นางสาวอารมณ์ อินทร์ภูเมศร์ สื่อการเรียนการสอน เพาเวอร์พอยท์ เรื่องวงรี จัดทำโดย นางสาวอารมณ์ อินทร์ภูเมศร์ โรงเรียนวัดบวรนิเวศ สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กรุงเทพมหานคร เขต 1

วงรี ( Ellipse)

เขียนความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงรี เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของวงรีให้ ผลการเรียนรู้ เขียนความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงรี เมื่อกำหนดส่วนต่าง ๆ ของวงรีให้ และเขียนกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้

บทนิยาม วงรี คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ ไปยังจุดคงที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวมากกว่าระยะห่างระหว่าง จุดคงที่ทั้งสอง Y จุดใดๆ จุดคงที่ จุดคงที่ จากบทนิยาม จุดคงที่ เรียกว่า โฟกัสของวงรี X จุดศูนย์กลาง

1. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0 , 0 ) 1. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0 , 0 ) 1) แกนเอกอยู่บนแกน X Y แกนโท (0,b) B P(x , y) โฟกัส โฟกัส b c A (-a,0) A (a,0) X C(0,0) F(c,0) F(-c,0) จุดยอด จุดยอด a แกนเอก B (0,-b)

จุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสองเรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงรี จุดที่เส้นตรงซึ่งลากผ่านโฟกัสทั้งสองตัดวงรีคือ A และ A เรียกว่า จุดยอดของวงรี ส่วนของเส้นตรง AA เรียกว่าแกนเอก ( major axis ) ยาว 2a หน่วย ส่วนของเส้นตรง BB เรียกว่าแกนโท ( minor axis ) ยาว 2b หน่วย ให้ P(x , y) เป็นจุดใดๆ บนวงรี ระยะระหว่างโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2c หน่วย จากบทนิยาม จะได้ PF + PF = 2a ( ค่าคงตัว ) โดยที่ 2a > 2c

จากบทนิยาม ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่จุด C(0 , 0) 2. โฟกัสอยู่ที่จุด F(c , 0) และ F(- c , 0) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A(a , 0) และ A(- a , 0) 4. แกนเอกอยู่บนแกน X ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P(x ,y) ใดๆบนวงรี ไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

2) แกนเอกอยู่บนแกน Y a c b จุดยอด แกนเอก A (0,a) a โฟกัส F(0,c) c แกนโท b B (-b,0) B (b,0) X C(0,0) โฟกัส P(x,y) F(0,-c) A (0,-a) จุดยอด

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่จุด C( 0 , 0 ) 2. โฟกัสอยู่ที่จุด F( 0 , c ) และ F( 0 , - c ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( 0 , a ) และ A( 0 , - a ) 4. แกนเอกอยู่บนแกน Y ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรี ไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

เป็นวงรีที่มีแกนเอกบนแกน Y และ a2 = 9 , a = 3 ตัวอย่างที่ 1 จากสมการของวงรี 9x2 + 4y2 = 36 จงหาโฟกัส จุดยอด และเขียนกราฟของวงรี วิธีทำ จากสมการ 9x2 + 4y2 = 36 จัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานโดยนำ 36 หารตลอดทั้งสองข้างของสมการ จะได้ สมการ หรือ เป็นวงรีที่มีแกนเอกบนแกน Y และ a2 = 9 , a = 3 b2 = 4 , b = 2 หาค่า c จาก b2 = a2 - c2 c2 = 9 – 4 , c = ดังนั้น โฟกัสอยู่ที่ F(0 , c) = ( 0 , ) และ F(0 , - c) = ( 0 , - ) จุดยอดอยู่ที่จุด A(0 , a) = ( 0 , 3 ) และ A(0 , -a ) = (0 , - 3 )

เขียนกราฟได้ดังนี้ a c B (-2,0) Y โฟกัส แกนเอก F (0, ) แกนโท B' (0,3) โฟกัส แกนเอก F (0, ) a c แกนโท B' (-2,0) B (2,0) X C(0,0) b โฟกัส F (0,- ) A (0,-3)

ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของวงรีซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y) ใดๆ บนวงรี ไปยังจุด (- 4 , 0 ) และ ( 4 , 0 ) ซึ่งเป็นโฟกัสของวงรี เท่ากับ 10 หน่วย วิธีทำ นำสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ไปเขียนกราฟคร่าวๆดังนี้ Y (-5,0) (5,0) X O (- 4,0) ( 4,0) จะได้วงรีมีแกนเอกบนแกน X ซึ่งมีสมการในรูป โฟกัสอยู่ที่จุด ( - 4 , 0) และ ( 4 , 0) จะได้ c = 4 ผลบวกคงตัวมีค่า 10 หน่วย จะได้ 2a = 10 a = 5

หาค่า b จาก b2 = a2 - c2 b2 = 25 – 16 b2 = 9 , b = 3 นำ a = 5 และ b = 3 ไปแทนค่าในสมการ จะได้ (รูปมาตรฐาน) หรือ 9x2 + 25y2 - 225 = 0 (รูปทั่วไป) ดังนั้นสมการวงรีที่ต้องการคือ หรือ 9x2 + 25y2 - 225 = 0

2. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (h, k) 1) แกนเอกขนานกับแกน X Y แกนโท Y (h,k+b) B P(x , y) โฟกัส จุดยอด จุดยอด โฟกัส b c A (h-a,k) A (h+a,k) C(h,k) F (h+c,k) F (h-c,k) X k a แกนเอก (h,k-b) B O X h

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆ บนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 - c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( h ,k ) 2. โฟกัสอยู่ที่ จุด F( h + c , k ) และ F( h - c , k ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( h + a , k ) และ A( h - a , k ) 4. แกนเอกขนานกับแกน X ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรี ไปยังโฟกัสทั่งสองมีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

2) แกนเอกขนานกับแกน Y k h จุดยอด A (h,k+a) Y แกนเอก โฟกัส F (h,k+c) a c แกนโท b B (h-b,k) B (h+b,k) X C(h,k) k F (h,k-c) P(x , y) โฟกัส จุดยอด A (h,k-a) X O h

ให้ P( x ,y ) เป็นจุดใดๆบนวงรี จะได้สมการ โดยที่ a > b และ b2 = a2 – c2 เป็นสมการวงรีที่มี 1. จุดศูนย์กลางที่ C( h , k ) 2. โฟกัสที่จุด F( h , k+c ) และ F( h , k-c ) 3. จุดยอดอยู่ที่จุด A( h , k+a ) และ A( h , k-a ) 4. แกนเอกขนานกับแกน Y ***5. ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x ,y ) ใดๆบนวงรี ไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าคงตัวเท่ากับ 2a หน่วย

ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x , y ) ใดๆ บนวงรีไปยังจุด (1 , 6 ) และ ( 1 , –2 ) เท่ากับ 12 หน่วย วิธีทำ เขียนกราฟคร่าวๆได้ดังนี้ จะได้วงรี มีแกนเอกขนานกับแกน Y มีสมการในรูป Y A F(1,6) ผลบวกของระยะทางจากจุด P( x , y ) ใดๆ บนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสอง เท่ากับ 12 หน่วย C O X จะได้ 2a = 12 หรือ a = 6 F( 1,–2) A

โฟกัสอยู่ที่จุด F(h , k+c ) = ( 1 , 6 ) จะได้ h = 1 , k+c = 6 ……(1) และ F(h , k- c )= ( 1 , - 2 ) จะได้ k- c = -2 ……(2) 2k = 4 k = 2 แทนค่า k = 2 ใน (1) จะได้ c = 4 หาค่า b จาก b2 = a2 – c2 = 36 – 16 = 20 , b = แทนค่า h = 1 , k = 2 , a = 6 , b = ในสมการ จะได้ สมการคือ รูปมาตรฐาน

จัดสมการ ให้อยู่ในรูปทั่วไป จะได้ เขียนในรูปทั่วไป

วิธีทำ จัดสมการ x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงหาโคออร์ดิเนตของจุดศูนย์กลาง โฟกัส จุดยอด และ ความยาวของแกน ทั้งสองของวงรีที่มีสมการเป็น x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 พร้อมทั้งเขียนกราฟ วิธีทำ จัดสมการ x2 + 2y2 + 4x – 4y + 2 = 0 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน ดังนี้ (x2 + 4x ) + 2 (y2 – 2y ) = -2 (x2 + 4x + 4 ) + 2 (y2 – 2y + 1 ) = -2 + 4 + 2 (x + 2 )2 + 2( y – 1)2 = 4 นำ 4 หารทั้งสองข้าง เทียบสมการ จะได้ h = - 2 , k = 1 , a2 = 4 , a = 2 b2 = 2 , b = หาค่า c จาก b2 = a2 – c2 2 = 4 - c2 c2 = 2 , c =

จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(h, k) = ( - 2 , 1) ความยาวแกนเอก คือ 2a เท่ากับ 4 หน่วย โฟกัสอยู่ที่จุด F( h + c , k ) = (- 2 + , 1 ) และ F( h - c , k ) = (- 2 - , 1 ) ความยาวแกนโท คือ 2b เท่ากับ หน่วย จุดยอดอยู่ที่จุด A( h + a , k ) = (- 2 +2 , 1 ) = ( 0 , 1 ) และ A( h - a , k ) = (- 2 –2 , 1 ) = ( - 4 , 1 ) Y Y B(-2, 1+ ) F( - 2- , 1) F( - 2+ , 1) X A(-4,1) A(0,1) C(-2,1) O X B(-2, 1- )

จบการนำเสนอ