ระบบอนุภาค

คือจุดที่น้ำหนักรวมของวัตถุตกผ่าน จุดศูนย์ถ่วง (Center of Gravity) : คือจุดที่น้ำหนักรวมของวัตถุตกผ่าน จุดศูนย์ถ่วง ( C. G. ) ของระบบมวล ที่ยึดติดกันด้วยแกนเบา จะมีลักษณะดังรูป m1 m2 m3 (m1+m2+m3)g C.G.

การหาตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง กรณีจุดหมุนอยู่ที่ปลาย : คิดโมเมนต์รอบจุด A จะได้ ดังนั้นตำแหน่งของ C.G.

กรณีจุดหมุนอยู่ที่ตรงกลาง : คิดโมเมนต์รอบจุด O จะได้ ดังนั้นตำแหน่งของ C.G.

จุดศูนย์กลางมวล ( center of mass ) คือตำแหน่งเฉลี่ยของมวลรวม มีความสำคัญในกรณีที่วัตถุอยู่ห่างไกลจากแรงดึงดูดของดวงดาวใด ๆ เพราะจะทำให้มวลอยู่ในสภาพไร้น้ำหนัก การหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลอาศัยการหาโมเมนต์ของมวล แทนโมเมนต์ของแรง

คิดโมเมนต์รอบแกน Y จะได้ คิดโมเมนต์รอบแกน X จะได้ การหาตำแหน่งของ C.M. กรณีระบบมวล 3 ก้อน : คิดโมเมนต์รอบแกน Y จะได้ คิดโมเมนต์รอบแกน X จะได้

จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค : ถ้าระบบมี n อนุภาค ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น องค์ประกอบ :

จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค ที่มีการกระจายมวลอย่างไม่ต่อเนื่องใน 1 มิติ

จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค ที่มีการกระจายมวลอย่างไม่ต่อเนื่องใน 3 มิติ เมื่อ

ตัวอย่าง ระบบหนึ่งประกอบด้วยอนุภาคสองอนุภาคมวล 2. 0 kg และ 3 ตัวอย่าง ระบบหนึ่งประกอบด้วยอนุภาคสองอนุภาคมวล 2.0 kg และ 3.0 kg ห่างกัน 10.0 cm ดังแสดงในรูป จงหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบสองอนุภาคนี้ 10.0 cm

วิธีทำ แบ่งแผ่นเหล็กออกเป็น 3 แผ่นดังรูป ตัวอย่าง 4(ก) แผ่นเหล็กมวลสม่ำเสมอรูปร่างเหมือนส่วนที่แรเงา มีสเกลในหน่วย เซนติเมตร จงหาพิกัดของศูนย์กลางมวล วิธีทำ แบ่งแผ่นเหล็กออกเป็น 3 แผ่นดังรูป จาก และ

ตัวอย่าง ระบบหนึ่งประกอบด้วยอนุภาค 3 อนุภาคใน Cartesian coordinates ซึ่งมีมวล 3, 2 และ 5 kg ตามลำดับ อนุภาคแรกอยู่ที่จุด (1,1,0) อนุภาคที่สองอยู่ที่จุด (1,2,1) และอนุภาคที่สามอยู่ที่จุด (-1,0,1) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคนี้

จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุเป็นก้อน : หาตำแหน่งของจุด C. M. โดยการอินทิเกรต องค์ประกอบ :

การหาตำแหน่งของจุด C : จุดเซนทรอยด์ (Centroid) คือตำแหน่งเฉลี่ยที่หาได้จากรูปทรงเรขาคณิตของวัตถุ การหาตำแหน่งของจุด C : จุด C ของปริมาตร องค์ประกอบ : เมื่อ เป็นปริมาตรทั้งหมด

จุด C ของพื้นที่ องค์ประกอบ : เป็นพื้นที่ทั้งหมด

จุด C ของเส้น องค์ประกอบ : เป็นความยาวทั้งหมด

จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค ที่มีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่องใน 3 มิติ เมื่อ

การกระจายมวลอย่างต่อเนื่องในหนึ่ง สอง หรือ สามมิติ

ตัวอย่าง วัตถุชิ้นหนึ่งมีลักษณะเป็นแท่งโลหะยาว 2.0 m โดยมีมวลกระจายสม่ำเสมอ มีมวลต่อหน่วยความยาว (linear mass density) ถ้าแท่งโลหะนี้วางตัวตามแนวแกน xโดยมีปลายข้างหนึ่งอยู่ที่จุด x=0จงคำนวณหาจุดศูนย์กลางมวลของแท่งโลหะนี้

คำถาม

ความสมมาตรรอบจุดศูนย์กลางมวล ผลรวมของผลคูณของมวลกับระยะทางรอบจุด C.M. เป็นศูนย์ หรือ ผลรวมของโมเมนตัมรอบจุด C.M. เป็นศูนย์ หรือ

อนุภาค 3 อนุภาควางในระนาบ xy มีมวลและพิกัดดังนี้ มวล 3 กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด (3, -2) เมตร มวล 4 กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด (-2, 4) เมตร มวล 1 กิโลกรัม อยู่ที่พิกัด (2, 2) เมตร จงหาพิกัดของศูนย์กลางมวล จาก และ

ตัวอย่าง 4.1 จงหาเซนทรอยด์ของลวดงอครึ่งวงกลมโดยการอินติเกรต จาก ในที่นี้

ตัวอย่าง 4.2 จงหาเซนทรอยด์ของแผ่นสามเหลี่ยม ตัวอย่าง 4.2 จงหาเซนทรอยด์ของแผ่นสามเหลี่ยม จากสามเหลี่ยมคล้าย แทนค่า

ปริมาตรของครึ่งทรงกลม ตัวอย่าง 4.3 จงหาเซนทรอยด์ของปริมาตรครึ่งทรงกลมตัน รัศมีของแนวงกลม ปริมาตรของแผ่น ปริมาตรของครึ่งทรงกลม จาก

ตัวอย่าง 4(ข) เด็กมวล 40 กิโลกรัม ยืนที่ท้ายเรือยาว 4 เมตร มวลเรือ ตัวอย่าง 4(ข) เด็กมวล 40 กิโลกรัม ยืนที่ท้ายเรือยาว 4 เมตร มวลเรือ 70 กิโลกรัม ลอยอยู่นิ่งๆ โดยที่ท้ายเรือห่างสะพาน 3 เมตร มีเต่าตัวหนึ่งเกาะอยู่บนก้อนหินข้างหัวเรือดังรูป ถ้าเด็กเริ่มเดิน มา ทางหัวเรือเพื่อจับเต่า a. จงบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบทั้งหมด b. เมื่อเขามาถึงหัวเรือ เขาจะอยู่ห่างสะพานเท่าใด c. ถ้าเขาสามารถยื่นมือออกมาพ้นเรือได้ไกลที่สุด 1 เมตร เขาจะจับเต่าได้หรือไม่ (ไม่คิดแรงเสียดทานระหว่างเรือกับน้ำ)

b) ให้เด็กอยู่ห่างสะพานเป็นระยะ x เมตรเมื่อเดินถึงหัวเรือ วิธีทำ a ) เด็กเดินไปทางขวา เรือถอยมาทางซ้าย แต่ศูนย์กลางมวลของระบบอยู่ที่เดิม b) ให้เด็กอยู่ห่างสะพานเป็นระยะ x เมตรเมื่อเดินถึงหัวเรือ ก่อนเดิน : หลังเดิน : เนื่องจากผลคูณของมวลและตำแหน่งของจุด C. M. มีค่าคงตัว c) จับไม่ได้ เพราะเต่าอยู่ห่างสะพาน 7 m แต่เด็กเอื้อมได้ห่างสะพานแค่ 6.55 m

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันสำหรับระบบอนุภาค พิจารณาจุดศูนย์กลางของระบบในสามมิติ เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา ความเร็วของ cm โมเมนตัมรวมของระบบอนุภาค

เมื่อหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาอีกครั้ง เนื่องจากแรงภายในระหว่างอนุภาคหักล้างกันหมดเหลือเฉพาะแรงภายนอกที่กระทำต่ออนุภาค ดังนั้น