Mathematics for computing I Lecture 5: Sets Basic definitions Set operations Venn diagrams Set identities 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.1. Sets เป็นการรวมกลุ่มของสมาชิก (elements or members)ที่มีคุณสมบัติร่วมกัน เช่น เซตของโต๊ะในห้องเรียน universal set U คือ เซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดที่พิจารณา ประกอบด้วยเซตต่างๆที่มีคุณสมบัติร่วมกัน สัญลักษณ์ : การเขียนเซ็ตแบบแจกแจงสมาชิก: S =  a, b, c, d  =  b, c, a, d, d  Note: 1. ถ้าสมาชิกซ้ำกัน ถือเป็นสมาชิกเพียงตัวเดียว 2. ลำดับของสมาชิกไม่สำคัญ A = {2,4,6} , B = {6,4,2} จะได้ว่า A = B 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.1. Sets สัญลักษณ์ (continued): การเขียนเซ็ตโดยใช้ predicates ( a set builder notation ) กำหนดดังนี้ S =  x P(x) } S contains all the elements from U which make the predicate P true. e.g. S = { x  x is a president of the U.S. } read as “S is the set of all x such that x is a president of the United States.” Brace notation with ellipsis: S =  , -3, -2, -1  negative integers. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.1. Sets Common Universal Sets R = เซ็ตของจำวนจริง(real numbers) N = เซ็ตของจำนวนธรรมชาติ =  0,1, 2, 3,  , the counting numbers Z = เซ็ตของจำนวนเต็ม =  , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,   Z+ เซ็ตของจำนวนเต็มบวก 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.1. Sets การเป็นสมาชิกของเซ็ต สัญลักษณ์: x is a member of S หรือ x is an element of S: x  S x is not an element of S: x S ตัวอย่าง: ให้ S เซ็ตของจำนวนเต็มจาก 1 ถึง 12. แล้ว 5  S แต่ 15  S 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.2. Subsets เซ็ต A เป็นสับเซ็ต( subset) ของเซ็ต B ถ้า ทุกสมาชิกของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B หรือ x [xA  xB] สัญลักษณ์ : A  B or B  A ตัวอย่าง: กำหนด U =  1, 2, 3,  , 11, 12  และ T =  1, 2, 3, 6  ดังนั้น T  U. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.2. Subsets Some definitions: เซ็ตใดๆจะเป็นสับเซ็ตของตัวเองเสมอ ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ เรากล่าวว่า เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกของเซต A และ B เหมือนกันทุกตัว นั่นคือ A = B iff A  B and B  A ถ้า A  B, แต่ A  B เรากล่าวว่า A เป็น proper subset ของ B. สัญลักษณ์ : A  B. ตัวอย่าง: ถ้า A = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 3, 1 }, C = { 3 } ดังนั้น B = A, C  A, C  B. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.2. Subsets Some definitions: เซ็ตว่าง ( void set, the null set, or the empty set) คือ เซ็ตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ : .  เป็นสับเซ็ตของเซ็ตใดๆ (Why? Hint: think about its def) เซตกำลัง( power set ) ของ A คือเซตที่มีสมาชิกทั้งหมดเป็นสับเซตของเซต A. สัญลักษณ์ : P(A). P({1})={,{1}} เซ็ตที่มีสมาชิก n สมาชิกจะมีสับเซ็ตทั้งหมด 2n สับเซ็ต 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.2. Subsets Some definitions (continued): The cardinality of A is the number of (distinct) elements in A. สัญลักษณ์ : |A|. If the cardinality is a natural number (in N), then the set is called finite, else infinite. e.g. N (set of natural number) is infinite since |N| is not a natural number. จะได้ว่าถ้า |A| = n แล้ว |P(A)| = 2n. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.2. Subsets Some definitions (continued): ตัวอย่าง: ถ้า A =  a, b  จะได้ว่า The power set of A: P(A) = , a, b, a,b  The cardinality of A: |A| = |a, b| = 2 |P(A)| = |P(a, b)| = 4 A , P(A) เป็นเซ็ตจำกัด 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations The intersection of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซ็ต A และ B สัญลักษณ์ : A  B A  B =  x  xA  xB  ถ้า A  B = ø เรากล่าวว่า A และ B เป็น disjoint set. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations The union of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซ็ต A หรือ B สัญลักษณ์ : A  B A  B =  x  xA  xB  The cardinality of the union of A and B: จงหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ |AB| ? |A| ? |B| ? |AB| |A| and |B| counts the elements that is in A and B. This includes elements in both A and B. This means the latter will be counted twice. So, if we subtract from |A| + |B| elements in both A and B will only be counted once. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations The complement of A: คือเซ็ต U – A สำหรับ universal set U สัญลักษณ์ :  x  (xA)  สัญลักษณ์ แบบอื่นๆ: Ac or  x  xA . 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations The difference of A and B: คือเซ็ตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซ็ต A แต่ไม่อยู่ในเซ็ต B. สัญลักษณ์ : A – B A – B =  x  xA  xB  หรืออาจเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า complement of B relative to A, หรือเขียนแทนด้วย The symmetric difference of A and B: คิอเซ็ต (A – B)  (B – A) สัญลักษณ์ : A  B 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations ตัวอย่าง: U =  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  A=  1, 2, 3, 4, 5 , B =  4, 5, 6, 7, 8 . ดังนั้น 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.3. Set Operations The Cartesian product of A with B: คือเซ็ตที่มีสมาชิกทั้งหมดเป็นคู่อันดับ (a, b), เมื่อ a เป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B สัญลักษณ์ : A  B A  B =  (a, b)aA  bB  ตัวอย่าง: Let A =  1, 2, 3  and B =  3, 4 . Then A  B =  (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)  B  A =  (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)  A  B  B  A จงหา |A  B|? 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.4. Venn Diagrams Venn diagrams: เป็นแผนภาพที่ใช้อธิบายในเรื่อง operation ของ sets โดยจะใช้ ภาพวงกลม แทน เซต และใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทน Universal set U Appropriate region is shaded to represent the given set operation. For 2 sets For 3 sets 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.4. Venn Diagrams 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.4. Venn Diagrams 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.4. Venn Diagrams Question: What’s the Venn Diagram of A  B? Why  is also used in logic as Exclusive OR? 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities Set identities correspond to the logical equivalences. Most important set identities: Identity Name A   = A A  U = A Identity laws A  U = U A   =  Domination laws A  A = A A  A = A Idempotent laws Complementation laws 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities Most important set identities: Identity Name A  B = B  A A  B = B  A Commutative laws A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Associative laws A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Distributive laws De Morgan’s laws 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities ตัวอย่าง 1: Use set builder notation and logical equivalence to show that Proof: Q.E.D. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities ตัวอย่าง2 จงพิสูจน์ว่า เมื่อ A, Bเป็นเซตใด ๆ พิสูจน์ ให้ ว่า x  A  B จะได้ว่า x  A  B ดังนั้น x  A หรือ x  B x  A หรือ x  B ดังนั้น x  A  B 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities แสดงว่า A  B  A  B สมมติว่า x  A  B ดังนั้น x  A หรือ x  B จะได้ว่า x  A หรือ x  B ดังนั้น x  A  B x  A  B ดังนั้น A  B  A  B 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities Membership Tables เหมือนการสร้างตารางเช่นเดียวกับตรรกศาสตร์ คอลัมน์แทนนิพจน์ของเซ็ต Rows for all combinations of memberships in constituent sets. Use “1” to indicate membership in the derived set, “0” for non-membership. Prove equivalence with identical columns. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities ตัวอย่าง 3 พิสูจน์ว่า (A∪B)−B = A−B. 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities ตัวอย่าง 4: Use a membership table to show that A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A B C BC A(BC) AB AC (AB)(AC) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.5. Set Identities ตัวอย่าง 5: กำหนดให้ A, B, และ C เป็นเซตใดๆ จงพิสูจน์ว่า Proof: 2006 Mathematics for computing I

Mathematics for computing I 5.6. Further Readings Basic definitions : Section 1.5. Set operations : Section 1.5. Venn diagrams : Section 1.5. Set identities : Section 1.5. 2006 Mathematics for computing I