หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น ผศ.ปราโมทย์ พรหมอินทร์

หน่วยที่ 11 อินทิกรัลสามชั้น ตอนที่ 11.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เรื่องที่ 11.1.2 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก ตอนที่ 11.2 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดทรงกลม เรื่องที่ 11.2.1 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกระบอก เรื่องที่ 11.2.2 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม

แนวคิดอินทิกรัลสามชั้น แบ่ง G ออกเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากย่อยๆ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเป็น โดยที่

เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เรื่องที่ 11.1.1 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ให้ f(x,y,z) เป็นฟังก์ชันค่าจริงของสามตัวแปร ซึ่งนิยามบนบริเวณทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก G ในปริภูมิสามมิติ xyz โดยที่ z s r c d y a b x

ทฤษฎีบท 11.1.1 ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้บนบริเวณ G โดยที่ จะได้ว่า การคำนวณค่าอินทิกรัลสามชั้น หาอินทิกรัลจำกัดเขตเทียบกับตัวแปรย่อยที่ละตัวจากตัวแปรชั้นในสุดก่อน

ตัวอย่าง 11.1.1 จงหาค่าอินทิกรัลของ โดยที่ วิธีทำ จากโจทย์วาดกราฟของ G ได้ดังภาพ จากทฤษฎีบท 11.1.1 เราจะได้ว่า

การหา เมื่อ G เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

การหา เมื่อ G เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้ (ต่อ)

คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้ ค่าอินทิกรัลของ โดยที่ คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้ ค่าอินทิกรัลของ โดยที่ คำนวณได้ในลำดับต่างๆกันได้ 6 รูปแบบดังต่อไปนี้

เรื่องที่ 11.1.2 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก เรื่องที่ 11.1.2 อินทิกรัลสามชั้นบนทรงตันอย่างง่าย ในระบบพิกัดฉาก

บทนิยาม 11.1.2 ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง และให้ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ ดังภาพ จะได้ว่า

ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิว และพื้นผิว โดยที่ สำหรับทุกๆจุด ที่อยู่ในบริเวณ R โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ xz ดังภาพ จะได้ว่า

ให้ G เป็นทรงตันที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิว และพื้นผิว โดยที่ สำหรับทุกๆจุด ที่อยู่ในบริเวณ R โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตันบนระนาบ yz ดังภาพ จะได้ว่า

ตัวอย่าง11.1.6 จงหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ G เป็นทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวทรงกระบอก ระนาบ และระนาบ

โดยการพิจารณาขอบเขตบริเวณ G เราจะได้ว่า

บทนิยาม 11.2.1 พิกัดทรงกระบอก คือ ระบบพิกัดที่ระบุตำแหน่งของจุด ในรูป โดยที่ เป็นการบอกพิกัดในระนาบ xy ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดทรงกระบอก และระบบพิกัดฉาก

ทฤษฎีบท11.2.1 ให้ G เป็นทรงตัน ซึ่งปิดล้อมด้วยพื้นที่ผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง ในระบบพิกัดทรงกระบอก โดยที่ R เป็นภาพฉายของทรงตัน G บนระนาบ xy ถ้า ต่อเนื่องบน G จะได้ว่า

ตัวอย่าง11.2.1 จงหาปริมาตรรูปทรงตัน G ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน พื้นผิวด้านล่างคือระนาบ xy และพื้นผิวด้านข้างปิดล้อมด้วยทรงกระบอก

พิจารณาในระบบพิกัดทรงกระบอก พื้นผิวด้านบนคือ และพื้นผิวด้านล่างคือ พิจารณาในระบบพิกัดทรงกระบอก พื้นผิวด้านบนคือ และพื้นผิวด้านล่างคือ จะได้ว่า ปริมาตรของทรงตันนี้หาได้จาก

ลูกบาศก์หน่วย

เรื่องที่ 11.2.2 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม เรื่องที่ 11.2.2 อินทิกรัลสามชั้นในระบบพิกัดทรงกลม

บทนิยาม 11.2.2 พิกัดทรงกลม คือ ระบบพิกัดที่ระบุตำแหน่งของจุด P ในรูป โดยที่ 1. เป็นระยะจากจุดกำเนิดไปยังจุด P 2. คือมุมที่วัดจากแกน x ไปยังภาพฉายของจุด P บนระนาบ xy 3. คือมุมที่เวคเตอร์ ทำกับแกน z ดังภาพ

ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดทรงกลม และระบบพิกัดฉาก

ถ้า ต่อเนื่องบน G ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม โดยที่ จะได้ว่า ทฤษฎีบท11.2.1 ถ้า ต่อเนื่องบน G ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม โดยที่ จะได้ว่า

วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม เมื่อ G เป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี ในอัฐภาคที่ 1

วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม เมื่อ G เป็นทรงกลมที่มีรัศมี

วิธีการใส่ค่าขอบเขตของการอินทิเกรต ระบบพิกัดทรงกลม เมื่อ G เป็นกรวยกลมที่ตัดจากทรงกลมรัศมี ด้วยกรวย

ตัวอย่าง11.2.6 จงหาค่าอินทิกรัลของ เมื่อ G เป็นทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิวด้านบน และพื้นผิวด้านล่าง