทุก ๆ ตัว ซึ่งพบมากในทางวิทยาศาสตร์ รูปทั่วไปคือ เมื่อ และ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 1) 50,000 = 5 × 10,000 = 𝟓×𝟏𝟎 𝟒 2) 2,819,000 = 2,819 × 1,000 = (𝟐.𝟖𝟏𝟗×𝟏𝟎 𝟑 ) ×𝟏𝟎 𝟑 = 𝟐.𝟖𝟏𝟗×𝟏𝟎 𝟔 3) 11,342,108 = 𝟏.𝟏𝟑𝟒𝟐𝟏𝟎𝟖×𝟏𝟎 𝟕

ตัวอย่าง การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อยๆให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 𝟗 𝟏,𝟎𝟎𝟎 ตัวอย่าง 1) 0.009 = = 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟗×𝟏𝟎 −𝟑 𝟒𝟐𝟕 𝟏,𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎 2) 0.000427 = = 𝟒.𝟐𝟕× 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟒.𝟐𝟕×𝟏𝟎 𝟐−𝟔 = 𝟒.𝟐𝟕×𝟏𝟎 −𝟒

สรุปหลักการ ถ้าจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม ให้นับจากขวามือย้อนไปทางซ้ายมือจนเหลือตัวเลขเพียงตัวเดียว ใส่จุดทศนิยมหลังตัวเลขนั้น แล้วคูณด้วย 10 ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เท่ากับตัวเลขที่นับไปทางซ้ายมือนั้น ถ้าจำนวนที่กำหนดให้เป็นทศนิยมที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์จุด (0. ...) ให้นับหลังจากจุดตั้งแต่ทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่งไปทางขวามือจนได้ตัวเลขหนึ่งที่ไม่ใช่ 0 ใส่จุดทศนิยมหลังตัวเลขนั้น แล้วคูณด้วย 10 ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบเท่ากับตัวเลขที่นับไปทางขวามือนั้น

1) การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 70,000 = 𝟕×𝟏𝟎 𝟒 30,900,000 = 𝟑.𝟎𝟗×𝟏𝟎 𝟕 500,021 = 𝟓.𝟎𝟎𝟎𝟐𝟏×𝟏𝟎 𝟓 2) การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ 0.0007 = 𝟕×𝟏𝟎 −𝟒 0.000095 = 𝟗.𝟓×𝟏𝟎 −𝟓 0.001384 = 𝟏.𝟑𝟖𝟒×𝟏𝟎 −𝟑