Inverse Laplace Transforms

Rational Functions Function ที่เราต้องการจะหา inverse Laplace transform มักจะอยู่ในรูป ฟังก์ชันเศษส่วน (rational function) โดยมีตัวเศษ (numerator: N(s) ) และตัวหาร (denominator: D(s)) ซึ่งอาจจะเขียนได้ว่า Rational function นี้จะแบ่งออกเป็น Proper rational function ถ้ากำลังของ s ที่ตัวเศษมีค่าน้อยกว่า กำลังของ s ที่ตัวหาร ซึ่งสามารถทำการ inverse Laplace transform ได้ต่อไป Improper rational function ถ้ากำลังของ s ที่ตัวเศษมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับกำลังของ s ที่ตัวหาร เราจะต้องทำการตั้งหารยาวตัวเศษ เพื่อทำให้เป็น proper rational function เสียก่อน Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Proper Rational Functions เมื่ออยู่ในรูป proper rational function เราจะสามารถหา inverse Laplace transform ได้ โดยรูปแบบที่จะหาได้นั้น จะขึ้นอยู่กับตัวหาร D(s) เป็นสำคัญ ซึ่งแบ่งออกเป็นรูปแบบต่างๆ 3 แบบ ดังนี้ Simple poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้ว่า Complex Poles ถ้าเราสามารถเขียน D(s) ได้ว่า Repeated poles เกิดจากการที่ simples หรือ complex poles ที่ซ้ำกัน เช่น Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Simples Poles จาก จะได้ว่า โดย ให้นักศึกษาดู Method 1 จาก Example 15.9 หน้า 693 หรือวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ ดู Method 2 จาก Example 15.9 หน้า 694 ประกอบ Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Complex Poles จาก จะได้ว่า การหาค่า k1 นั้นจะทำเช่นเดียวกับกรณี simple pole ส่วนการหาค่า B และ C นั้นทำได้หลายวิธี เช่นวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (ดู Method 2 จาก Example 15.11 หน้า 696) หรือแทนค่า s ด้วยค่าง่ายๆ เช่น 0 และ 1 แล้วแก้สมการเพื่อหาค่า B และ C (ดู Method 1 จาก Example 15.11 หน้า 696) Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Repeated Poles ทั้ง simples poles และ complex poles สามารถที่จะเป็น repeated poles ได้ แต่ส่วนใหญ่เราจะสนใจที่เป็น simple poles ที่ซ้ำกันเท่านั้น จาก จะได้ว่า การหาค่า k2, k3, .. , kn นั้นจะกระทำในลักษณะเดียวกันกับ simple poles Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Repeated Poles (ต่อ) การหาค่า A และ B นั้นหาได้จาก (ดู Method 1 จาก Example 15.10 หน้า 695) หรือจะโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (ดู method 2 จาก Example 15.10 หน้า 695) Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Long Division การตั้งหารยาว เป็นวิธีที่ใช้ทำการเปลี่ยน improper rational function ให้เป็น proper rational function การตั้งหารจะกระทำ โดยอาศัยหลักการหาร polynomial ธรรมดา เช่น ซึ่งเป็น improper rational function หลังจากทำการหารยาวแล้วจะได้ Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา

Long Division (ต่อ)  Quotient หารจนส่วนนี้มี order น้อยกว่าตัวหาร ซึ่งจะหารต่อไม่ได้ ส่วนนี้คือ Remainder Page End ดร. รังสรรค์ ทองทา