Principal Facts and Ideas Objectives 1. 1.Understand principal properties of central-force problem 2. 2.Solve problems : angular momentum of a single particle 3. Understand the solution of the Schr Ö dinger eq. for H-atom, H-like atoms 3. The Electronic States of Atoms. I. Hydrogen Atom and the Simple Obital I. Hydrogen Atom and the Simple Obital Approximation for Multielectron Atoms Approximation for Multielectron Atoms

จะพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยค่าพลังงานศักย์ขึ้นกับระยะทาง ระหว่างสองอนุภาค เรียกระบบนี้ว่า “central force system” ตัวอย่างเช่น อะตอมไฮโดรเจน The Hydrogen Atom System hydrogen atom (H) ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (single proton) (proton, Z=n) He + (1 e, Z = 2) Li 2+ (?)

Hydrogen-like atom ประกอบด้วย 2 particles : single electron + a nucleus (proton, Z=n) ภาพที่ 3.1 ภาพที่ 3.1 System consisting of a nucleus and an electron coordinate ของ nucleus : x p, y p, z p coordinate ของ electron : x e, y e, z e zezezeze zpzpzpzp xexexexe yeyeyeye xpxpxpxp ypypypyp r Nucleus (proton) Electron

Potential energy ของ Hydrogen-like atom : _ _ _ (3.1) = permittivity of the vacuum ( x N -1 m -2 ) = distance between the particles _ _ _ (3.2) x, y, z เรียกว่า relative coordinates : x = x e - x p y = y e - y p z = z e - z p _ _ _ (3.3c) _ _ _ (3.3b) _ _ _ (3.3a)

coordinates of the center of mass : _ _ _ (3.4b) _ _ _ (3.4c) _ _ _ (3.4a) โดยที่ M = m e + m p potential en. ขึ้นกับค่า r เท่านั้น ( r ระหว่าง 2 อนุภาค ) “central force” apply กับระยะทางของ hydrogen atom

The Central - Force Hamiltonian พิจารณาการสร้าง Hamiltonian operator สำหรับ two-particle system Kinetic en. (K) แสดงโดย velocity ของอนุภาค (velocity of center of mass) _ _ _ (3.7) _ _ _ (3.6) = ความเร็วของ proton, electron = ความเร็วของ center of mass และ relative velocity

(reduced mass) : ในการสร้าง Hamiltonian operator จะแสดง K.E. ในเทอมของ momenta momenta conjugate to center of mass _ _ _ (3.8)

momenta conjugate to relative coordinate _ _ _ (3.9) The classical Harmiltonian operator คือ _ _ (3.10) _ _ (3.10) จาก postulate III และจาก _ _ _ (3.11)

สมการ (3.10) แสดงได้ดังนี้ _ _(3.12) _ _ _(3.13) เทอมแรก เทอมที่สอง + สาม = center-of-mass Laplacian = relative Laplacian เทอมแรก “center-of-mass Hamiltonian” เทอมที่สอง + สาม “relative Hamiltonian”

center-of-mass terms จะแยกจาก relative terms เขียน time-independent Schr Ö dinger equation : _ _ _(3.14) separate the variables _ _ _(3.15) _ _ _(3.16) _ _ _(3.17)

eigen energy E : E = E c + E r _ _ _(3.18) Note : Note : center of mass do not occur in relative Hamiltonian and V depends only on r (separation of variable)

Solution of the Relative Schr Ö dinger Eq. การแก้ปัญหาใน Schr Ö dinger eq. จะมีการ transform cartesian spherical polar coordinates coordinates spherical polar coordinatesspherical polar coordinatesspherical polar coordinates ภาพที่ 3.2 ภาพที่ 3.2 Spherical polar coordinatesZX Y r

แสดง Laplacian eq. ได้โดย _ _ _(3.19) (Appendix B. Mortimer) relative Schr Ö dinger eq. _ _ _(3.20)

จาก angular momentum ( L ) และ _ _ _ (3.21) (3.20) แสดงได้เป็น _ _ _ (3.22) Note : Note : angular momentum ( ) is contained in the Hamiltonian op.

solve by separation of variables _ _ _ (3.23) แทนค่า ใน (3.22) และคูณด้วย จะได้ r แยกจาก variables อื่น ( ค่าคงที่ = K ) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation”

The Angular Factors in the Wave Function จาก (3.24) และ (3.21) _ _ _ (3.24a) separate _ _ _ (3.24b)

แทนค่า Y ใน (3.24a) แล้วคูณด้วย _ _ _ (3.24c) ( = constant or -m 2 ) _ _ _ (3.24d) solution คล้ายคลึงกับ one-particle in the box เป็นค่าคงที่ range ระหว่าง 0 ถึง 2¶ จะ continuouse เมื่อ m ต้องเป็นค่า integer โดย

solve ได้เป็น angular momentum “quantization” _ _ _ (3.25) _ _ _ (3.24) “eigen-value equation”

Ex : Ex : Interpreting a wave function. The wave function of an electron in the lowest energy state of a hydrogen atom is, with a 0 =52.9 pm and r the distance from the nucleus. Calculate the relative probabilities of finding the electron inside a small volume of magnitude 1.0 pm 3 located at (a) the nucleus, (b) a distance a 0 from the nucleus. (a) At the nucleus, r=0, and so

(b) At a distance r=a 0 in an arbitary direction,  the ratio of probabilities is 1.0 / 0.14 = 7.1 electron will be found at the nucleus than at the distance a 0 from the nucleus