วงรี ( Ellipse)

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1. เขียนความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงรี เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของกราฟวงรีให้ และเขียนกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้ 2. เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของกราฟวงรีให้ สามารถเขียนความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปวงรีได้ 3. นำความรู้เรื่องวงรีไปใช้แก้ปัญหาได้

บทนิยาม วงรี คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ ไปยังจุดคงที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวมากกว่าระยะห่างระหว่าง จุดคงที่ทั้งสอง Y จุดใดๆ จุดคงที่ จุดคงที่ จากบทนิยาม จุดคงที่ เรียกว่า โฟกัสของวงรี X จุดศูนย์กลาง

P(x,y) a F c b ส่วนต่างๆของวงรี แกนโท B จุดโฟกัส จุดโฟกัส จุดศูนย์กลาง A A F F X จุดยอด c b จุดยอด แกนเอก B

จุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสองเรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงรี จุดที่เส้นตรงซึ่งลากผ่านโฟกัสทั้งสองตัดวงรีคือ A และ A เรียกว่า จุดยอดของวงรี ส่วนของเส้นตรง AA เรียกว่าแกนเอก ( major axis ) ยาว 2a หน่วย ส่วนของเส้นตรง BB เรียกว่าแกนโท ( minor axis ) ยาว 2b หน่วย ให้ P(x , y) เป็นจุดใดๆ บนวงรี ระยะระหว่างโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2c หน่วย จากบทนิยาม จะได้ PF + PF = 2a ( ค่าคงตัว ) โดยที่ 2a > 2c

1. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0 , 0 ) 1. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0 , 0 ) 1) แกนเอกอยู่บนแกน X Y แกนโท (0,b) B P(x , y) โฟกัส โฟกัส b c A X (-a,0) A (a,0) F(c,0) C(0,0) F(-c,0) จุดยอด จุดยอด a แกนเอก B (0,-b)

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่จุด C(0 , 0) 2. โฟกัสอยู่ที่จุด F(c , 0) และ F(- c , 0) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A(a , 0) และ A(- a , 0) 4. แกนเอกอยู่บนแกน X ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P(x ,y) ใดๆบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง มีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

2) แกนเอกอยู่บนแกน Y a c b จุดยอด แกนเอก A (0,a) โฟกัส a F (0,c) c แกนโท b B (-b,0) B (b,0) C(0,0) X โฟกัส F (0,-c) P(x,y) A (0,-a) จุดยอด

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่จุด C( 0 , 0 ) 2. โฟกัสอยู่ที่จุด F( 0 , c ) และ F( 0 , - c ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( 0 , a ) และ A( 0 , - a ) 4. แกนเอกอยู่บนแกน Y ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรีไปยังโฟกัส ทั้งสองมีค่าคงตัวเท่ากับ 2a

ตัวอย่างที่ 1 จากสมการของวงรี 9x2 + 4y2 = 36 จงหาโฟกัส จุดยอด จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานโดยนำ 36 หารตลอดทั้งสองข้างของสมการ จะได้ สมการ หรือ เป็นวงรีที่มีแกนเอกบนแกน Y และ a2 = 9 , a = 3 b2 = 4 , b = 2 หาค่า c จาก b2 = a2 - c2 c2 = 9 – 4 c = ดังนั้น โฟกัสอยู่ที่ F(0 , c) = ( 0 , ) และ F(0 , c) = (0 , - ) จุดยอดอยู่ที่จุด A(0 , a) = ( 0 , 3 ) และ A(0 , a ) = (0 , - 3 )

เขียนกราฟได้ดังนี้ a c B (-2,0) Y จุดยอด โฟกัส แกนเอก F (0, ) แกนโท (0,3) โฟกัส แกนเอก F (0, ) a c แกนโท B' (2,0) B (2,0) X C(0,0) b โฟกัส F (0,- ) A (0,-3) จุดยอด

(0,3) (- 4,0) ( 4,0) (-5,0) (5,0) a = 5 จุดยอด จุดยอด (0,-3) ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของวงรีซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y) ใดๆ บนวงรี ไป ยังจุด (- 4 , 0 ) และ ( 4 , 0 ) ซึ่งเป็นโฟกัสของวงรีเท่ากับ 10 หน่วย วิธีทำ นำสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ไปเขียนกราฟคร่าวๆดังนี้ Y จะได้วงรีมีแกนเอกบนแกน X ซึ่งมีสมการในรูป โฟกัสอยู่ที่จุด ( - 4 , 0) และ ( 4 , 0) จะได้ c = 4 (0,3) ผลบวกคงตัวมีค่า 10 หน่วย จะได้ 2a = 10 b (- 4,0) ( 4,0) (-5,0) (5,0) a = 5 หาค่า b จาก b2 = a2 - c2 X c a จุดยอด b2 = 25 – 16 จุดยอด (0,-3) b2 = 9 หรือ b = 3 นำ a = 5 , b = 3 ไปแทนค่าในสมการ จะได้ (รูปมาตรฐาน) หรือ 9x2 + 25y2 - 225 = 0 (รูปทั่วไป ) ดังนั้นสมการวงรีที่ต้องการคือ หรือ 9x2 + 25y2 - 225 = 0

2. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h, k) 1) แกนเอกขนานกับแกน X Y แกนโท Y (h,k+b) B P(x , y) โฟกัส จุดยอด โฟกัส b c A (h-a,k) A (h+a,k) F C(h,k) F (h+c,k) X (h-c,k) จุดยอด k a แกนเอก (h,k-b) B O X h

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( h ,k ) 2. โฟกัสอยู่ที่ จุด F( h + c , k ) และ F( h - c , k ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( h + a , k ) และ A( h - a , k ) 4. แกนเอกขนานกับแกน X ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง มีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

2) แกนเอกขนานกับแกน Y k h จุดยอด A (h,k+a) Y แกนเอก โฟกัส F (h,k+c) a c แกนโท b (h-b,k) (h+b,k) B B X C(h,k) k F (h,k-c) P(x , y) โฟกัส จุดยอด A (h,k-a) X O h

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆบนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 – c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่ C( h , k ) 2. โฟกัสที่จุด F( h , k+c ) และ F( h , k-c ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( h , k+a ) และ A( h , k-a ) 4. แกนเอกขนานกับแกน Y ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง มีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

เขียนกราฟคร่าวๆได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 3 จงหาสมการของวงรี ซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุด P( x , y ) ใดๆ บนวงรีไปยังจุด (1 , 6 ) และ ( 1 , –2 ) เท่ากับ 12 หน่วย เขียนกราฟคร่าวๆได้ดังนี้ วิธีทำ จะได้วงรี มีแกนเอกขนานกับแกน Y มีสมการในรูป y A F(1,6) ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x , y ) ใดๆบนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง เท่ากับ 12 หน่วย C(1,2) O x จะได้ 2a = 12 หรือ a = 6 F( 1,–2) A

โฟกัสอยู่ที่จุด F(h , k+c ) = ( 1 , 6 ) จะได้ h = 1 , k+c = 6 ……(1) และ F(h , k-c )= ( 1 , - 2 ) จะได้ k- c = -2 ……(2) 2k = 4 k = 2 หาค่า b จาก b2 = a2 – c2 แทนค่า k = 2 ใน (1) จะได้ c = 4 = 36 – 16 = 20 ,b = แทนค่า h = 1 , k = 2 , a = 6 , b = ในสมการ จะได้ สมการคือ รูปมาตรฐาน

ทำ ให้อยู่ในรูปทั่วไป จะได้ เขียนในรูปทั่วไป

วิธีทำ จัดสมการ x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงหาโคออร์ดิเนตของจุดศูนย์กลาง โฟกัส จุดยอด และ ความยาวของแกน ทั้งสองของวงรีที่มีสมการเป็น x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 พร้อมทั้งเขียนกราฟ วิธีทำ จัดสมการ x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ดังนี้ (x2 + 4x ) + 2 (y2 – 2y ) = -2 (x2 + 4x + 4 ) + 2 (y2 – 2y + 1 ) = -2 + 4 + 2 (x + 2 )2 + 2( y – 1)2 = 4 นำ 4 หารทั้งสองข้าง เทียบสมการ จะได้ h = - 2 , k = 1 , a2 = 4 , b2 = 2 a = 2 , b = หาค่า c จาก b2 = a2 – c2 2 = 4 - c2 c2 = 2 , c =

จุดยอด จุดยอด จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(h, k) = ( - 2 , 1) ความยาวแกนเอก คือ 2a เท่ากับ 4 หน่วย โฟกัสอยู่ที่จุด F( h + c , k ) = (- 2 + , 1 ) และ F( h - c , k ) = (- 2 - , 1 ) ความยาวแกนโท คือ 2b เท่ากับ หน่วย จุดยอดอยู่ที่จุด A( h + a , k ) = (- 2 +2 , 1 ) = ( 0 , 1 ) และ A( h - a , k ) = (- 2 –2 , 1 ) = ( - 4 , 1 ) Y Y (-2,1+ ) หน่วย จุดยอด จุดยอด ( - 2- ,1) ( - 2+ , 1) X (-4,1) C(-2,1) (0,1) O X (-2,1- )

จบการนำเสนอ