Boolean Algebra วัตถุประสงค์ของบทเรียน รู้จักวิธีการเขียนนิพจน์แบบบูล (Boolean expression) ในรูปแบบต่างๆ สามารถเขียนนิพจน์แบบบูลให้อยู่ในรูปแบบที่สั้นลงได้ ศึกษาวิธีแปลงนิพจน์แบบบูลไปเป็นวงจรผสม (combination circuit) 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra Boolean algebra คือระบบทางคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ชื่อ George Boole คิดขึ้นในปี ค.ศ. 1854 ซึ่งประกอบด้วย เซ็ตของสมาชิก (B) binary operation 2 อย่างคือ + และ . เครื่องหมาย = วงเล็บเพื่อแสดงลำดับของการทำ operation โดยที่ข้อความ (postulate) ต่อไปนี้ต้องเป็นจริงด้วย P1: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติปิด (closed) สำหรับทุก x,y  B x+y  B และ x.y  B 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra P2: เซ็ต B จะต้องประกอบด้วยสมาชิกที่มีคุณสมบัติเอกลักษณ์ (identity element) แสดงด้วย 0 หรือ 1 สำหรับทุก x  B 0+x = x+0 = x และ 1.x = x.1 = x P3: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติการสลับที่ (commutative) สำหรับทุก x,y  B x+y = y+x และ x.y = y.x 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra P4: operation + และ . ต้องมีคุณสมบัติการกระจาย(distributive) สำหรับทุก x,y,z  B x+(y.z) = (x+y).(x+z) และ x.(y+z) = (x.y)+(x.z) P5: สำหรับทุกสมาชิก x ใน B จะต้องมี x' ซึ่งเป็น compliment ของ x ซึ่งจะทำให้ x+x' = 1 และ x.x' = 0 P6: ในเซ็ต B จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยสองตัวที่ไม่เท่ากัน x,y  B โดยที่ x  y 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra: Rules and Theories Principle of Duality: ในพีชคณิตบูลีน expression ทางซ้ายมือและทางขวามือของเครื่องหมาย = จะยังคงเป็นจริง เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายระหว่าง + กับ . และ 1 กับ 0 ทฤษฎีอื่นๆ - x' จะมีเพียงค่าเดียวโดยจะขึ้นอยู่กับค่า x - สำหรับทุกสมาชิก x ในเซ็ต B x+1 = 1 และ x.0 = 0 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra: Rules and Theories - identity element จะเป็น complement ของ identity element ที่เหลือ 0' = 1 และ 1' = 0 - Idempotent law x+x = x และ xx = x - Involution law (x')' = x 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra: Rules and Theories - Absorption law x+xy = x และ x(x+y) = x - สำหรับทุกคู่ของสมาชิก x,y x+(x'.y) = x+y และ x.(x'+y) = xy - Operators + และ . มีคุณสมบัติ associative x+(y+z) = (x+y)+z และ x(yz) = (xy)z 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Algebra: Rules and Theories - DeMorgan’s law (x+y)' = x' y' (xy)' = x' +y' (ในระบบดิจิตอล สมาชิกในเซ็ต B คือ 0 และ 1 เท่านั้น) + คือ or-operation ในระบบลอจิก . คือ and-operation ในระบบลอจิก 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Formulas and Functions Boolean formula หรือ expression เป็นข้อความที่ประกอบด้วยค่าคงที่หรือตัวแปรทาง Boolean กับ Boolean operation ที่ใช้ในการอธิบายการทำงานของ Boolean function โดยจะอยู่ในรูปของ f(x,y,z) = Boolean expression หรือ f = Boolean expression โดยอาจจะอยู่ในรูปของ normal formula หรือ canonical formula 2/2550 A. Yaicharoen

Canonical Formulas เป็นการเขียน Boolean function ขึ้นจาก truth table โดยในแต่ละเทอมจะต้องมีตัวแปรครบทุกตัวแปร มีสองรูปแบบคือ 1. Minterm canonical formulas แต่ละเทอมจะอยู่ในรูปของผลคูณ แล้วจึงนำมาบวกกัน 2. Maxterm canonical formulas แต่ละเทอมจะอยู่ในรูปของผลบวก แล้วจึงนำมาคูณกัน 2/2550 A. Yaicharoen

Minterm Canonical Formulas อาจเรียกเป็น standard sum-of-products หรือ disjunctive canonical formulas สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ m-notation f(v1,v2,...,vn) = mi + mj + mk + ml โดยที่ 0  i,j,k,l  2n-1 หรือ f(v1,v2,...,vn) = m(i,j,k,l) 2/2550 A. Yaicharoen

Maxterm Canonical Formulas อาจเรียกเป็น standard product-of-sums หรือ conjunctive canonical formulas สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ M-notation f(v1,v2,...,vn) = Mi Mj Mk Ml โดยที่ 0  i,j,k,l  2n-1 หรือ f(v1,v2,...,vn) = M(i,j,k,l) 2/2550 A. Yaicharoen

Examples Normal form: f(x,y,z) = x'y+z Minterm canonical formulas: f(x,y,z) = x'yz'+x'yz+x'y'z+xy'z+xyz m-notation: f(x,y,z) = m2+m3+m1+m5+m7 f(x,y,z) = m(1,2,3,5,7) 2/2550 A. Yaicharoen

Examples Normal form: f(x,y,z) = (x'+z).(y+z) Maxterm canonical formulas: f(x,y,z) = (x+y+z).(x'+y+z).(x'+y'+z) M-notation: f(x,y,z) = M0.M4.M6 f(x,y,z) = ∏M(0,4,6) 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Expression Manipulation 1. Equation complementation เป็นการหา complement ของสมการโดยใช้กฎของ DeMorgan 2. Expansion about a variable เป็นการจัดให้อยู่ในรูป f(x1,...,xi,...,xn) = xig1+xig2 หรือ (xi+h1).(xi+h2) โดยที่ g1,g2,h1,h2 ไม่มี xi อยู่ด้วยเลย ซี่งจะใช้ Shannon’s expansion theorem ในการจัด f(x1,...,xi,...,xn) ให้อยู่ในรูป = xi.f(x1,...,1,...,xn)+xi'.f(x1,..., 0,...,xn) หรือ = [xi+f(x1,...,0,...,xn)].[xi'+f(x1,..., 1,...,xn)] 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Expression Manipulation 3. Equation simplification เป็นการหารูปที่สั้นที่สุดของสมการ โดยใช้กฎต่างๆของ Boolean algebra 4. Reduction theorem เป็นวิธีการทำให้ได้รูปสมการที่สั้นลงโดย ใช้ Shannon’s reduction theorems ช่วยลดรูปสมการ xi.f(x1,...,xi,...,xn)=xi.f(x1,...,1,...,xn) หรือ xi+f(x1,..., xi,...,xn)=xi +f(x1,...,0,...,xn) และ xi'.f(x1,...,xi,...,xn)=xi'.f(x1,...,0,...,xn) หรือ xi'+f(x1,..., xi,...,xn)=xi' +f(x1,...,1,...,xn) 2/2550 A. Yaicharoen

Boolean Expression Manipulation 5. จัดให้อยู่ในรูป Minterm canonical formulas 6. จัดให้อยู่ในรูป Maxterm canonical formulas 7. การหา complement ของ canonical formulas สามารถทำได้โดยการหาเทอมที่เหลืออยู่ในตารางค่าความจริง 2/2550 A. Yaicharoen