ประพจน์ และค่าความจริง อ.ถนอมศักดิ์ เหล่ากุล สาขาวิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ องค์การมหาชน

ข้อความทางคณิตศาสตร์ (Proposition) หรือ ประพจน์ (Statement) นิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริง หรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ตัวอย่าง เชียงใหม่อยู่ทางภาคเหนือของประเทศไทย 2+3=4 ทำไมมาตอนนี้ คุณพระช่วย เขาเป็นคนไทย จำนวนนับ x ทุกจำนวน มีสมบัติว่า x> 7

ค่าความจริงของประพจน์ (truth value) ค่าความจริงของประพจน์ คือผลลัพธ์ของประพจน์ที่เราบอกได้ว่า ประพจน์นั้นเป็นจริง (True) เขียนแทนด้วย T หรือประพจน์นั้น เป็นเท็จ (False) เขียนแทนด้วย F สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ จะใช้สัญลัษณ์ p, q, r,. . .

ตัวดำเนินการของประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ กำหนดให้ p, q เป็นประพจน์ นิเสธของ p คือข้อความที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ p เขียนแทนด้วย ~p p ~p T F ตัวอย่าง 2) p : 2+3=5 ~p : 1) p : สุนัขมี 4 ขา ~p : สุนัขไม่มี 4 ขา

2. ตัวดำเนินการ “หรือ” [or เขียนแทนด้วย ] (Disjunction Connective) ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด หรือ p q T F

การหาค่าความจริงของประพจน์ผสม ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ p แทน “12-3>0” q แทน “ไก่ทุกตัวไม่มีขา” จงหาค่าความจริงของ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ p, q แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และ r, s แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง (T) จงหาค่าความจริงของประพจน์ผสม

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ p แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และ q, r, s แทนประพจน์ใด ๆ จงหาค่าความจริงของ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยต่อไปนี้ 1. เป็นเท็จ 1. เป็นเท็จ 2. เป็นเท็จ 3. เป็นจริง

ข้อความ/ประพจน์ ที่สมมูลกัน (Logical Equivalence) ประพจน์ที่สมมูลกัน คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกัน (เหมือนกัน) ในทุก ๆ กรณี โดยจะเขียน “ ” คั่นระหว่างประพจน์ที่สมมูลกัน เช่น

สัจนิรันดร์ และ Contradition สัจนิรันดร์ (Tautology) คือประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ข้อตกลง สัจนิรันดร์ เขียนแทนด้วย t Ex Contradition คือประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี ข้อตกลง Contradition เขียนแทนด้วย f Ex

สมบัติของตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”

2) ให้ p, q, r, s, k, z แทนประพจน์ใด ๆ ตัวอย่าง 1) ให้ p, q แทนประพจน์ใด ๆ 2) ให้ p, q, r, s, k, z แทนประพจน์ใด ๆ

3. ตัวดำเนินการ “และ” [and เขียนแทนด้วย ] (Conjunction Connective) ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด และนกแก้วมี 2 ขา และนกแก้วไม่มี 2 ขา p q T F

พิจารณาจากตารางค่าความจริง ดังนี้ ตัวอย่าง จงพิจารณาค่าความจริงของ และ พิจารณาจากตารางค่าความจริง ดังนี้ p q r T F

จากตารางค่าความจริง จะเห็นว่า และ ให้ค่าความจริงเหมือนกันทั้งหมดทุกกรณี เราจะกล่าวว่าข้อความ สมมูล (equivalent) กับข้อความ เขียนแทนด้วย

ตัวอย่าง กำหนดให้ p, q แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง r, s แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ

ตัวอย่าง กำหนดให้ p, q, r, s แทนประพจน์ใด ๆ และ r แทนประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยต่อไปนี้ 1. เป็นจริง 2. เป็นจริง 1. เป็นจริง 2. เป็นจริง 3. เป็นเท็จ

สมบัติของตัวเชื่อมประพจน์ “และ”

ตัวอย่าง

4. ตัวดำเนินการ “ถ้า แล้ว ” [or เขียนแทนด้วย ] p q T F